1、考研数学（数学二）模拟试卷 440 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列无穷小中阶数最高的是( )（A）e xe tanx（B）（C） ln(1+x)sinx（D）2 下列命题正确的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处可导，则一定存在 0，在 xx 0 内 f(x)可导（B）若 f(x)在 x0 处连续，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)连续（C）若 存在，则 f(x)在 x0 处可导（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导， f(x)在 x0 处连续，且 存在，则 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)=3 下列说法中正确的是(
2、)（A）若 f(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0，x 0)时，f(x)单调增加，当x(x0，x 0+)时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值4 设 0，f(x)在(，)内恒有 f“(x)0，且f(x)x 2，记 I= f(x)dx，则有( )（A）I=0（B） I0（C） I0（D）不能确定5 设 f 有一阶连续的偏导数，且 f(x+y，xy)=4(x 2xyy 2)，则 xfx(x，y)+yfy(x，y)为(
3、 )（A）2x 28xy2y 2（B） 2x2+8xy2y 2（C） 2x28xy+2y 2（D）2x 2+8xy+2y26 设 f(x)=x33x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围是( )（A）k1（B） k1（C） k2（D）k27 设则 B 等于 ( )（A）P 1P21 A（B） AP1P2 1（C） P1AP2 1（D）P 21 AP18 设 A=(1， 2， 3， 4)为四阶方阵，且 1， 2， 3， 4 为非零向量组，设 AX=0的一个基础解系为(1，0，4，0) T，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3（B） 1+3， 3， 4（C） 1， 3，
4、4（D） 1+2， 2+24， 4二、填空题9 =_10 设 y=y(x)由 确定，则 =_11 曲线 y= 的斜渐近线为_12 =_13 y“ 2y3y=e x 的通解 _14 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(m，m，1) T 是方程组 AX=0 的解，2=(m， 1，1 m) T 是方程组 (A+E)X=0 的解，则 m=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 g(x)= ()确定 a 的取值，使得g(x)为连续函数； ()求 g(x)并讨论函数 g(x)的连续性16 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(0ab
5、)证明：存在 ， (a，b)，使得17 设 f(x)连续且 f(0)=0，f(0)=2，求极限18 计算积分 x2y2dxdy，其中 D 是由直线 y=2，y=0，x=2 及曲线 x=所围成的区域19 过点 P(0， )作抛物线 y= 的切线，该切线与抛物线及 x 轴围成的平面区域为 D，求该区域分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的体积20 求 z=x22y 2+2x+4 在区域 x2+4y24 上的最小值和最大值21 设曲线 y=y(x)过(0 ，0)点，M 是曲线上任意一点，MP 是法线段，P 点在 X 轴上，已知 MP 的中点在抛物线 2y2=x 上，求此曲线的方程22 设 A 是三阶实对
6、称矩阵，存在可逆矩阵 P= ，使得()求常数 a，b 的值及 ；( )求A *+3E23 设 A 为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵又令 B=A2+2E，求矩阵 B考研数学（数学二）模拟试卷 440 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 e xe tanx=etanx(extanx 1)xtanx，2 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在 x=a 处不连续，当然也不可导，即x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，(A) ，(B)不对；因为 f(x)在 x0 处连续且在 x0 的去心邻域内
7、可导，所以由微分中值定理有 f(x)f(x 0)=f()(xx 0)或者 =f()，其中 介于 x0 与 x 之间，两边取极限得存在，即 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)=，选(D) 3 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)0=f(x) 在 x=0 的任意邻域内都不单调减少， (A)不对；f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，(B)不对； f(x)在 x=1 处取得极大值，但 f(x)在 x=1 处不连续；由 f“(0)存在，得 f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以f(0)=0，所以 x=0 一定为 f(x)的极值点，选(D)4 【正确答案】 B
8、【试题解析】 因为f(x)x 2，所以 f(0)=0，由f(x)x 2，得0 x，由迫敛定理得 f(0)=0由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+，其中 介于 0 与 x 之间，因为在(，) 内恒有 f“(x)0，所以 I= f(x)dx= f“()x2dx0，选(B)5 【正确答案】 D【试题解析】 令 x+y=u，xy=v，则 于是由f(x+y，xy)=4(x 2xyy 2)，得 f(u，v)=4uvu 2+v2，故 f(x，y)=4xy x2+y2， xfx(x，y)+yf y(x，y)=x(4y2x)+y(4x+2y)= 2x 2+8xy+2y2，选(D)6 【正确答案】 C【
9、试题解析】 f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零由 f(x)=3(x21)=0，得驻点x=1，且由图形可知， x=1 为极大点，x=1 为极小点故 f(1)=2+k0=k2 或 f(1)=2+k0=k2，所以选(C)7 【正确答案】 C【试题解析】 选(C)8 【正确答案】 D【试题解析】 由 r(A)=3 得 r(A*)=1，则 A*X=0 的基础解系由 3 个线性无关的解向量构成 由 14 3=0 得 1， 3 成比例，显然(A)、(B)、(C)不对，选(D) 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】
10、 【试题解析】 当 t=0 时，x=1e xsintx+1=0 两边对 t 求导，得y=0t+1ln(1+u)du 两边对 t 求导，得11 【正确答案】 y=2x1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得13 【正确答案】 y=C 1ex +C2e3x ex【试题解析】 特征方程为 22 3=0 特征值为 1=1， 2=3，则方程y“ 2y3y=0 的通解为 y=C1ex +C2e3x令原方程的特解为 y0(x)=Axex ，代入原方程得 A= ，于是原方程的通解为 y=C1ex +C2e3x ex 14 【正确答案】 1【试题解析】 由 AX=0 有非零解得 r(A)
11、3，从而 =0 为 A 的特征值，1=(m，m，1) T 为其对应的特征向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+B)3，A+E =0，=1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为2=(m，1，1m) T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () =f(0)，当 a=f(0)时，g(x)在 x=0 处连续 ()当 x0 时，g(x)= 当 x=0 时，所以 g(x)在 x=0 处连续16 【正确答案】 令 g(x)=cosx， g(x)=sinx0(axb)，由柯西中值定
12、理，存在(a， b)，使得 令 h(x)=sinx，h(x)=cosx0(axb)，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得17 【正确答案】 由 0xf(x t)= 0xf(xt)d(xt)= 0xf(u)du=0xf(u)du，得 0xf(xt)dtx 2，18 【正确答案】 令 D1=(x，y)2x0，0y2，D2=(x，y) x0，0y2，19 【正确答案】 设切点为(a， )，20 【正确答案】 当 x2+4y24 时，当 x2+4y2=4 时，则 z=4 cos2t2 sin 2t+4cost+4=6 cos2t+4cost+2=当 ；当 cost=1 时，z max=12，故z=x
13、22y 2+2x+4 在 x2+4y24 上的最小值为 ，最大值为 1221 【正确答案】 设 M(x，y)，则法线方程为 令 Y=0 得X=yy+x，于是 P 点坐标为(yy+x，0)MP 的中点坐标为 ，它位于给定的抛物线上于是有方程 y2=yy+2x，即 2y 2=4x，所以y2e2x =2xe2x +e2x +C由 y(0)=得 C=1，所求曲线方程为 y2=1+2xe 2x22 【正确答案】 ()A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=1，显然 A1=1，A 2=22，A 3= 3，即1， 2， 3 为分别属于 1=1， 2=2， 3=1 的特征向量，因为 A 是实对称矩阵，所以 解
14、得 a=0，b=2由 3= 得 是矩阵 A 的属于特征值 3=1 的特征向量，从而 是 A*的属于特征值 2 的特征向量，即=2()A *+3E 的特征值为 1，2，5，则A *+3E=1023 【正确答案】 由 QTAQ= 得 A 的特征值为 1=2， 2=1， 3=1，且1=2 对应的特征向量为 由 AT=A 得 BT=(A2+2E)T=(A2)T+2E=A2+2E=B，即B 为实对称矩阵显然 B 的特征值为 1=6， 2=3=3，且 B 相应于特征值 1=6 的特征向量为 设 B 的相应于 2=3=3 的特征向量为 ，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以 1T=0，即 x1+x2+x3=0，于是 B 的相应于特征值 2=3=3 的线性无关的特征向量为
