1、应用统计硕士历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、单选选择题1 X 在0 ，5上服从均匀分布，则方程 4y24XyX0 有实根的概率为( )。浙江工商大学 2012 研（A）06（B） 08（C） 02（D）042 设随机变量 XN(3，2 2)，且 P(X0)P(X0)，则常数 a 为( )。浙江工商大学2012 研（A）0（B） 2（C） 3（D）43 设函数 f()在区间(a，b)上等于 04，在此区间之外等于 0，如果 f()可以作为某连续型随机变量的密度函数，则区间(a，b) 可以是( )。中央财经大学 2011 研（A）(0 ，05)（B） (05，25)（C） (1，25)（D
2、）(0 ，25)4 设随机变量 的概率密度为 f() () ，则 ( )N(0，1)。浙江工商大学 2011 研（A）（B）（C）（D）5 设离散型随机变量 的分布律为 Pk ，k0，1，2，3，则常数 A应为( )。浙江工商大学 2011 研（A）（B）（C） e-3（D）e 36 某公司共有职工 2000 名，每月平均工资是 2500 元，标准差是 500 元，假定该公司职工的工资服从正态分布，月工资在 2000 元至 3000 元之间的职工人数大约为( )。浙江工商大学 2011 研（A）1750 人（B） 1950 人（C） 1550 人（D）1360 人7 下列随机变量为离散型的是(
3、 )。江苏大学 2011 研（A）某地区的年降雨量（B）一台车床一天内发生故障的次数（C）某药品的有效期（D）每升汽油可使小汽车行驶的里程8 设 X 是参数 n4 和 p05 的二项随机变量，则 P(X2) ( )。江苏大学2011 研（A）03125（B） 02125（C） 06875（D）078759 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 05，期望分别为 2 与 3，标准差分别为 1 与2，则随机变量 XY 的期望为( )。中山大学 2012 研（A）6（B） 7（C） 8（D）910 对于随机变量 ，有 D(10)10，则 D()( )。其中 D()表示随机变量 的方差。安徽财经大学
4、2012 研（A）01（B） 1（C） 10（D）10011 设(，)为二维随机变量，且 D0，D 0，则下列等式成立的是( )。西南大学 2012 研、西南大学 2011 研（A）D(23) 4D()9D()（B） E(23) 2E()3E()（C） D(23)2D()3D()12Cov( ，)（D）E(2.3)2E().3E()12 将 n 只球(1n 号) 随机地放进 n 只盒子(1n 号)中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记 X 为配对的个数，则 E(X)( )。西南大学 2012 研（A）（B）（C）（D）113 两个独立随机变量 X 和 Y 的方差
5、分别为 4 和 2，则随机变量(3X2Y) 的方差等于( )。江苏大学 2012 研（A）44（B） 28（C） 16（D）814 两个口袋中各有外观一致的球 3 个，分别标记号码1，0，1；从这两个口袋中随机地各摸出一个球，摸出的两个球的号码分别记作 X 与 Y，则随机变量 X 与随机变量函数 XY 的( ) 。 中山大学 2012 研（A）分布不同（B）期望不同（C）方差相同（D）中位数不同15 设随机变量 1N(1，2)，随机变量 2：N(0， 3)， 1， 2 相互独立，则D(312 2)( )。浙江工商大学 2011 研（A）30（B） 12（C） 6（D）016 设 X1，X 2，
6、X 3 是相互独立的随机变量，X 1N(0，1)，X 2N(2，4)，X3N(3 ，9)，则 Y4X 12X 1X 3 的均值和标准差分别为( )。江苏大学 2011 研（A）5，41（B） 7，（C） 7，41（D）7，1217 是否标志的方差的取值范围是( )。江苏大学 2011 研（A）0 ，025（B） 0，05（C） 0，1（D）(0 ，1)18 设二维随机变量(，)的概率密度为 ，则P()( )。西南大学 2011 研（A）（B）（C）（D）1二、填空题19 对敌人防御地段进行 100 次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是 2，方差是 169，则 100 次轰炸中
7、有 187213 颗命中目标的概率为_。(1)08413)西南大学 2012 研20 设 XN(3，2 2)，则 P(X3)_。 西南大学 2012 研三、简答题21 正态分布的概率密度函数 f()有两个参数 和 ，请结合函数 f()的几何形状说明 和 的意义。安徽财经大学 2012 研22 简述指数分布无记忆性的特点。浙江工商大学 2011 研23 正态分布曲线具有哪些性质?江苏大学 2011 研 四、计算与分析题24 已知随机变量 Y 的概率密度为： 求 Y 的分布函数。东北财经大学 2012 研25 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为： (1)试确定常数 c； (2)求边缘概率密度。西
8、南大学 2012 研26 设随机变量 X 和 Y 的联合分布为：试证明 X 和 Y 不相关，但 X 和 Y 是不相互独立的。西南大学 2012 研27 盒子中有 10 个球，6 个红球和 4 个黑球。无放回随机选出 4 个球。计算选出球中包含黑球数的期望和方差。中央财经大学 2012 研28 离散型随机变量 X 的概率分布率如下：(1)确定概率分布率中 a 的值。 (2)试给出随机变量 X 的分布 F()。 (3)计算随机变量 X 的均值和方差。中央财经大学 2011 研29 设随机变量 X 的密度函数为： (1)计算概率 P(0X5)。(2)E(X)。 暨南大学 2011 研应用统计硕士历年
9、真题试卷汇编 11 答案与解析一、单选选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 4y 24XyX0 方程有实根的充要条件是16X 216X0 ，解得X1 或 X0，根据已知条件 X 在0，5上服从均匀分布，可知 X 的密度函数为：可得 P(X1 或 X0)【知识模块】 随机变量及其分布2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X 为连续型随机变量，所以 P(Xa)0，已知 P(X0)P(X0)可得 P(Xa) P(Xa)05，即 a 处在正态分布的中心位置，根据题干中的条件可知该分布关于 3 中心对称，所以 a3。【知识模块】 随机变量及其分布3 【正确答案】 D【试题解析】 根据概率密度函数的性
10、质可知： abf()d ab04d04(b a)1 解得，b a25，只有 D 项满足条件。【知识模块】 随机变量及其分布4 【正确答案】 D【试题解析】 设 XN(， 2)，则 Z N(0，1)。由 的概率密度为 f()() 可知 的数学期望为 3，方差为 2，则 。【知识模块】 随机变量及其分布5 【正确答案】 B【试题解析】 由随机变量分布的性质可知，由于 ，所以 A 。【知识模块】 随机变量及其分布6 【正确答案】 D【试题解析】 根据 30-原则，当一组数据对称分布时，经验法则表明：约有 68的数据在平均数1 个标准差的范围之内；约有 95的数据在平均数2 个标准差的范围之内；约有
11、99的数据在平均数3 个标准差的范围之内。根据已知条件可知约有 68的职工月工资在 2000 元至 3000 元之间，即 2000681360(人) 。【知识模块】 随机变量及其分布7 【正确答案】 B【试题解析】 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种。设 X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称 X 为一个离散型随机变量，离散型随机变量取值只能取离散型的自然数。【知识模块】 随机变量及其分布8 【正确答案】 A【试题解析】 Xb(4，05)，则 P(X2) 03125。【知识模块】 随机变量及其分布9 【正确答案】 B【试题解析】 代人数据得，05 ，解
12、得 E(XY)7。【知识模块】 随机变量的数字特征10 【正确答案】 A【试题解析】 D(cX)C 2D(X)，这里 c 是常数，由已知条件 D(10)100D()10，得 D()01。【知识模块】 随机变量的数字特征11 【正确答案】 B【试题解析】 二维随机变量 X，Y 的期望和方差具有以下几个性质： 设 c 是常数，则 E(c)c ，D(c)0； 设 X 是随机变量，c 是常量，则有 E(cX)cE() ，D(cX)c 2D(X)； 设 X，Y 是随机变量，则有 E(XY) E(X)E(Y)，D(XY)D(X)2Cov(X，Y)D(Y)； 设 X，Y 是两个不相关的随机变量，则Cov(X
13、，Y) 0，E(XY) E(X)E(Y)，D(XY)D(X)D(Y)。 由性质 2 和 3 可得E(23) 2E()3E() 。【知识模块】 随机变量的数字特征12 【正确答案】 D【试题解析】 记事件 ，i1，2，n ，每个盒子独立看能够配对的概率是 ，则有 E(i)1 ，得：【知识模块】 随机变量的数字特征13 【正确答案】 A【试题解析】 D(3X2Y)3 2D(X)2 2D(Y)9442 44。【知识模块】 随机变量的数字特征14 【正确答案】 A【试题解析】 随机变量 X 的分布为：随机变量 XY 的分布为：由此可知，两个随机变量的分布、方差不相同，但期望和中位数相同。【知识模块】
14、随机变量的数字特征15 【正确答案】 A【试题解析】 当 1， 2 相互独立时，3 1，2 2 也相互独立，故 D(312 2)D(3 1)D(2 2)9D 14 2924330。【知识模块】 随机变量的数字特征16 【正确答案】 B【试题解析】 X 1，X 2，X 3，是相互独立的随机变量，则： E(4X 12X 2X 3)4E(X 1)2E(X 2)E(X 3)022 37 D(4X 1 2X2X 3)4 2D(X1)2 2D(X2)D(X 3)16144941 (4X 12X 2X 3) 。【知识模块】 随机变量的数字特征17 【正确答案】 A【试题解析】 是否标志也称是非标志，是指在社
15、会经济统计中有时把某种社会经济现象的全部总体单位，分为具有某一标志的单位和不具有某一标志的单位两组。有些社会经济现象的特征，只表现为两种性质上的差异，如全部产品分为合格品与不合格品；对某一电视节目，表现为收看与不收看等等。这些只表现为“是”、“否”或“有”、“无”的标志，称为是非标志，又称交替标志。是非标志总体的平均数为P，是非标志的方差为 PQP(1P)。当 P0 5 时，非标志方差取最大值025；当 P0 时，非标志方差取最小值 0。【知识模块】 随机变量的数字特征18 【正确答案】 B【试题解析】 P() 。【知识模块】 多维随机变量及其分布二、填空题19 【正确答案】 设第 i 次轰炸
16、命中目标的炸弹数为 i，i 1，则 100 次轰炸命中目标的炸弹数 1 100，且 D1002 200，D100169169，由中心极限定理可知， 近似地 N(200 ，169)，则有 P(187213)P( 20013)P( 1)2(1)106826【知识模块】 随机变量及其分布20 【正确答案】 在连续性随机变量中某一点处的概率为 0，即 P(X3)0，XN(3，2 2)可知该正态分布关于 X3 中心对称，则有 P(X3)P(X3)05。【知识模块】 随机变量及其分布三、简答题21 【正确答案】 正态分布的概率密度函数是一个左右对称的钟形曲线，参数 是这个曲线的对称轴，是位置参数，决定了正
17、态曲线的中心位置，并在 处达到最大值，此时 f()1 ，同时 也是正态分布的数学期望；而参数 是形状参数，它的大小决定了曲线的陡峭或扁平程度， 越小，则曲线的形状越陡峭，越集中在对称轴 的附近； 越大，曲线越扁平。这和 2 是正态分布的方差的直观意义一致。当 0， 21 时，称为标准正态分布，即为 N(0，1)。【知识模块】 随机变量及其分布22 【正确答案】 设 X 服从参数为 的指数分布，则对任何 s，t0 有P(XstXs)P(X t)，指数分布的这种性质称为无记忆性。指数分布有无记忆性，直观地讲就是，从原分布的任意一时刻开始的分布与原分布相同。故又把指数分布称为“ 永远年轻” 的分布。
18、【知识模块】 随机变量及其分布23 【正确答案】 正态分布曲线具有如下性质：(1)非负性曲线在轴的上方，与 轴不相交(即 轴是曲线的渐近线)。(2)正则性曲线与 轴围成的面积为 1。(3)对称性正态曲线关于直线 对称，曲线成“钟形”。(4)单调性在直线 的左边，曲线是上升的；在直线 的右边，曲线是下降的。(5)最值性当 时取得最大值。(6)几何性参数 越大曲线越“矮胖”表明总体的分布越分散； 越小曲线越“瘦高” ，表明总体的分布越集中。【知识模块】 随机变量及其分布四、计算与分析题24 【正确答案】 当 Y0 时，F(y) -yf(t)dtt0； 当 0y2 时，F(y) -yf(t)dt 0
19、y025dt025y； 当 y2 时，F(y) -yf(t)dt 02025dt 。 所以 y 的分布函数为：【知识模块】 随机变量及其分布25 【正确答案】 (1)由于【知识模块】 多维随机变量及其分布26 【正确答案】 (X，Y) 为二维随机变量，PX i pij，i1，2，3；PYy j pij，j1，2，3。 根据随机变量 X 和 Y 的联合分布表得：XY 的联合分布为：E(XY)1 0，即有 E(XY)E(X)E(Y) ，说明 X 与 Y 不相关。由此可知 X 和 Y 是不相互独立的。【知识模块】 多维随机变量及其分布27 【正确答案】 设 X 为所取的 4 个球中包含黑球的个数，则
20、【知识模块】 随机变量的数字特征28 【正确答案】 (1)根据离散型随机变量的概率分布列的正则性可知：020103a 1 ，得 234a04。 (2)当 1 时，F()0； 当 12 时，F()02； 当 23 时， F()020103； 当 34 时，F()02010306； 当 4 时，F()020103041。 所以随机变量 X 的分布为： (3)E(X) ipi10220130340 429 Var(X)EXE(X)2 (iE(X) 2)pi (129) 202(229) 201(329)203 (429) 204 129【知识模块】 随机变量的数字特征29 【正确答案】 【知识模块】 随机变量的数字特征
