1、应用统计硕士历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、单选选择题1 根据抽样调查资料，某企业工人生产定额平均完成 105，抽样平均误差为1，置信概率为 09545(t2)时，可以确定该企业生产定额平均完成百分比( )。中央财经大学 2012 研（A）大于 107（B）在 104和 106之间（C）在 103和 107之间（D）小于 1032 给定样本之后，降低置信水平会使得置信区间的宽度( )。中山大学 2012 研（A）增加（B）减少（C）不变（D）可能增加也可能减少3 下面对矩估计法中原点矩和中心矩表述正确的是( )。中央财经大学 2012 研（A）样本的一阶原点矩就是样本的原数据值（B）样本
2、的一阶原点矩就是样本的均值（C）样本的二阶原点矩就是样本的均值（D）样本的二阶中心矩就是样本的标准差4 考虑总体均值的 9544置信区间，已知总体服从正态分布且标准差为 10；要使得到的置信区间的半径不超过 1，需要的最小样本容量为( )。中山大学 2012研、2011 研（A）100（B） 400（C） 900（D）16005 以下关于估计量的论断中，哪一项成立?( ) 中山大学 2012 研（A）极大似然估计量一定是无偏估计量（B）极大似然估计量一定是相合估计量（C）有效估计量一定是最小方差无偏估计量（D）相合估计量一定是最小方差无偏估计量6 若一个参数的估计量值为 24，该估计量的标准差
3、值为 02，则该参数的一个约 95置信区间为( ) 。中国科学技术大学 2012 研（A）2 008，2792（B） 20，28（C） 22，26（D）2 071，27297 设 X1，X 12，X 3，X 4 是来自总体 X 的样本，EX ，则( )是 的最有效估计。浙江工商大学 2012 研（A）（B）（C）（D）8 当 未知时，正态总体均值 的置信度为 1 一 的置信区间的长度为( )。浙江工商大学 2012 研（A）（B）（C）（D）2t (n1)9 设总体 X 服从参数为 的泊松分布， 0 未知，X 1，X 2，X n 是总体的一个样本， 是参数 的矩估计， 是参数 的最大似然估计，
4、则 的关系为( )。浙江工商大学 2012 研（A）（B）（C）（D）10 95的置信水平是指( )。江苏大学 2012 研、中央财经大学 2011 研（A）总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为 95（B）总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为 5（C）在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95（D）在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为511 在其它条件相同的情况下，95的置信区间比 90的置信区间( )。江苏大学2012 研（A）要宽（B）要窄（C）相同（D）可能宽也可能窄11 汽车销售人员每年销售的汽车数量是服从正
5、态分布的，标准差是 15，抽取 400名销售员组成的随机样本，发现每年平均销售量是 75 辆。东北财经大学 2012 研12 总体均值的置信度为 95(Z 0.025196)的估计区间为 ( )。（A）(74 93，7507)（B） (7353，7647)（C） (7647，7353)（D）(75 07，7493)13 总体均值的置信度为 9545(Z 0.02275200)的估计区间为( )。（A）(74 25，7575)（B） (7575，7425)（C） (7350，7650)（D）(76 50，7350)14 欲在缩小估计区间宽度的同时，提高置信度，惟一途径为( )。（A）以样本标准差
6、替代总体标准差（B）减少样本容量（C）以样本中位数替代样本均值（D）增加样本容量15 在公务员的一次考试中，抽取 49 个应试者，得到的平均考试成绩为 81 分，标准差 S12 分。该项考试中所有应试者的平均考试成绩 95的置信区间为( ) 。安徽财经大学 2012 研（A）81196（B） 81336（C） 81O48（D）8145216 以样本统计量估计总体参数，要求估计量的数学期望等于被估计的总体参数，这一数学性质称为( ) 。 浙江工商大学 2011 研（A）无偏性（B）有效性（C）一致性（D）期望性17 以下关于参数和统计量的说法正确的是( )。中央财经大学 2011 研（A）总体参
7、数是随机变量（B）样本统计量都是总体参数的无偏估计量（C）对一个总体参数进行估计时，统计量的表达式是惟一的（D）样本统计量是随机变量18 X1，X 2，X n 为独立同分布的随机样本，设统计量 T(X1，X 2，X n)为E(X)的无偏估计量。下面哪项指标小，表示用该统计量估计均值 的可靠性好?( )中山大学 2011 研（A）V arT(X1，X 2，X n)（B） ET(X1，X 2，X n)（C） Var(X)（D）maxX 1，X 2，X nminX 1，X 2，X n19 如果把 从 5降到 25，则置信程度为 1 的样本平均的置信区间的宽度将( )。中山大学 2011 研（A）增加
8、（B）不变（C）降低（D）可能增加，也可能降低20 某银行从某类客户中，随机抽取 36 位客户，得到平均定期存款金额为 30 万元，标准差 S12 万元，假设这类客户定期存款金额为正态分布。这类客户平均定期存款金额的 95置信区间为( )。浙江工商大学 2011 研（A）30196（B） 30392（C） 304（D）3051621 设 1， 2 是来自总体 的样本，且 E，则下列是 的无偏估计的是( )。西南大学 2011 研（A）（B）（C）（D）二、简答题22 简述评价估计量的标准。中央财经大学 2013 研、江苏大学 2011 研23 构造置信区间的枢轴量法的具体步骤是什么?西南大学
9、2012 研24 简述矩估计的一般步骤。西南大学 2012 研25 什么是极大似然法估计?它具有哪些优点? 暨南大学 2011 研三、计算与分析题26 设总体 的密度函数为：f(；) 1， n 为其子样。(1)求参数 0 的极大似然估计量。 (2) 证明子样平均 都是 的无偏估计量，问哪个较有效?中山大学 2012 研27 设 X1，X 2，X n 是总体 X 的一个样本，X 1， X2，X n 为一相应的样本值。总体 X 的概率密度函数为 f() ，求参数 的最大似然估计量和估计值。西南大学 2012 研28 某居民小区有居民 500 户，小区管理者准备采用一项新的供水设施，想了解居民是否赞
10、成。管理者采取重复抽样方法随机抽取了 50 户，其中有 32 户赞成，18户反对。(1)当置信水平为 95时，求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间。(2)如果管理者预计赞成的比率能达到 80，置信水平为 95时。要求允许误差不超过 10，应抽取多少户进行调查?江苏大学 2012 研29 设总体 X 的服从参数为 的指数分布。其概率密度函数为： f(，)其中，参数 0 未知，X 1，X 2，X n 为来自 X 的样本。 试证明： 和 VnX (1)都是 的无偏估计量。东北财经大学 2012 研应用统计硕士历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、单选选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 总体比例
11、 在 1 置信水平下的置信区间为： 10521，10521 103 ，107【知识模块】 参数估计2 【正确答案】 B【试题解析】 在样本量相同的情况下，置信水平越高，置信区间越宽。从直觉上说，区间比较宽时，才会使这一区间有更大的可能性包含参数的真值。【知识模块】 参数估计3 【正确答案】 B【试题解析】 m k E(X k) k1，2，称 mk 为 X 的 k 阶原点矩；v k(Xi kEXE(X) k k2，3，称 vk 为 X 的 k 阶中心矩，可见均值 E(X)是 X 的一阶原点矩，方差 D(X)是 X 的二阶中心矩。【知识模块】 参数估计4 【正确答案】 B【试题解析】 置信区问半径
12、 1，解得 n400。【知识模块】 参数估计5 【正确答案】 C【试题解析】 有效性是指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效。【知识模块】 参数估计6 【正确答案】 B【试题解析】 根据 3 原则，约有 68的数据在平均数 1 个标准差的范围之内；约有 95的数据在平均数 2 个标准差的范围之内；约有 99的数据在平均数 3 个标准差的范围之内。则该参数的一个约 95置信区间为：2422 0，28 。【知识模块】 参数估计7 【正确答案】 A【试题解析】 X 1，X 2，X 3，X 4 是来自总体 X 的样本，所以 X1，X 2，X 3，X 4，独立同分布。 记 A则 E
13、(A)，E( B) ，E( C) ，E( D)，由此可知 A， B， D 都是 的无偏估计量。D( A) 2，D( B) 2，D( D) 2，通过比较知道 A 的方差最小。而有效性(efficiency)是指估计量的方差尽可能小，故 A 是 的最有效的估计。【知识模块】 参数估计8 【正确答案】 B【试题解析】 当 未知时，正态总体均值 的检验采用 t 统计量，在显著性水平 的置信区间为： ，所以置信区间的长度为 (n1)。【知识模块】 参数估计9 【正确答案】 A【试题解析】 由 X 服从参数为 的泊松分布可得：令 i，则参数 的矩估计 似然函数：L() 对数似然函数：l()n 似然方程：则
14、 。【知识模块】 参数估计10 【正确答案】 C【试题解析】 置信水平 95 是用来描述某个特定的区间包含总体参数真值可能性的，而是针对随机区间而言的。一个特定的区间“总是包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题。如果用某种方法构造的所有区间中有 95的区间包含总体参数的真值，5的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为 95的置信区间。【知识模块】 参数估计11 【正确答案】 A【试题解析】 在其他因素不变的情况下，样本量越多(大)，置信区间越窄(小)。在样本量相同的情况下，置信水平越高，置信区间越宽。【知识模块】 参数估计【知识模块
15、】 参数估计12 【正确答案】 B【试题解析】 总体服从正态分布，在大样本条件下总体均值在置信水平下的置信区间可以写为： 代人数据即得(7353，7647)。【知识模块】 参数估计13 【正确答案】 C【试题解析】 按照(1)题解析中的公式，代人数据即得(7350，7650)。【知识模块】 参数估计14 【正确答案】 D【试题解析】 由(1)题解析中的公式可知，要提高置信度，只能扩大区间宽度，或者增加样本容量。【知识模块】 参数估计15 【正确答案】 B【试题解析】 在大样本情况下，总体均值 所在 1 置信水平下的置信区间为：81196 81336。【知识模块】 参数估计16 【正确答案】 A
16、【试题解析】 无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数；有效性是指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效；一致性是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。【知识模块】 参数估计17 【正确答案】 D【试题解析】 参数是用来描述总体特征的概括性数字度量，它是研究者想要了解的总体的某种特征值，研究者所关心的参数通常有总体平均数、总体标准差、总体比例等，由于总体数据通常是不知道的，所以参数是一个未知的常数。无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量。它是根据样本数据计算出来的一个量，由于抽样是随
17、机的，因此统计量是样本的函数，是随机变量。【知识模块】 参数估计18 【正确答案】 A【试题解析】 可靠性即指有效性，有效性是指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效。设 1， 2 都是 的无偏估计量，且 Var(1)Var(2)，1， 2 ，则称 1 比 2 更有效。故选用统计量 T(X1，X 2，X n)的方差。【知识模块】 参数估计19 【正确答案】 A【试题解析】 当样本量给定时，置信水平(1)越高，置信区间的宽度越长。从直觉上说，区间比较宽时，才会使这一区间有更大的可能性包含参数的真值。【知识模块】 参数估计20 【正确答案】 B【试题解析】 通常样本单位数大于
18、30 的样本可视为大样本，本题中，因此可看成是在大样本情况下，总体均值 所在 1 置信水平下的置信区间为：【知识模块】 参数估计21 【正确答案】 D【试题解析】 无偏估计是指参数的样本估计值的数学期望值等于参数的真实值。分别求得： ； ； ； 。 根据无偏估计的定义，可知只有 E(i)是 的无偏估计。【知识模块】 参数估计二、简答题22 【正确答案】 评价估计量的标准有：无偏性、有效性、一致性。 (1)无偏性 若估计量(X 1，X 2，X n)的数学期望等于未知参数 ，即： E( ) 则称 为 的无偏估计量。估计量 的值不一定就是 的真值，因为它是一个随机变量，若 是 的无偏估计量，则尽管
19、的值随样本的不同而变化，但平均来说它会等于 的真值。 (2)有效性 设 (X1，X 2，X n)与 (X1，X 2，X n)都是 的无偏估计量，若对于任意 ，有 且至少对于某一个 上式中的不等号成立，则称 有效。 (3)一致性(相合性) 如果 n 依概率收敛于 ，即0，有 则称 是 的一致估计量。【知识模块】 参数估计23 【正确答案】 构造置信区间的枢轴量法的具体步骤： (1)从未知参数 的某个点估计 (X1，X 2，X n)出发，构造 与 的一个函数 H( ，) 使得 H 的分布(在大样本场合，可以是 H 的渐近分布)已知，且与 无关。该函数通常称为枢轴量。(2)适当选取两个常数 c 与
20、d，使对给定的 有 P(cH( ，)d)1 。 (3)利用不等式运算，将不等式 cH( ，)d 进行等价变形，使得最后能得到形如A(X1，X 2，X n)B(X1，X 2，X n)的不等式。即 P(cH( ，)d)P(A(X 1，X 2，X n)B(X1，X 2，X n)1 此时参数 的置信度为1 的置信区间为A ，B。【知识模块】 参数估计24 【正确答案】 矩估计的一般步骤： (1)设 X1，X 2，X n 是总体 X 的简单随机样本，已知 X 的分布函数 F(； 1， 2， k) 其中 1， 2， k 是待估参数。 (2)设总体的 k 阶原点矩为 ukE(X k)，k1，2， ，n 存在
21、，则样本的 k 阶矩由大数定律可知， 依概率收敛到 k，即用 估计 k，令 Ak k，由此得到一个包含后个未知参数 1， 2， k 的联立方程组。从中解得即为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值。【知识模块】 参数估计25 【正确答案】 极大似然估计是 1922 年由 RA Fisher 提出的一种参数估计方法。 设 X(X 1，X n)为从具有概率函数 f 的总体中抽取的样本， 为未知参数或者参数向量。 ：( 1， ， n)为样本的观察值。若在给定 时，值 ()满足下式： 则称 为参数 的极大似然估计值，而 ()称为参数 的极大似然估计量。若待估参数为 的函数 g()，则称 g()的极大似
22、然估计量为 。它的优点是：当存在一个有效估计量时，似然方程就有一个等于有效估计量的惟一解，当 n时，极大似然估计法的解依概率收敛于真值。【知识模块】 参数估计三、计算与分析题26 【正确答案】 (1)求解未知参数 0 的极大似然估计量，可按如下步骤进行： 写出似然函数。 由总体孝的密度函数的表达式可知，当 时，L()取到最大值 1，解得，。 所以参数 的极大似然估计量为。由总体 的分布对称可得所以，子样平均 及 都是 的无偏估计量。由此可知两者的有效性大小取决于 n 的取值大小，即子样的个数。 当 n1 时，有，此时 比子样平均较有效。 当 n2 时，此时子样平均 有效性一样。 当n2 时，有
23、 ，此时子样平均 比较有效。【知识模块】 参数估计27 【正确答案】 似然函数：L() 对数似然函数：l()2nln 令 0，则得到 的最大似然估计值为 相应的最大似然估计量为 。【知识模块】 参数估计28 【正确答案】 (1)样本容量 n5030，可视为是一个大样本，由中心极限定理知，总体中赞成该项改革的户数比率 的抽样分布近似服从均值为 P，方差为P(1P)n 的正态分布。此时可用样本方差来代替总体方差。 则总体中赞成该项改革的户数比率 95的置信区间为：即总体中赞成该项改革的户数比率 95置信区间为(507，773)。 (2)允许误差范围为不超过 10，说明置信区间的宽度不超过 10，即 10，解得：n9216，说明要求允许误差不超过 10，至少应抽取 93 户进行调查。【知识模块】 参数估计29 【正确答案】 指数分布的均值为： E(X)X1，X 2，X n 独立同分布于参数为 的指数分布，则根据指数分布的性质，有则的无偏估计量。 由于 f(，)最小次序统计量 X(1)的密度函数为所以VnX (1)也是 的无偏估计量。 综上可得， 和 VnX (1)都是 的无偏估计量。【知识模块】 参数估计
