1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )（A）（B）（C）（D）2 f(x)=xex 的 x 阶麦克劳林公式为（A）（B）（C）（D）3 若 f(x)在 x0 点可导，则f(x) 在 x0 点( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续4 在区间0 ，8 内，对函数 ，罗尔定理 ( )（A）不成立（B）成立，并且 f(2)=0（C）成立，并且 f(4)=0（D）成立
2、，并且 f(8)=05 给出如下 5 个命题：(1)若不恒为常数的函数 f(x)在(一，+)内有定义，且 x00是 f(x)的极大值点，则一 x0 必是一 f(一 x)的极大值点；(2) 设函数 f(x)在a ，+)上连续，f(x)在(a ，+)内存在且大于零，则 F(x)= 在(a ，+)内单调增加；(3)若函数 f(x)对一切 x 都满足 xf(x)+3xf(x)2=1 一 e-x，且 f(x0)=0，x 00，则 f(x0)是 f(x)的极大值；(4) 设函数 y=y(x)由方程 2y3 一 2y2+2xyx2=1 所确定，则 y=y(x)的驻点必定是它的极小值点；(5)设函数 f(x)
3、=xex，则它的 n 阶导数 f(n)(x)在点 x0=一(n+1)处取得极小值正确命题的个数为 ( )（A）2（B） 3（C） 4（D）56 若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x1，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点，使下列诸式中成立的是（A）f(x 2)一 f(x1)=(x1 一 x2)f()，(a ，b)（B） f(x1)一 f(x2)=(x1 一 x2)f()， 在 x1，x 2 之间（C） f(x1)一 f(x2)=(x2 一 x1)f()，x 12（D）f(x 2)一 f(x1)=(x2 一 x1)f()，x 12二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
4、。7 若函数 (x)及 (x)是 n 阶可微的，且 (k)(x0)=(k)(x0)，k=0，1，2，n 一 1,又xx 0 时， (n)(x) (n)(x)试证：当 xx0 时，(x)(x)8 9 10 11 12 13 14 15 若 f(x)在 a，b 上二阶可微，且 f(x)0，则 f(x)为a ，b上的凹函数；16 若 f(x)为a，b上的有界凹函数，则下列结论成立： 0，1，f(x 1+(1 一)x2)f(x1)+(1 一 )f(x2)， x1，x 2a，b；f(x)为(a，b)上的连续函数17 18 计算19 20 21 21 设 S(x)22 设 f(x)在a，b上连续，a 12
5、n23 设 f(x)在闭区间一 1， 1上具有三阶连续导数，且 f(一 1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：在-1 ，1 内存在 ，使得 f()=324 设 f(x)在0，)上连续，非负，且以 T 为周期，证明：25 在(a，b)内，g(x)0 ；26 在(a，b)内至少存在一点 ，使27 在区间0 ，a上f(x)M，且 f(x)在(0，a)内取得极大值求证：f(0)+ f(a)Ma28 设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明： ，使 f(2)一 2f(1)=f()一f()29 30 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(一 ， )有f(x) f(x) 1证明：f(x)1 3
6、1 设 f(x)在( 一，) 上有定义，且对任意的 x，y(一 ，)有f(x)f(y) x y证明： 32 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明：33 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明：34 设 f(x)在(0，)内连续且单调减少证明：35 设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时，36 设 f(x)在0，1 上连续且f(x) M证明：37 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)0，令 。证明：38 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(1)一 f(0)1证明： 39 (x)在a，b上连续可导，且 f(a)0证明：40 (x)
7、在a，b上连续可导，且 f(a)f(b)0证明：41 设 f(x)在a，b上连续可导，证明：42 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明：考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在(0， 1)，使得(xf(x) x=0，即 f+f()=0，有 所以选 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=xex，f(0)=0，f(x)=e x(1+x)，f(0)=1，f (n
8、)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)= x在 x=0 处不可导，排除 A 函数 f(x)=x2 在 x=0 处可导，f(x) = x 2在 x=0 处也可导，排除 C，D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在0 ，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件令 得 f(4)=0，
9、即定理中 可以取为 4【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 对上述 5 个命题一一论证对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x0 取到极大值，则一 f(x)必在点 x0 处取到极小值，故该结论错误；对于(2)，对任意xa，由拉格朗日中值定理知，存在 (a，x)使 f(x)-f(a)=G878=f()(x-a)，则由 f(x)0 知，f(x)在(a，+) 内单调增加，因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f(x)f()，从而由上式得 F(x)0，所以函数 F(x)在(a，+)内单调增加，该结论正确；对于(3)，因f(x0)=0，故所给定的方程为 ,显然，不论 x00，还
10、是 x00，都有f(x0)0，于是由 f(x0)=0 与 f(x0)0 得 f(x0)是 f(x)的极小值，故该结论错误；对于(4)，对给定的方程两边求导，得 3y2y一 2yy+xy+xyx=0， 再求导，得(3y2 一 2y+z)y+(6y 一 2)(y)2+2y=1 令 y=0，则由式得 y=x，再将此代入原方程有 2x3 一 x2=1，从而得 yy(x)的唯一驻点 x0=1，因 x0=1 时 y0=1，把它们代入式得 y (1,1)0，所以唯一驻点 x0=1 是 y=y(x)的极小值点，该结论正确；对于(5)，因为是求 n 阶导数 f(n)(x)的极值问题，故考虑函数 f(x)=xex
11、 的 n+1 阶导数f(n+1)(x)，由高阶导数的莱布尼茨公式得 f(n)(x)=x(ex)(n)+x(ex)(n-1)=(x+n)ex，f (n+1)(x)=x+(n+1)ex；f (n+2)(x)=x+(n+2)ex令 f(n+1)(x)=0，得 f(n)(x)的唯一驻点 x0=一( n+1)；又因 f(n+2 )(x0)=e-(n+1)0，故点 x0=一(n+1)是 n 阶导数 f(n)(x)的极小值点，且其极小值为 f(n)(x)=一 e-(n+1)，该结论正确故正确命题一共 3 个，答案选择 B【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理易知 A
12、，C 错，B 正确，又因未知 x1 与 x2 的大小关，知 D 不正确【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 令 u(n-1)(x)=(n-1)(x)一 (n-1)(x)在x 0，x上用微分中值定理得 u(n-1)(x)u )n-1(x0)=u(n)(.(x-x0)，x 0 x又由 u(n)()0 可知 u(n-1)(x)一 u(n-1)(x0)0，且u(n-1)(x0)=0，所以 u(n-1)(x)0，即当 xx 0 时， (n-1)(x) (n-1)(x)同理 u(n-2)(x)=(n-2)(x)一 (n-2)(x)0归纳有 u(n-
13、3)(x)0，u(x)0，u(x)0于是，当 xx 0 时，(x)(x) 【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 因为(x 2ex)(x 22x)e x，【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 上述两式相加即得证【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 先证(i) 由 (1)有 f(x)f(x0)+f(x0
14、)(xx0)，分别取x=x1， x=x2， x0=x1+(1 一 )x2，得到 f(x1)f(x0)+(1 一 )f(x0)(x1 一 x2)， f(x 2)f(x0)+f(x0)(x2 一 x1)， +(1 一 )得 f(x1)+(1)f(x2)f(x0)=f(x+(1-)x2)，得证(i)可写成 由归纳法即可得证(iii)，这里略去(iii)中令即得证(ii)再证 ，设 G 为f(x)的上界，取绝对值充分小的，mn，使得 x1x2=xm=x+n ，xm+1=xn=x由(ii) 知【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等
15、数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为f(x)在a，b上的最小值和最大值【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n1)T ，【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 设 c(a，b)，g(c)=0由 g=g( c )=g(b)=0，g(x)在a，c，c ，b 上两次运
16、用罗尔定理可得 g(1)=g(2)=0，其中 1(a，c) ， 2(c，b)，对 g(x)在1， 2上运用罗尔定理，可得 g(3)=0因已知 g(x)0，故 g( c )0【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 F(x)=f(x)g(x) 一 f(x)g(x)在a，b上运用罗尔定理，F(a)=0,F(b)=0故【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设 f( c )=0f(x) 在0，c与c，a之间分别使用拉格朗日中值定理，f( c )一 f(0)=cf(1)， 1(0，c) ，f(a)一 f( c)=(a一 c)f()，(c ，a)，所以
17、 f(0)+f(a)=cf( 1)+(a 一 c)f( 2)cM+(a一 c)M=aM【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 把所证等式 改为 x，得【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 令 (x)e xf(x)，则 (x)e xf(x)f(x)，由f(x)f(x)1得(x)e x，又由 f(x)有界得 (一) 0，则 (x)(x)一 (一)，两边取绝对值得 ，所以f(x)1【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 因为(b 一 a)f(a) ，【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)
18、一 m0，f(x)一 M0，从而【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分37 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)f()x，其中 介入 0 与 x 之间，因为 f(0)0，所以f(x)f()xMx，x0，a ，从而【知识模块】 高等数学部分38 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分39 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分40 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分41 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分42 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
