1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)是定义在(-1 ， 1)内的奇函数，且 ，则 f(x)在 x=0 处的导数为 ( )（A）a（B） -a（C） 0（D）不存在2 设 f(x)= ，其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导3 设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2-x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是 ( )（A）与x 同阶但
2、非等价的无穷小（B）与 x 等价的无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）比x 低阶的无穷小4 已知函数 f(x)=Inx-1，则 ( )5 函数 的图形在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是( )6 函数 f(x)= 在 x= 处的 ( )7 函数 y=xx 在区间 上 ( )二、填空题8 曲线 在 t=1 处的曲率 k=_9 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为=_10 设函数 f(x)= ，且 1+bx0，则当 f(x)在 x=0 处可导时，f(0)=_11 曲线 y= 的凹区间是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
3、算步骤。12 求 均反函数的导数13 设 ，a，b，c 是三个互不相等的常数，求 y(n)14 设函数 f(y)的反函数 f-1(x)及 ff-1(x)与 ff-1(x)都存在，且 f-1f-1(x)0证明：15 求函数 的导数16 ，求 y17 设 y=y(x)是由 确定的隐函数，求 y(0)和 y(0)的值18 设 y=f(lnx)ef(x)，其中 f 可微，计算19 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)， f(2)=1 ，计算 f(n)(2)20 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 z 轴的交点为(x 0，0)，计算21 曲线 的切线与 x
4、轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a，求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?22 设 又函数 f(x)在点 x=0 处可导，求 F(x)=f(x)的导数23 证明：不等式24 讨论方程 2x3-9x2+12x-a=0 实根的情况25 讨论方程 axex+b=0(a0)实根的情况25 设 fn(x)=x+x2+xn，n=2，3，26 证明：方程 fn(x)=1 在0，+)有唯一实根 xn；27 求考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于
5、f(x)为(-1 ，1)内的奇函数，则 f(0)=0于是故 f-(0)=f+(0)=a，得 f(0)=a，应选(A) 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 显然故 f+(0)=0，从而 f(0)存在，且 f(0)=0，应选(D) 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，而即 dy 与x 是等价无穷小，故选(B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 应当把绝对值函数写成分段函数， 当x1 时， 故选(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=x2+x+6，所以
6、 f(0)=6故过(0，1)的切线方程为 y-1=6x，因此与 x 轴的交点为【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)在 x= 处的左、右导数为：【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 y=x 2(lnx+1)，令 y=0，得 时，y0，函数单调增加，故选(D) 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a，b，x 2x1，使得 f(x2)0。由闭区间连续函数介值定理可知，至
7、少存在一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则， ，由于 f(x)在x=0 处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=-1，再由导数的定义及洛必达法则，有【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (0，+)【试题解析】 当 x0 时，y0，曲线是凹的；当 x0 时，y0，曲线是凸的【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 先求 yx，令【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 运用高阶导数公式，得：【知识模块
8、】 一元函数微分学14 【正确答案】 设 x=f(y)则其反函数为 y=f-1(x)，对 x=f(y)两边关于 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 在方程中令 x=0 可得 将方程两边对 x 求导数，得 cos(xy)(y+xy)= 将 x=0，y(0)=e 2 代入，有，即 y(0)=e-e4将 式两边再对 x 求导数，得-sin(xy)(y+xy)2+cos(xy)(2y+xy)= 将 x=0，y(0)=e 2 和 y(0)=e-e4 代入，有 故 y(0)=e3(3e3
9、-4)【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由 f(x)=ef(x)两边求导数得 f(x)=e f(x).f(x)=e2f(x)， 两边再求导数得 f(x)=e2f(x)2f(x)=2e3f(x)， 两边再求导数得 f(4)(x)=2e3f(x)3f(x)=3!e4f(x)， 由以上导数规律可得 n 阶导数 f (n)(x)=(n-1)!enf(x)， 所以 f(n)(2)=(n-1)!en【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由导数几何意义，曲线 f(x)=xn 在点 (1，1) 处的切线斜率 k=f(1)=nxn-1 x=
10、1=n，所以切线方程为 y=1+n(x-1)，令 y=1+n(x-1)=0 解得 xn=1- ，因此【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 先求曲线 处的切线方程所以切线斜率 k=- ，切线方程为切线与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为 A(3a，0)，B，于是AOB 的面积为 当切点沿 x 轴正向趋于无穷时，有 当切点沿 y 轴正向趋于无穷时，有【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 F(x)=f(x)= 当 x0 时，用复合函数求导法则求导得 当 x=0 时(分段点)，(0)=0， 又 f(x)在 x=0 处可导，于是根据复合函数的求导法则，有 F(0)=f(0).(0)=0
11、所以【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 设 f(x)=令 f(x)=0，得驻点为 x=0，由于 f(x)= 0，知 x=0 为极小值点，即最小值点f(x)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切 x(-，+)，有 f(x)0，即有【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 f(x)=2x 3-9x2+12x-a，讨论方程 2x3-9x2+12x-a=0 实根的情况，即是讨论函数 f(x)零点的情况显然， ，所以，应求函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 的极值，并讨论极值的符号 由 f(x)=6x 2-18x+12=6(x-1)(x-2)得驻点为 x1=1，x 2=2，又
12、f(x)=12x-18 ，f(1)0，f(2)0，得 x1=1 为极大值点，极大值为 f(1)=50a；x 2=2 为极小值点，极小值为 f(2)=4-a (1)当极大值 f(1)-5-a 0，极小值 f(2)=4-a0，即 4a5 时，f(x)=2x 3-9x2+12x-a 有三个不同的零点，因此方程 2x3-9x2+12x-a=0 有三个不同的实根； (2)当极大值 f(1)=5-a=0 或极小值f(2)=4aa=0，即 a=5 或 a=4 时，f(x)=2x 3-9x2+12x-a 有两个不同的零点，因此方程2x3-9x2+12x-a=0 有两个不同的实根； (3)当极大值 f(1)=5
13、-a0 或极小值 f(2)=4-a0，即 a5 或 a4 时，f(x)=2x 3-9x2+12x-a 有一个零点，因此方程 2x3-9x2+12x-a=0 有一个实根【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 f(x)=axex+b，因为 ，求函数 f(x)=axex+b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值 f(x)=ae x+axex=aex(1+x)，驻点为 x=-1， f(x)=2ae x+axex=aex(2+x)，f(-1)0，所以，x=-1 是函数的极小值点，极小值为 f(-1)=b- (1)当 b (0)时，函数 f(x)无零点，即方程无实根； (2)当b= (0)
14、 时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根； (3)当 0b 时，函数f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根； (4)当 b0 时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 f n(x)连续，且 fn(0)=0，f n(1)=n1，由介值定理，Ex n(0，1)，使fn(xn)=1，n=2，3，又 x0 时，f n(x)=1+2x+nxn-10，故 fn(x)严格单增，因此 xn 是 fn(x)=1 在0，+)内的唯一实根【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 由(1)可得，x n(0，1)n=2，3，所以x n有界 又因为 fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2 ，3，所以即x n严格单调减少于是由单调有界准则知因为0x nx 21，所以【知识模块】 一元函数微分学
