1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)= ( )（A）只有极大值，没有极小值（B）只有极小值，没有极大值（C）在 x=-1 处取极大值，x=0 处取极小值（D）在 x=-1 处取极小值，x=0 处取极大值2 若 f(x)在 x0 点至少二阶可导，且 ，则函数 f(x)在 x=x0 处( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）无极值（D）不一定有极值3 设函数 f(x)= ，则 ( )（A）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调减少的（B）在点 x1 及 x2 处有定义，且
2、x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)（C）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调增加的（D）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 1)4 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则 ( )（A）f(0)=0 且 f-(0)存在（B） f(0)=1 且 f-(0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在5 设 f(x)在(-，+) 内可导，且对任意 x1，x 1，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则 ( )（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x，f(-x)0（C）
3、函数 f(-x)单调增加（D）函数-f(-x) 单调增加6 设 a 为常数， f(x)=aex-1-x- ，则厂(z)在区间(-，+)内的零点个数情况为( )（A）当 a 0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（B）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点（C）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（D）当 a 0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点7 设函数 f(x)在区间a，+) 内连续，且当 xa 时， f(x)l 0，其中 l 为常数若f(a)0，则在区间 内方程 f(x)=0 的实根个数为
4、 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题8 设曲线 y=ax3+bx2+cx+d 经过(-2 ，44)，x=-2 为驻点，(1，-10)为拐点，则a，b，c，d 分别为_9 若函数 f(x)= 处取得极值，则 a=_10 曲线 的曲率及曲率的最大值分别为_11 曲线 的全部渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 fn(x)=1-(1-cosx)n，求证：12 对于任意：整数 n，f n(x)= 中仅有一根；13 设有14 在数 中求出最大值15 证明：方程 xa=lnx(a0) 在(0，+)上有且仅有一个实根16 f(x)在(-，+) 上连续， ，且
5、 f(x)的最小值 f(x0)x 0，证明：ff(x)至少在两点处取得最小值17 设 T=cosn，=arccosx，求18 已知 y=x2sin 2x，求 y(50)19 计算20 已知 f(x)=21 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中 a(x)是当 x时比 z 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程22 设 f(x)= 其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，g(0)=-1，求f(x)，并讨论 f(x)在(-，+) 内的连续
6、性23 求下列函数的导数24 设 (a0，b0) ，求 y25 设函数 y=f(x)由参数方程 (t-1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 ，证明：函数 (t)满足方程 (t)-26 设 f(x)= 试问当 a 取何值时，f(x)在点 x=0 处，连续，可导，一阶导数连续， 二阶导数存在27 设 求 y(n)(n1)28 设 求 y(n)(0)考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=0，得 x=-1，且当 x=0时，f(x)不存在，f(x)在 x=-1 左侧导数为
7、正，右侧导数为负，因此在 x=-1 处取极大值；在 x=0 左侧导数为负，右侧导数为正，因此在 x=0 处取极小值【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 ，当 0x-x0 时， ，由于(x-x 0)20 ，于是 f(x)-f(x0)0，所以 f(x0)f(x)x 0 为极大值点故选(A) 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的定义域是(-，3)(3，+)，f(x)在区间(-，3)及(3，+) 上分别是单调减少的【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，且 ，所以 f(0)=0从而
8、有【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 根据单调性的定义直接可以得出(D)选项正确【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查一元函数微分学的应用，讨论函数的零点问题令 g(x)=f(x)e-x= ，由于 e-x0，g(x)与 f(x)的零点完全一样，又，且仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增，所以 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点 当 a0 时，f(-)0，f(+) 0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)正好有一个零点当 a0，f(x)e -x=a- f(x) 无零
9、点【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 对于 f(x)在 上使用拉格朗日中值定理，得由于 f(x)0(xa)，所以 f(x)在 是单调递增函数，故零点 只有一个，答案选择(B)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 1，-3，-24，16【试题解析】 由条件 解方程可得a=1，b=-3，c=-24，d=16 【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)=acosx+cos3x ，因 x=，a=2这时 f(x)=-2sinx-3sin3x， 为极大值点【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 曲率 ，故 k1，
10、当 x=0 时，k max=k(0)=1【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 x=0，x= 和 y=1【试题解析】 因为 =+，x=0 为铅直渐近线，y=1 为水平渐近线【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 因为 fn(x)连续，又有 fn(0)=1， ，所以由介值定理知，使得 fn()= 又因为 fn(x)=-n(1-cosx)n-1sinx0，x内严格单调减少因此，满足方程 fn(x)= 的根 是唯一的，即 fn(x)= 中仅有一根【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 因为由保号性知
11、， 由 fn(x)的单调减少性质知【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 先考查连续函数 由得 x=e，且当 ze 时，f(x)0，f(x)单调增加；当 xe 时，f(x)0，f(x)单调减少 所以，f(e) 为 f(x)当 x0 时的最大值，而 2e3，于是所求的最大值必在 中取到，又因为【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 令 f(x)=lnx-xa，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=-10，故，当 xX 时，有 f(x)M0，任取 x0X，则 f(1).f(x0)0，根据零点定理，至少 ，使得 f()=0，即方程 xa=Inx 在(0 ，+) 上至少有一实根
12、又 Inx 在(0 ，+)上单调增加，因 a0，-x 2 也单调增加，从而 f(x)在(0，+) 上单调增加，因此方程 f(x)=0 在(0 ，+)上只有一个实根，即方程 x2=Inx在(0， +)上只有一个实根【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 F(x)=f(x)-x0，则 F(x)在(-，+)上连续，且由 ，使得 F(b)0，于是由零点定理，知 ，使得 F(x2)=0，即有 x1x 0x 2，使得 f(x1)=x0=f(x2)，从而得 ff(x1)-f(x0)=f(x2)【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 =nsinn(-sin)=nsinnsin，因为 =ar
13、ccosx，当x1 -时，0，所以【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故在(6，f(6) 处和点(1 ，f(1) 处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出 f(1)则 4f(1)=8，f(1)=2，由 f(6)=f(1)=0，f(6)=f(1)=2，故所求切线方程为 y=2(x-6)【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案
14、】 当 x0 时，f(x)可导，且显然，当 x0 时，f(x)连续故 f(x)在 x=0 处连续，从而 f(x)在(- ，+) 内连续【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 (1)y=其中，(x x)-(exlnx)=exlnx.(Inx+1)=xx(lnx+1) (2)y=ef(x).f(x)f(ex)+ef(x).f(ex)exf(x)=8x，由函数概念得 ff(x)=f(8x)=4(8x) 2=256x2，ff(x)=ff(x).f(x)=8f(x).8x=32x2.8x=256x3【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 两边取对数【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 因当 a0 时，极限，故 a0 时，f(x)在 x=0 处连续当a3 时， f(0)不存在；当 a3 时，f(0)=0，即 f(x)在点 x=0 处二阶可导.【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 当 x0 时，【知识模块】 一元函数微分学
