1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4，又 ，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 ( )（A）（B） 0（C） -1（D）-22 设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若 f(x) g(x)，则 f(x)g(x)；(2)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)则 ( )（A）(1)，(2)都正确（B） (1)，(2)都不正确（C） (1)正确，但(2)不正确（D）(2)正确，但 (1)不正确3 两曲线 处相切，则
2、 ( )4 若 f(x)在 x0 点可导，则f(x) 在 x0 点 ( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续5 设函数 则 f(x)在点 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导6 关于函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是 ( )（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必是一极值（B）若 f(x0)=0，则点(x 0，f(x 0)必是曲线 y=f(x)的拐点（C）若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x0 点可导，且有（D）若 f(x)在 x0 处可微，则 f(x)在 x0 的某邻域内有界7 设
3、F(x)= ,其中 f(x)在 x=0 处可导，f(0)0，f(0)=0，则 x=0 是 F(x)的 ( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定二、填空题8 p(x)为二次三项式，要使得 ex=p(x)+o(x2)(x0) ，则 p(x)=_9 若 f(t)= 则 f(t)=_10 设 =_11 设 则 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)满足 f(x)+ ，求 f(x)13 设 f(x)= 试确定常数 a，b，c，使 f(x)在x=0 点处连续且可导14 顶角为 60，底圆半径为 a 的正圆锥形漏斗内盛满水，下
4、接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注人水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?15 防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 12-1)，截面的面积为 5 平方米，问底宽x 为多少时才能使建造时所用的材料最省?16 试证明：曲线 恰有三个拐点，且位于同一条直线上17 作函数的图形18 求函数 y=excosx 的极值19 若函数 f(x)在(-，-+)内满足关系式 f(x)=f(x)，且 f(0)=1证明：f(x)=e x20 设 f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点20 设函数
5、 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，求证：21 存在 (a，b) ，使 f()+f()=0；22 存在 (a，b)，使 f()+f()=023 设函数 f(x)在-2 ，2 上二阶可导，且x(x)1 ，又 f2(0)+f(0)2=4试证：在(-2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f()=024 设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在(0， 1)，使f()425 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导且 f(a)f(b)证明：存在， (a，b)，使得26 设函数 f(x)在闭区间a
6、，b上连续(a，b0) ，在(a ，b) 内可导证明：在(a ，b)内至少有一点 ，使等式27 设 f(x)在 上具有连续的二阶导数，且 f(0)=0证明：存在 ， ，使得 f()=考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 f(x)周期为 4，曲线在点(5，f(5) 处的切线斜率与曲线在点(1，f(1)处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1) 处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数即 f(1)=-2【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】
7、B【试题解析】 考虑 f(x)=e-x 与 g(x)=ex，显然 f(x) g(x)，但 f(x)=e-x，g(x)=e -x，f(x)g(x) ，(1)不正确将 f(x)与 g(x)交换可说明(2)不正确【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因两曲线相切于点 故相交于该点将 x=2，y= 代入y=ax2+b 中得 =4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以=2ax，将 x=2 代入得 ，故选(A) 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)= x在 x=0 处不可导，排除(A)函
8、数 f(x)=x2 在 x=0 处可导，f(x) =x 2在 x=0 处也可导，排除(C) ，(D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 不存在，故 f(0)不存在【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不一定，反例： f(x)=x3，f(0)=0 ，但 x=0 非极值点；(B)不一定，需加条件：f(x)在 x0 点两侧异号；(C) 项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 设 p(x)=ax2+bx+
9、c，由题意知，当 x0 时，e x-p(x)=o(x2)，由于ex=1+x+ +o(x2)，于是 ex-p(x)-(1-c)+(1-b)x+ x2+o(x2)故 1-c=0，1-b=0， ，b=1 ，c=1于是 p(x)=【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 f(t)=【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导得原等式中x 换成式两边同时对 x
10、求导得2-得，f(x)=2+【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 因为 又 f(0)=1，所以及 c 为任意值时，f(x)在 x=0 处连续又因为【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为 p，水桶中水平面的高度为 H，水量为 q(如图 12-1)，则 p= 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以两边对 t 求导得 因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以 时，漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 设截面周长为 S，矩形高为 y，则由问题的实际意义知，截面周长必有最
11、小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为 2367 米时，截面的周长最小，因而所用材料最省【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 列表所以这三个拐点在一条直线上【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 定义域 (-，0)(0，+)，无周期性无奇偶性作图(如图 12-2) 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 极值可疑点 xn=n+ ，n=0，1，(均为驻点)y=-2e xsinx，当xk=2k+ 时，y0，所以 2k+ 为极大值点，极大值为【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 作函数 (x)=已知 f(x)=f(x)，从而 (x)=0，于是 (x)= 当 x=
12、0 时，易知 (0)=，故 f(x)=ex【试题解析】 欲证 f(x)=ex，一种思路是移项一边作辅助函数 (x)=f(x)-ex，如能证明 (x)0，从而 (x)C 由条件 (0)=f(0)-1=0，得 C=0，即 f(x)-ex0，于是 f(x)=ex但 (x)=f(x)-ex，利用已知条件 (x)=f(x)得 f(x)-f(x)-ex，要证 (x)0，即要证 f(x)=ex，而这就是我们要证明的结论，故这种思路行不通另一种思路是由 f(x)=ex 两边同除以 ex 得辅助函数 若能证明 (x)=0，从而 (x)=C，由条件 =1 得 C=1，即，因此本题利用第二种思路【知识模块】 一元函
13、数微分学20 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)ex，由于 f(x)可导，故 F(x)可导，设 x1 和x2 为 f(x)的两个零点，且 x1x 2，则 F(x)在x 1，x 2上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点 (x1，x 2)，使得 F()=0，即 f()e+f()e=ef()+f()=0 由于 e0，因此必有 f()+f()=0【试题解析】 f(x)的两个零点 x1，x 2(不妨设 x1x 2)之间有 f(x)+f(x)的零点问题，相当于在(x 1，x 2)内有 f(x)+f(x)=0 的点存在的问题若能构造一个函数 F(x)，使F(x)=f(x)+f(x)(x)，
14、而 (x)0，则问题可以得到解决由(e x)=ex 可以得到启发，令 F(x)=f(x)ex【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 (a)=(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 ()=0，即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 设 F(x)= ，则 F(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使，即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 f(0)-f(-2)=
15、2f( 1)，-2 10， f(2)-f(0)=zf( 2)，0 22由f(x)1 知 f(1)=令 (x)=f2(x)+f(x)2，则有 (1)2，( 2)2 因为 (x)在 1， 2上连续，且 (0)=4，设 (x)在1， 2上的最大值在 1， 2 (-2，2)上取到，则 ()4，且 在 1， 2上可导，由费马定理有：()=0 ，即 2f().f()+zf().f()=0 因为f(x)1，且 (x)4，所以 f()0，于是有 f()+f()=0， (-2，2)【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0
16、)+f(0)x+ f()x2 (0 1 2)在公式中取把函数 f(x)在 x=1 展开成泰勒公式，得 f(x)=f(1)+f(1)(x-1)+ f(2)(x-1)2 (x 21)在公式中取 x=两式相减消去未知的函数值 即得 f(1)-f(2)=8 f( 1)+f( 2)8 从而，在 1 和 2中至少有一个点，使得在该点的二阶导数绝对值不小于 4，把该点取为 ，就有(0， 1)，使f()4【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知 f(b)-f(a)=f()(b-a)，又由柯西中值定理知【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 ，它们在区间a，b上连续，在(a， b)内可导，且 满足柯西中值定理的三个条件，于是在(a ，b)内至少有一点 ，使得【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 因 f(x)和 g(x)=cos2x 在 内可导，且 g(x)=(cos2x)=-2sin2x0，x 故由柯西中值定理知，存在 ，使得【知识模块】 一元函数微分学
