1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 在 x=0 处 f(x) ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续2 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）f(0)-f(0)=03 设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-， )时，恒有f(x)x 2，则 x=0必是 f(x)的 ( )（A）间断点（B）连续，但不
2、可导的点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)04 设 f(x)=f(-x)，且在(0，+) 内二阶可导，又 f(x)0，f(x) 0，则 f(x)在(-，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（A）单调增，凸（B）单调减，凸（C）单调增，凹（D）单调减，凹5 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0 ，F(x)= ，且当 x0 时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 则 f(x)在x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可
3、导，但导函数不连续（D）可导且导函数连续7 当 x0 时，曲线 ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线二、填空题8 设 y=ln(1+3-x)，则 dy=_9 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cosxy=0 确定，则 =_10 设 y=cosx2sin2 ，则 y=_11 设 ，则 y x=0=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求摆线 的曲率半径13 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1，2，n-1)，f (n)(x0)0(n2)，证明：(1)
4、当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时 f(x)在 x0 取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0时 f(x)在 x0 取得极小值14 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=2，n-1)，f (n)(x0)0(n2)证明：当 n 为奇数时，(x 0，f(x 0)为拐点15 求函数 f(x)=nx(1-x)n 在0，1 上的最大值 M(n)及16 求曲线 y=ex 上的最大曲率及其曲率圆方程17 设一质点在单位时间内由点 A 从静止开始作直线运动至点 B 停止，两点 A，B间距离为 1，证明：该质点在(0，1)内总有一时刻的加速度的绝对值不小于 4
5、18 设 f(x)在a，b上连续，ax 1x 2x nb，试证：在 a，b内存在 ，使得19 设 f(x)在闭区间-1 ，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：在-1，1内存在 ，使得 f()=319 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，g(x)0 ，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0证明：20 在(a，b)内，g(x)0 ；21 在(a，b)内至少存在一点 ，使22 在区间0 ，a上f(x)M，且 f(x)在(0，a)内取得极大值求证：f(0)+ f(a)Ma23 设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明：E(1，2)，使 f(2)-zf(
6、1)=f()-f()24 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0证明：E ，(a ，b) ，使得25 设 ，且 f(x)0证明：f(x)x26 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：E (a，b) ，使f()g()+2f()g()+f()g()=027 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，则 E(a，b)，使考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答
7、案】 A【试题解析】 由于【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，由 f(x)0 可知 f(x)在(0，+)内单调增；由 f(x)0可知 f(x)在(0，+)内为凸曲线由 f(x)=f(-x)可知 f(x)关于 y 轴对称，则 f(x)在(-，0)内单调减，为凸曲线，选(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 用洛必达法则，所以 k=3，选(C)其中(1)F(x)= (2)洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像
8、是在“左推右”，事实上不是，因为 存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 =g(0)=0-f(0)，所以 f(x)在 x=0 处连续所以导函数在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 ，由渐近线的求法可知正确选项为(A)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导 y=-ln(1+3-x)=【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 方程两边同时对 x 求导，可得【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
9、一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 因为故摆线的曲率半径【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 n 为偶数，令 n=2k，构造极限【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 n 为奇数，令 n=2k+1，构造极限【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 容易求得 f(x)=n1-(n+1)x(1-x)n-1，f(x)=n 2(n+1)x-2-(1-x)n-2令f(x)=0，得驻点 x0=为 f(x)的极大值点，且极大值 f(x0)= ，将它与边界点函数值 f(0)=0
10、，f(1)=0，比较得 f(x)在0， 1上的最大值 M(n)=f(x0)= ，且有【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 由 y=ex，y=e x 得曲线 y=ex 上任意点 P(x，y)处的曲率其中， 则曲线 y=ex 上具有最大曲率的点(x 0，y(x 0)处的曲率圆的曲率半径 R= 曲率中心(，)为 =x0-它的曲率圆方程为【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设质点运动的距离 y 关于时间 t 的函数为 y=y(t)，0t1 ，则有 y(0)=0，y(1)=1，y(0)=0，y(1)=0将 在 t=0 与 t=1 处的一阶泰勒展开分别为若 ，则由上述第一式得 y(1
11、)4；若 ，由上述第二式得y(2)-4 证毕【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为f(x)在a，b上的最小值和最大值 mf(x 1)M， mf(x 2)M， mf(xn)M， (n) +(n) mmf(x1)+f(x2)+f(xn)nM，故由介值定理可得 a，b，使得【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 f(x)=f(x 0)+f(x0)(x-x0)+取 x0=0，x=1 代入，因为 f(x)在-1 ，1 上连续，则存在 m 和 M，使得代入，有 m3M，由介值定理，存在 -1，1，使得 f()=3【知
12、识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 设 c(a，b)，g(c)=0 由 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在a，c，c，b上两次运用罗尔定理可得 g(1)=g(2)=0，其中 1(a，c)， 2(c，b)，对 g(x)在1， 2上运用罗尔定理，可得 g(3)=0 因已知 g(x)0，故 g(c)0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 F(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)在a，b上运用罗尔定理， F(a)=0，F(b)=0故【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设 f(c)=0f(x)
13、在0，c与c，a之间分别使用拉格朗日中值定理， f(c)-f(0)=cf( 1)， 1(0，c)， f(a)-f(c)=(a-c)f(2)， 2(c， a)， 所以 f(0) + f(a)=cf( 1)+(a-c) f( 2)cM+(a-c)M=aM【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 把所证等式 改为 x，得 xf(x)-f(x)=f(2)-2f(1)，F(2)=F(1)=f(2)-f(1)由罗尔定理，E(1，2)，使 F()=0，即 f(2)-2f(1)=f()-f() 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因 =1，
14、得 f(0)=0，f(0)=1 因 f(x)二阶可导，故 f(x)在x=0 处的一阶泰勒公式成立，f(x)=f(0)+f(0)x+ ( 介于 0 与 x 之间)因 f(x)0，故 f(x)x，原命题得证【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(x)，在 x=a 点展开泰勒公式F(x)=F(a)+F(a)(x-a)+ F()(x-a)2 (ax) 令 x=b，代入 式，则 F(b)=F(a)+F(a)(b-a)+ F()(b-a)2 (a b) 因 f(a)=f(b)=g(a)=0，则 F(a)=F(b)=0，且 F(a)=0，代入式，得F()=0即 f()g()+2f()g()+f()g()=0【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 将 f(x)在 x=a，x=b 处展开泰勒公式故原命题得证【知识模块】 一元函数微分学
