1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设常数 k0，函数 f(x)=lnx 一 +k 在(0，+)内的零点个数为( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）0。2 设函数 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处的左、右导数( )（A）都存在且相等。（B）都不存在。（C）都存在但不相等。（D）仅有一个存在。3 设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处( )（A）必取极大值。（B）必取极小值。（C）不可能取极值。（D）是否取极值不能确定。二、填空题
2、4 设函数 f(x)= =_。5 设 y=y(x)由方程组 =_。6 设函数 y=y(x)由方程 2xy=x+y 所确定，则 dy x0=_。7 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=_。8 设 =_。9 设 f(x)在(0，+)上有定义，且 f(1)=a(0)，又对任意 x，y (0，+) ，有 f(xy)=f(x)+f(y)，则 f(x)=_。10 函数 y=x+2cosx 在区间0 ， 上的最大值为_。11 设函数 y=f(x)由方程 e2x+ycos(xy)=e 一 1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法
3、线方程为_。12 设 y= 则 y“ x0=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 试讨论函数 f(x)= 在 x=0 处的可导性。14 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，求函数 y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。15 设常数 a ，函数 f(x)=ex 一 ax2，证明方程 f(x)=0 在区间(0，+)内有且仅有两个实根。16 试证(x+y)ln xlnx+ylny。17 证明 (x0)。18 设 f(x)= ，求 f(n)(0)。19 试求函数 y=arctanx 在 x=0 处的各阶导数。20 设 f(x)在0，1上连续， f(0)=0， 0
4、1f(x)dx=0。证明：存在一点 (0，1)，使得 0f(x)dx=f()。21 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，g“(x)0 ，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0 ，证明：( )在(a ，b)内，g(x)0 ；( )在(a，b) 内至少存在一点 ，使 。22 设函数 f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数 f(x)在(a ，b) 内有界时，函数 f(x)在(a ，b)内也有界。23 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：存在， (a，b)使得 e f()+f()=1。24 设 f(x)在0，1上具有二阶连续导数，
5、且 f(0)=f(1)=0， f(x)=一 1。证明： f“(x)8。25 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，证明存在一点 (a，b)，使得 f“() f(b)f(a)。26 ()设 f(x)在a，b 上具有三阶连续导数，写出 f(x)在a，b上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式。 () 设函数 f(x)在区间a，b上具有三阶连续导数，证明：存在(a， b)，使得 f(b)=f(a)+ f“()(b 一 a)3。考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=
6、 ，令 f(x)=0，得 x=e。 当 xe 时，f(x)0，当0xe 时， f(x)0，在 (0，e)和(e ，+)内 f(x)分别是单调递增和单调递减的，若在此两个区间有零点，至多各有一个，又 f(e)=k0， f(x)=一，故 f(x)在(0，+)内有两个零点。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由函数左、右导数的定义，因此其左右导数均存在但不相等。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x)=(1 一 x2)3 和 g(x)= ，两者都在 x=0 处取得极大值，但 f(x)g(x)=一 1 在 x=0 处不取极值，排除 A、B；取
7、 f(x)=一 x2 和 g(x)=一 x4，且都在 x=0 取得极大值，但 f(x)f(x)=x 6 在 x=0 取极小值，排除 C。因此选 D。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 由题意，有 又 f(x)的图形如图26 所示。 由于 1ee 2，故当 1xe 2时，f(x)=ln ，从而 0f(x)1，进而【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 【试题解析】 由已知参数方程得， 。在 2yty2+et=5 两边对 t 求导，有【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 (ln21)dx【试题解析】 方程两边同时对 x 求导，得把 x=0 代入原方程
8、得 y= =ln2 一 1。因此 dy x=0=(ln2 一 1)dx。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 (一 1)n1(n 一 1)!【试题解析】 根据导数定义，有 f(0)= (e2x2)(enxn) =1(一 1)(一 2)一(n 一 1)=(一 1)n1(n 一 1)!。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 Acosb【试题解析】 补充定义 f(a)=b，则根据导数的极限定义，有【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 alnx【试题解析】 在等式 f(xy)=f(x)+f(y)中，令 y=1，得 f(x)=f(x)+f(1)，则 f(1)=0，根据导数的定义，
9、取 xy 为增量，则因为 f(1)=a，所以 f(a)= ，故 f(x)=alnx+C，其中 C 为任意常数。 令 x=1，于是 f(1)=aln1+C=0，得 C=0，因此 f(x)=alnx。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 令 y=12sinx=0，解得 x= 分别代入函数解析式中得，【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 x 一 2y+2=0【试题解析】 在方程 e2x+y 一 cos(xy)=e1 两边对 x 求导，得 e 2x+y(2+y)+sin(xy)(y+xy)=0。 将 x=0，y=1 代入上式，得 y x=0=一 2，则法线斜率为 ，故
10、所求法线方程为 y 一 1= (x 一 0)， 即 x 一 2y+2=0。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 对已知函数进行恒等变形，即【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 当x 0 时，f( x)=0，由导数的定义当x0 时，上式的极限不存在，故函数在 x=0 处的右导数不存在，因此 f(x)在x=0 处不可导。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 由参数方程求导法则可得由上表可知，函数 y(x)的极大值为 y(一 1)=1，极小值为 ；曲线y=y(x)的凹区间为 ；曲线 y=y(x)的拐点为(
11、)。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 在区间(0，+)内，f(x)=e x 一 ax2=0，其等价于 (x)= 一 a=0，可讨论 (x)=0 在(0，+)内的实根个数。由于 令 (x)=0，得驻点 x=2，列表如下：则当 x=2 时，(x)取得极小值 (2)= (x)=+， (x)=+，所以 (x)=0 在(0，2)和(2，+)上分别有且仅有一个实根，因此 (x)在(0，+) 内有且仅有两个实根，即 f(x)在(0，+)上有且仅有两个实根。【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 构造函数 f(x)=xlnx，则 f(x)=lnx+1，f“(x)= 0，则 f(x)=xl
12、nx 为凹函数，根据凹函数的性质 ，有即不等式(x+y)f(*)xlnx+ylny 成立。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 先证明 ln(1+x) 一 ln(1+x)，因函数 F(x)在区间0，+) 上具有连续导数，F(0)=0，且因此 F(x)在区间0，+) 上单调增加，故当 x0 时，F(x)F(0)=0 成立，即 ln(1+x) 成立。 再证 ，函数 G(x)在区间 0，+)上具有连续导数，G(0)=0，且因此 G(x)在区间0，+)上单调增加，故当 x0 时，G(x)G(0)=0 成立，即 ln(1+x)成立。 综上所述，命题得证。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确
13、答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由已知得 y= ，故有 y(1+x 2)=1。 上式两边对 x 求 n 阶导数，当 n3 时(1+x 2)(n)=0，因此由莱布尼茨公式 C 0(y)(n)(1+x2)+C1(y)(n1)(1+x2)+C2(y)(n2)(1+x2)“=0，即 (1+x 2)y(n+1)+2nxy(n)+(n 一 1)ny(n1)=0。 令 x=0，得 y (n+1)(0)+(n 一 1)ny(n1)(0)=0，根据该递推关系，则 y (n)(0)=(1 一 n)(n 一 2)y(n2)(0)，n2。 由 y(0)=0，y(0)=1 及上述递推公式，得 y
14、 (2k)(0)=0，k=1， 2，； y (2k+1)(0)=(一 1)k(2k)!，k=0， 1，2 ，。【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 由于=F(0)=0，因此 F(x)在0，1上连续，(0，1)内可导。 又已知 f(x)=0，F(1)= 01f(t)dt=0，所以 F(0)=F(1)=0，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理条件，故必存在一点 (0，1)，使得 F()=0，即从而有 0f(x)dx 一 f()=0。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 () 假设对任意的 c(a，b)且 g(c)=0。 由于 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x) 在a，
15、c，c，b上分别运用罗尔定理可得 g(1)=g(2)=0，其中 1(a，c)，2(c， b)，对 g(x)在 1， 2上运用罗尔定理，可得 g“(3)=0，其中 3(1， 2)。 因已知 g“(x)0，与题设矛盾，故 g(c)0，即在(a，b)内，g(x)0。 ()构造辅助函数 F(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)，则有 F(a)=0，F(b)=0，在a，b上满足罗尔定理。 故至少存在一点 (a，b) ，使得 F()=f()g“()f“()g()=0，即【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 设 x0，x(a ，b)，则 f(x)在以 x0， x 为端点的区间上满足拉格朗日中值定
16、理条件，因此 f(x)f(x 0)=f()(x 一 x0)，(x 0，x)。 因为 f(x)在(a ，b)内有界，即存在 N0，使f(x)N，x(a，b) ，所以 f(x)= f(x)f(x 0)+f(x0) f(x)f(x 0)+ f(x 0) f()(b a)+f(x 0) N(b a)+f(x 0)=M 。 根据有界的定义 f(x)在(a，b)内有界。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 构造辅助函数 g(x)=ex，则 g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导且g(x)=ex。由拉格朗日中值定理，至少存在一点 (a，b)，使 =e。 另作辅助函数 F(x)=exf(x)，f
17、(x)在a，b连续，(a，b) 内可导，由拉格朗日中值定理得，存在(a， b)， =F()，即 =ef()+f()， 从而有 ef()+f()=e。即 ef()+f()=1。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设 f(c)= f(x)=一 1，因为 f(0)=f(1)=0，则 f(c)是 f(x)在区间(0，1)内的极小值，故 f(c)=0，将 f(x)按(x 一 c)的幂展开成二次泰勒多项式，即 f(x)=f(c)+f(c)(x 一 c)+ (x 一 c)2， 在上式中分别令 x=0，x=1，得【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 已知 f(a)=f(b)=0，则将 f
18、(x)分别按(x 一 a)，(x 一 b)的幂展开成二次泰勒多项式令 f“()=max f“( 1)，f“( 2) 。则 f“(1)+f“( 2) 2f“() =f“()，因此 f(b)一 f(a)f“()。故原命题得证。【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 () 任意给定 x0(a，b)，对任意 xa，b，则 f(x)在a，b上带有拉格朗日余项的二阶泰勒公式为 f(x)=f(x 0)+f(x0)(x 一 x0)+f(3)()(x 一 x0)3， (x0， x)。 ()把 f(b)与 f(a)分别在点x0= 处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，将上面两式相减可得 由于 f“(x)在a ，b上连续，则根据连续函数的介值定理知，存在 1， 2 (a，b)，使得 f“()= f“(1)+f“(2)，将其代入 f(b)f(a)的表达式，即存在一点 (a，b)使得 f(b)=f(a)+ f“()(b 一 a)3。【知识模块】 一元函数微分学
