1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）(-1) n-1(n-1)!（B） (-1)n(n-1)!（C） (-1)n-1n!（D）(-1) nn!2 设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是（A）f(0)是极大值，f(/2)是极小值（B） f(0)是极小值， f(/2)是极大值（C） f(0)是极大值， f(/2)也是极大值（D）f(0)是极小值，f(/2)也是极小值3 设函数 f(x)，g(x) 具有
2、二阶导数，且 g“(x)0)=a 是 g(x)的极值，则 fg(x)在 x0 取极大值的一个充分条件是（A）f(a)0（C） f“(a)0 4 设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点5 若 f(-x)=f(x)(-0，f“(x)0，f“(x)0，f“(x)0（C） f(x)06 设(x)= 丨 x(1-x)丨，则（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (
3、0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点7 设 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列选项正确的是（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点8 设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0，f
4、(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点9 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f(x)0， x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0dy y（B） 0ydy（C） ydy0（D）dy y0二、填空题10 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)：1，则 f“(2)=_.11 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x=-1 处取得增量x=-01 时，相应的函数增量y 的线性主部为
5、01 ，则 f(1)=_.12 设函数 y=f(x)由方程 e2x+y-cos(xy)=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1) 处的法线方程为_.13 设函数 y=f(x)由方程 xy+2lnx=y4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的切线方程是_.14 已知一个长办形的长 l 以 2cms 的速率增加，宽 以 3cms 的速率增加，则当 l=12cm，=5 cm 时，它的对角线增加的速率为_.15 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点(-1，0) ，则 b=_.16 曲线 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4 的拐点是_.17 曲线 y=1/x+
6、ln(1+ex)渐近线的条数为_.18 曲线 y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为_.19 曲线 y=(x+4sinx)/(5x-2cosx)的水平渐近线方程为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设函数 y=y(x)往(- ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数20 试将 x=x(y)所满足的微分方程 d2x/dy2+(y+sinx)(dx/dy)3=0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；21 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=3/2 的解22 设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，试判断曲
7、线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题1
8、0 【正确答案】 2e 3【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 1/2【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 x-2y+2=0【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 y=x.【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 3(cm/s)【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 3【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 （3,0）【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 3【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 y=1/5【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
9、步骤。【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 dx/dy=1/y,d 2x/dy2=(dx/dy)y=(1/y)y=(1/y)x.(dx/dy)=-y“/y3=-y“(dx/dy)3 代人原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程 y“-y=sinx【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 特征方程 r2-1=0 的两个根为 r1.2=1；由于 A=ir1.2，则设(*)的特解为 y=acosx+bsinx 代入 (*)求得 a=0，b=-1/2，故 y*=-1/2sinx于是(*)的通解为 y(x)=C1ex+C2e-x-1/2sinx 又由原始条件得 C1=1，C 2=-【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 将方程看成关于 x 的恒等式，两端对 x 求导数得 ylny+y-1+y=0， 整理得 y(2+lny)=1， (*) 在(*) 式中令 x=l，y=1 可得 y(1)=1/2将(*)式两端再对 x 求导数，得 y“(2+lny)+y.y/y=0 y“=-(y) 2/y(2+lny) 在上式中令x=1，y=1,y=1/2 即得 y“(1)=-1/8【知识模块】 一元函数微分学
