1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 处连续， 则 ( )（A）f(0)=0 且 f-(0)存在（B） f(0)=1 且 f-(0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在2 设 f(x)在( 一，+)内可导，且对任意 x1，x 2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，则 ( )（A）对任意 f(x)0（B）对任意 x，f(-x)0（C）函数 f(-x)单调增加（D）函数一 f(-x)单调增加3 设 a 为常数， ，则 f(x)在区间
2、(一，+) 内的零点个数情况为 ( )（A）当 a 0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（B）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点（C）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（D）当 a 0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点4 设函数 f(x)在区间a，+) 内连续，且当 xa 时， f(x)l 0，其中 l 为常数若f(a)0，则在区间 内方程 f(x)=0 的实根个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 则曲线 y=f(
3、x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 ( )（A）（B） 0（C）一 1（D）一 26 设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若 f(x)g(x) ，则 f(x)g(x)；(2)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x) 则 ( )（A）(1)，(2)都正确（B） (1)，(2)都不正确（C） (1)正确，但(2)不正确（D）(2)正确，但 (1)不正确7 两曲线 与 y=ax2+b 在点 处相切，则 ( )（A）（B）（C）（D）8 若 f(x)在 x0 点可导，则f(x) 在 x0 点( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续9 设
4、函数 则 f(x)在点 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导10 关于函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必是一极值（B）若 f(x0)=0，则点(x 0，f(x 0)必是曲线 y=f(x)的拐点（C）若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x0 点可导，且有（D）若 f(x)在 x0 处可微，则 f(x)在 x0 的某邻域内有界11 设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若 f(x)g(x) ，则 f(x)g(x)；(2)若 f(x)g(x)，则 f(x)
5、g(x) 则 ( )（A）(1)，(2)都正确（B） (1)，(2)都不正确（C） (1)正确，但(2)不正确（D）(2)正确，但 (1)不正确12 若 f(x)在 x0 点可导，则f(x) 在 x0 点( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续13 设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若 f(x)g(x) ，则 f(x)g(x)；(2)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x) 则 ( )（A）(1)，(2)都正确（B） (1)，(2)都不正确（C） (1)正确，但(2)不正确（D）(2)正确，但 (1)不正确14 设 f(x)在(
6、 一，+)内可导，且对任意 x1，x 2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，则 ( )（A）对任意 f(x)0（B）对任意 x，f(-x)0（C）函数 f(-x)单调增加（D）函数一 f(-x)单调增加二、填空题15 设 =_.16 设 则 y=_17 设 y=ln(1+3-x)，则 dy=_18 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cosxy=0 确定，则 =_.19 设 则 y=_20 设 则 =_.21 曲线 ,在点(0，1)处的法线方程为_22 y=sin4x+cos4x，则 y(n)=_.(n1)23 落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6
7、米秒，问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为_米 2秒24 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(xh)f(x)f(xh)h(001)证明：25 设平面曲线 L 上一点 M 处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L 在点 M 处的法线，法线上的两点 P，Q 分别位于 L 的两侧，其中 P 在 AM 上，Q 在 AM 的延长线 AN 上，若 P，Q 满足APAQ 2，称 P，Q 关于 L 对称设L： ，P 点的坐标为 26 讨
8、论方程 2x3 一 9x2+12x 一 a=0 实根的情况27 讨论方程 axex+b=0(a0)实根的情况28 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)0证明：存在 0，1，使得 f()29 证明：方程 fn(x)=1 在0，+)有唯一实根 xn；30 求30 设 fn(x)=1 一(1 一 cosx)n，求证：31 任意正整数 中仅有一根；32 设有33 在数 中求出最大值34 证明：方程 x2=lnx(a35 f(x)在( 一，+)上连续， 且 f(x)的最小值 f(x0)0，证明：f(f(x)至少在两点处取得最小值36 设 T=cosn，=arccosx，求考研数学一（一元函数微分学
9、）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，且 ，所以 f(0)=0从而有【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 根据单调性的定义直接可以得出 D 选项正确【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查一元函数微分学的应用，讨论函数的零点问题令由于 e-x0，g(x)与 f(x)的零点完全一样，又 且仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增，所以 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点当 a0 时，f(一)0，f(
10、+) 0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)正好有一个零点 f(x)无零点【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 对于 f(x)在 上使用拉格朗日中值定理，得【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 f(x)周期为 4，曲线在点(5，f(5) 处的切线斜率与曲线在点(1，f(1)处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1) 处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数即 f(1)=一 2【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=e-x 与
11、g(x)=一 e-x，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=一 e-x，g(x)=e -x，f(x)g(x) ，(1)不正确，将 f(x)与 g(x)交换可说明(2)不正确【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 因两曲线相切于点 ，故相交于该点将 代入y=ax2+b 中得 又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以，将 x=2 代入得【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)= x在 x=0 处不可导，排除 A 函数 f(x)=x2 在 x=0 处可导，f(x) = x 2在 x=0 处也可导，
12、排除 C，D【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 不存在，故 f(0)不存在【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 D【试题解析】 A 不一定，反例：f(x)=x 3，f(0)=0 ，但 x=0 非极值点；B 不一定，需加条件：f(x)在 x0 点两侧异号；C 项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=e-x 与 g(x)=一 e-x，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=一 e-x，g(x)=e -x，f(x)g(x) ，(1)不正确，将 f(x)与 g(x)交换可说明(2
13、)不正确【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)= x在 x=0 处不可导，排除 A 函数 f(x)=x2 在 x=0 处可导，f(x) = x 2在 x=0 处也可导，排除 C，D【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=e-x 与 g(x)=一 e-x，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=一 e-x，g(x)=e -x，f(x)g(x) ，(1)不正确，将 f(x)与 g(x)交换可说明(2)不正确【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 D【试题解析】 根据单调性的定义
14、直接可以得出 D 选项正确【知识模块】 一元函数微分学二、填空题15 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 方程两边同时对 x 求导，可得解得【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 y+2x1=0【试题解析】 过(0，1) 点的切线，即求过 t=0 的切线方程由于则法线的斜
15、率为一 2，可得出法线方程为 y 一 1=一 2(x 一 0)，整理得 y+2x 一 1=0【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 144【试题解析】 设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r2(t)，故 s(t)=2r(t)r(t)，由题知 r(t)=6，r(t)=6t，所以 s(2)=2r(2).6=144(米2秒)。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a，b，x 2x1，使
16、得 f(x2)0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 由泰勒公式得 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 令 f(x)=2x3 一 9x2+12xa，讨论方程 2x3 一 9x2+12x-a=0 实根的情况，即是讨论函数 f(x)零点的情况显然， 所以，应求函数 f(x)=2x3 一 9x2+12x-a 的极值，并讨论极值的符号【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 f(
17、x)=axez+b，因为 求函数 f(x)=axex+b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值f(x)=ae x+axex=aex(1+x)，驻点为 x=一 1，f(x)=2ae x+axex=aex(2+x)，f(一 1)0，所以，x=一 1 是函数的极小值点，极小值为 (1)当 时，函数 f(x)无零点，即方程无实根；(2)当 时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根； (3)当时，函数 f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根；(4)当 b0时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 因为 f(x)在区间0，1上连续，所
18、以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)一 f(0)f(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 f n(x)连续，且 fn(0)=0，f n(1)=n1，由介值定理，xn(0，1)，使 fn(xn)=1，n=2 ，3，又 x0 时，f n(x)=1+2x+nxn1 0，故 fn(x)严格单增，因此 xn 是 fn(x)=1 在0，+)内的唯一实根【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由(1)可得，x n(0，1)，n=2，3，所以x n有界又因为fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2， 3，
19、所以 xn+xn2+xnn=xn+1+xn+12+xn+1n+xn+1n+1，即(x n+xn2+xnn)一(x n+1+xn+12+xn+1n)=xn+1n+10，因此 xnx n+1，n=2，3，即x n严格单调减少，于是由单调有界准则知 存在，记因为 0x n1，所以【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 因为 fn(x)连续，又有 ，所以由介值定理知，使得 又因为内严格单调减少，因此，满足方程 的根 是唯一的，即 中仅有一根【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 因为由保号性知，当 nN 时，有 由 fn(x)的单调减少性质知【知识模块】 一
20、元函数微分学33 【正确答案】 先考查连续函数 由得 x=e，且有当 xe 时，f(x)0，f(x)单调增加；当 xe 时， f(x)0，f(x)单调减少所以，f(e)为 f(x)当 x0 时的最大值，而2e3，于是所求的最大值必在 中取到，又因为 ，所以，即最大值为 【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 令 f(x)=Inx 一 x2，则 f(x)在(0 ，+)上连续，且 故，当 xX 时，有 f(x)M0，任取 x0X，则 f(1)f(x0)0，根据零点定理，至少 ，使得 f()=0，即方程 xa=Inx 在(0 ，+) 上至少有一实根又 Inx 在(0 ，+)上单调增加，因 a
21、0，一 xa 也单调增加，从而 f(x)在(0，+) 上单调增加，因此方程 f(x)=0 在(0 ，+)上只有一个实根，即方程 xa=Inx在(0， +)上只有一个实根【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x0，则 F(x)在(一，+)上连续，且 F(x0)0，使得 F(b)0，于是由零点定理，知 x1(a，x 0)，使得 F(x1)=0； x2(x0，b)，使得 F(x3)=0，即有 x1x 0 x2，使得 f(x1)=x0=f(x2)，从而得 f(f(x1)=f(x0)=f(f(x2)【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 因为 =arccosx，当x1 时，0，所以【知识模块】 一元函数微分学
