1、考研数学一（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若极限 =A，则函数 f(x)在 x=a 处（A）不一定可导（B）不一定可导，但 f+(a)=A（C）不一定可导，但 f (a)=A（D）可导，且 f(a)=A2 设有多项式 P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设 x=x0 是它的最大实根，则 P(x0)满足（A）P(x 0)0（B） P(x0)0（C） P(x0)0（D）P(x 0)03 设 f(x)=3x2+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n=（A）0（B） 1（C） 2（D
2、）34 设 f(x)= ，在 x=0 处可导，则 a，b 满足（A）a=0 ，b=0（B） a=1，b=1（C） a 为 常数，b=0（D）a 为 常数，b=1 5 设 f(a)0，则 0，有（A）f(x)f(a)(x (a，a+)（B） f(x)f(a)(x(a， a+)（C） f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x (a ，a)（D）f(x)f(a)(x (a，a+)，f(x)f(a)(x (a ， a)6 设 f(x)= 则（A）f(x)在 x=0 处不连续（B） f(0)存在（C） f(0)不 ，曲线 y=f(x)在点(0，0)处不 切线（D）f(0)不 ，曲线 y=f
3、(x)在点(0，0) 处有切线二、填空题7 设有长为 12cm 的非均匀杆 AB，AM 部分的质量与动点肘到端点 A 的距离 x 的平方成正比，杆的全部质量为 360(g)，则杆的质量表达式 m(x)=_，杆在任一点 M 处的线密度 p(x)=_8 设 f(x)= n)，则 f(1)=_9 若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限=_10 设 f(0)=1，f(0)=0 ，则 =_11 设 k 为常数，则 1=_12 设 y=f 且 f(x)=arctanx2，则 =_13 设 y=sinx2，则 =_14 设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f3(x)，则 f(n)(x)=_15
4、设 y=ln(1+x2)，则 y(5)(0)=_16 设 则 =_17 曲线(x 1) 3=y2 上点(5 ，8)处的切线方程是_18 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_19 曲线 上对应点 t=2 处的切线方程为_20 r=a(1+cos)在点(r，)=(2a，0)，(a， )，(0，)处的切线方程分别为_21 =1 在点 M0(2a， )处的法线方程为_ 22 设函数 f(x)= 的导函数在 x=0 处连续，则参数 的取值范围为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 已知 y= du， 其中 t=t(x)由 确定，求 24 设 y=y(x)由方程组
5、 (*)确定，求25 设 y=xcosx，求 y(n)26 设 y=ln(3+7x6x 2)，求 y(n)27 讨论函数 f(x)= 在 x=0 处的连续性与可导性28 设 f(x)在( ，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)存在若求 F(x)，并证明 F(x)在(，+)连续29 给定曲线 y=x2+5x+4， ()确定 b 的值，使直线 y= x+b 为曲线的法线；()求过点(0 ，3)的切线30 计算下列各题：() 设 y=esin2x+ ，求 ()设 y= ，求()设 y= ，其中 ab0，求 y31 计算下列各题：() 设 ，其中 f(t)三阶可导，且 f(t)0，求；()
6、设 求 的值32 计算下列各题：() 由方程 xy=yx 确定 x=x(y)，求 ；()方程 yx ey=1 确定y=y(x)，求 y(x)；() 设 2xtan(x y)= sec2tdt，求 33 设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1， f(a)=2，求 g(3)34 设 f(x)在( ，+)内二次可导，令 F(x)=求常数 A， B，C 的值使函数 F(x)在(， +)内二次可导35 把 y 看作自变量，x 为因变量，变换方程 =x36 设 f(x)连续且 =2，(x)= f(xt)dt，求 (x)并讨论 (x)的连续性考研数学一（一元函数的导数与微分概念及
7、其计算）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 只有极限 存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选(A) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算2 【正确答案】 D【试题解析】 注意 P(x)在 (一 ，+)连续，又 P(x)=+选(D)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算3 【正确答案】 C【试题解析】 实质上就是讨论 g(x)=x2x= 时，g (n)(0) 的最高阶数 n 由于x在x=0 处不可导，因此 n=2选(C) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算4 【
8、正确答案】 A【试题解析】 首先，f(x)在 x=0 连续 f(x)=f(0)，即 b=0然后，f(x)在 x=0 可导 f+(0)=f (0)当 b=0 时，f(x)= 按定义求出f+(0)= =0由求导法则知 f (0)=(ax) x=0=a由 f+(0)=f (0)得 a=0因此选(A)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算5 【正确答案】 C【试题解析】 直接由定义出发 f(a)= 0由极限的保序性0，当 x(a，a+)，xa 时 0 f(x)f(a) (x (a，a+) ，f(x)f(a) (x(a 一 ，a)因此选(C)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算6 【正
9、确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)=0=f(0)又 y=f(x)的图形见图 21 因此，f(0)不 ，y=f(x)在(0，0) 切线 x=0选(D)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算二、填空题7 【正确答案】 x2 5x【试题解析】 按题意，m(x)=kx 2，令 x=12，得 360=k.122，则 k= ，从而 m(x)=x2在任一点 M 处的线密度为 p(x)= =5x【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算8 【正确答案】 【试题解析】 f(x)是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 x=1 代人每个因式后，只
10、有第一项tan 1=0 ，而其余所有项都不等于 0记 g(x)= (1n)=(2013)! ，于是从而 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算9 【正确答案】 9f(1)【试题解析】 按导数定义，将原式改写成=f(1)+2f(1)+6f(1)=9f(1)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算10 【正确答案】 【试题解析】 原式=【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算11 【正确答案】 k【试题解析】 原式= =k【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算12 【正确答案】 【试题解析】 y=f(u)，u= ，u x=0=1【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其
11、计算13 【正确答案】 【试题解析】 设 u=x3，则 x= ，于是由复合函数求导法则即得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算14 【正确答案】 (2n 一 1)!f2n+1(x)【试题解析】 f (2)(x)=3f2(x)f(x)=3f5(x)，f (3)(x)=3.5f4(x)f(x)=3.5f7(x)， 可归纳证明f(n)(x)=(2n 一 1)!f2n+1(x)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算15 【正确答案】 0【试题解析】 y 为偶函数 y(5)(x)为奇函数 y(5)(0)=0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算16 【正确答案】 【试题解析】
12、【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算17 【正确答案】 y=3x 一 7【试题解析】 由隐函数求导法，将方程(x 一 1)3=y2 两边对 x 求导，得 3(x 一 1)2=2yy令 x=5，y=8 即得 y(5)=3故曲线(x 一 1)3=y2 在点(5，8) 处的切线方程是y=8+3(x 一 5) y=3x 一 7【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算18 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因y=lnx 上点(x 0，y 0)=(x0，lnx 0)(x00)处的切线方程是y=lnx0+ +ln
13、x01，从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必要条件是x0=1，即该切线为 y=x 一 1【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算19 【正确答案】 y=3x 一 7【试题解析】 t=2 时(x，y)=(5，8)， t=3切线方程为 y 一8=3(x 一 5)，即 y=3x 一 7【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算20 【正确答案】 x=2a ，ya=x ，y=0【试题解析】 参数方程 则()在点(r，)=(2a，0)处，(x，y)=(2a ， 0)，切线 x=2a( =)()在点(r，)=(a，=1，切线 ya=x()在点(r，)=(0 ，) 处，(x，y)=(0，0)，
14、=0，切线 y=0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算21 【正确答案】 【试题解析】 将方程对 x 求导 在 M0 处 y=【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算22 【正确答案】 (3，+)【试题解析】 由导数定义可求得 上述根限只在 1 时存在，且此时 f(0)=0，于是 f(x)的导函数为欲使 f(x)在 x=0 处连续，必须有而这一极限为零应满足 3因此，参数 的取值范围为 (3， +)(13 时 f(x)不存在 )【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 由式得 由 得因此【试题解析】 由式
15、给出 y=y(t)，由参数式给出 t=t(x)于是 y(t)与 t=t(x)复合的结果 y 是 x 的函数，由复合函数求导法可得 是变限积分求导，求 是参数式求导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算24 【正确答案】 由方程组的第一个方程式对 t 求导得 xt=6t+2=2(3t+1)将第二个方程对 t 求导并注意 y=y(t)得 yteysint+eycosty t=0，整理并由方程式化简(*)因此，有 于是，有 注意：由(*)式得 y t=0=1，由(*) 式得 =e在上式中令 t=0 得【试题解析】 这里 y 与 x 的函数关系由参数方程 x=x(t)，y=y(t) 给出，且
16、其中 x=x(t)是显式表示，易直接计算 xt，而 y=y(t)由 y 与 t 的方程式确定，由隐函数求导法求出 yt【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算25 【正确答案】 逐一求导，得 y=cosx+x(cosx)， y=2(cosx)+x(cosx)， =y(3)=3(cosx)+x(cosx)(3)，观察其规律得 y (n)=n(cosx)(n1) +x(cosx)(n) (*) 用归纳法证明：当 n=1 时(*) 显然成立，设 n=k 时(*)式成立，得 y(k+1)=k(cosx)(k)+(cosx)(k)+x(cosx)(k+1)= (k+1)(cosx)(k)+x(co
17、sx)(k+1)，即 n=k+1 时成立，因此(*)式对任意自然数 n 成立再用(cosx) (n)的公式得 y(n)= ncos(x+ 【试题解析】 逐一求导，求出 y，y，总结出规律，写出 y(n)表达式，然后用归纳法证明【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算26 【正确答案】 先分解 y=ln(32x)(1+3x)=ln(32x)+ln(1+3x) y(n)=ln(32x)(n)+ln(1+3x)(n)然后利用ln(ax+b) (n)的公式得【试题解析】 利用对数函数性质将函数 Y 分解为形如 ln(ax+b)的对数函数之和，再用ln(ax+b) (n)的公式即可得结果【知识模块
18、】 一元函数的导数与微分概念及其计算27 【正确答案】 按定义因此，f +(0)=f (0)=0因此 f(x)在 x=0 可导，因而也必连续【试题解析】 我们可先讨论 f(x)在 x=0 处的可导性因为当 f(x)在 x=0 可导或f+(0)，f (0)均存在但不等时，均可得 f(x)在 x=0 连续由 f(x)分段定义的具体形式，我们分别按定义求出 f+(0)，f (0)来讨论 f(0)是否存在【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算28 【正确答案】 首先求 F(x)当 x0 时，由求导法则易求 F(x)，而 F(0)需按定义计算 于是然后讨论 F(x)的连续性，当 x0 时由连续性
19、的运算法则得到 F(x)连续，当 x=0 时可按定义证明 F(x)=F(0)，这是 型极限问题，可用洛必达法则即F(x)在 x=0 也连续因此， F(x)在( ，+)连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算29 【正确答案】 () 曲线过任意点(x 0，y 0)(y0= +5x0+4)不垂直于 x 轴的法线方程是 y= (xx 0)+y0要使 y= x+b 为此曲线的法线，则=b解得 x0=1，b= ()曲线上任意点(x0，y 0)(y0= +5x0+4)处的切线方程是 y=y0+(2x0+5)(xx 0)， (*)点(0，3)不在给定的曲线上，在(*)式中令 x=0，y=3 得 =
20、1，x 0=1，即曲线上点(1，10)，(1，0)处的切线 y=7x+3，y=3x+3，通过点(0 ，3)，也就是过点(0，3) 的切线方程是y=7x+3 与 y=3x+3【试题解析】 关键是写出该曲线上任意点(x 0，y 0)处的切线方程 y=y0+(2x0+5)(xx 0)，或不垂直于 x 轴的法线方程 y=y0 (xx 0)，其中 y0= +5x0+4，再根据题中的条件来确定 x0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算30 【正确答案】 ()() lny =ln(x2+2)，求导得()【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算31 【正确答案】 () ()故【知识模块】 一元
21、函数的导数与微分概念及其计算32 【正确答案】 () 两边取对数得 ylnx=xlny，两边对 y 求导，并注意 x=x(y)，得上式两边乘 xy，并移项得(y 2 一 xylny) =x2 一 xylnx解出 ()e y=yx，两边取对数得 y=xlny对 x 求导(注意 y=y(x)求 ：将两边对 x 求导得()注意 y=y(x)，将方程两边对 x 求导，由复合函数求导法及变限积分求导法得2 (1 一 y)=sec2(xy)(1y) sec2(xy)(1y)=1，即1y=cos 2(x y) 再对 x 求导 y=2cos(xy)sin(xy)(1y)代入式y=sin2(xy)cos 2(x
22、y)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算33 【正确答案】 记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写成 g(y)由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得 f(x)g(y)+f(x)g(y)yx=0，或 f(x)g(y)+f(x)2g(y)=0注意到 g(3)= =1，在上式中令 x=a，应有 y=3，因此得到 g(3)=f(a)g(3)=2【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算34 【正确答案】 对任何常数 A，B，C，由 F(x)的定义及题设可知 F(x)分别在(一
23、，x 0，(x 0，+)连续，分别在 (一 ，x 0)，(x 0，+)二次可导从而，为使 F(x)在(一， +)二次可导，首先要使 F(x)在 x=x0 右连续，由于 F(x0 一 0)=F(x0)=f(x0)，F(x0+0)=C，故 F(x)在( 一，+) 连续 C=f(x0)在 C=f(x0)的情况下，F(x) 可改写成 从而故 F(x) 在(一， +)可导 B=f(x0)在 C=f(x0)，B=f(x 0)的情况下，F(x)可改写成故 F(x) 在(一， +)内二次可导 f(x0)综合得，当 A= f(x0)，B=f(x0)，C=f(x 0)时 F(x)在(一，+)上二次可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算35 【正确答案】 把方程中的 来表示由反函数求导法得再由复合函数求导法及反函数求导法：将它们代入原方程【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算36 【正确答案】 (x)的表达式中，积分号内含参变量 x，通过变量替换转化成变限积分x0 时，(x)= f(0)dt=f(0)由 f(x)在 x=0 连续及=20=0因此求 (x)即求这个分段函数的导数，x0 时与变限积分求导有关，x=0 时可按定义求导因此，最后考察 (x)的连续性显然，x0 时 (x)连续，又 即 (x)在 x=0也连续，因此 (x)处处连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算
