1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在a ，b连续，则 f(x)在a ，b非负且在a， b的任意子区间上不恒为零是F(x)=axf(t)dt 在a，b单调增加的( )（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件2 设 g(x)=0xf(u)du，其中 f(x)= 则 g(x)在区间(0，2)内( )（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续3 方程 =0 根的个数( )（A）0（B） 1（C） 2（D）34 由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x
2、轴旋转而成的旋转体体积为( )5 设一元函数 f(x)有下列四条性质：f(x)在a，b 连续；f(x)在a，b 可积；f(x)在a，b 存在原函数；f(x)在a，b 可导若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（A）（B） （C） （D）6 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成图形面积可表示为( )（A）一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx12x(x 一 1)(2 一 x)dx（C）一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx
3、7 设 f(x)=0xecost 一 ecostdt，则( )（A）f(x)=f(x+2)（B） f(x)f(x+2)（C） f(x)f(x+2)（D）当 x0 时，f(x) f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)8 曲线 y=e9sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为 ( )（A）一 03exsinxdx（B） 03exsinxdx（C） 0exsinxdx 一 exsinxdx+23exsinxdx（D） 02exsinxdx 一 23exsinxdx二、填空题9 =_10 =_11 =_12 设 =c，则a=_，b=_，c=_。13 曲线 y=0xtantdt(0
4、x )的弧长 s=_。14 设 F(x)= ，(x 0)，则 F(x)=_。15 曲线 =1 相应于 的一段弧长 s=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (1)设 f(x)连续，证明 0xf(sinx)dx= 0f(sinx)dx；(2)证明 ，其中曲线 l 为 y=sinx，x0，。17 (1)设 f(x)在 (一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意 a(一 ，+)恒有 aa+lf(x)dx=0lf(x)dx(2) 计算18 设 f(x)在 ，上连续，且有 f(x)= +f(x)sinxdx，求 f(x)19 设曲线 y=ax2(
5、x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D，求 (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； (2)a 的值，使 V(a)为最大20 过坐标原点作曲线 y=ex 的切线，该切线与曲线 y=ex 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形，记为 D，求 (1)D 的面积 A； (2)D 绕直线 x=1 所成的旋转体的体积 V。21 求不定积分22 设有摆线 试求 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积23 计算(1)求 J= ；(2)设 f(x)=maxx3，x 2，1，求f(x)dx24 设
6、曲线 L 的参数方程为 x=(t)=tsin t，t=(t)=1 一 cos t(0t2)(1)求由 L 的参数方程确定连续函数 y=y(x)，并求出它的定义域(2)求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积 V。25 设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 0af(x)dx=af(0)+ f()26 设 f(x)=1xttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 已知
7、g(x)在a，b连续，在(a，b)可导，则 g(x)在a，b 单调增加g(x)0(x(a，b)，在(a，b)的任意子区间内 g(x)0 因此，F(x)= 0xf(t)dt(在a，b可导)在a ，b 单调增加 F(x)=f(x)0(x(a，b)且在(a，b) 的任意子区间内F(x)=f(x)0故选 C【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在区间0 ，2上只有一个第一类间断点 (x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，因而 g(x)=0xf(u)du 在该区间内必连续，故选D【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】
8、 设 F(x)= ，则 F(x)在(一，+)上连续，又F(0)= 0，由零点定理得 F(x)=0 至少有一个根。又易知 且当 x(一 ，+) 时， 1(等号仅当 x=0 成立)，又 0 1，一 1sinx1，所以有一 1 1，又 F(0)=10，因此 F(x)0，从而有 F(x)在( 一 ，+)严格单调递增，因此，F(x)=0 最多有一实根 综上，F(x)=0 在(一，+)上有且仅有一个实根，故选 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积计算公式，得故远 B【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 这
9、是讨论函数 f(x)在区间a ，b 上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题由 f(x)在a，b可导f(x)在a，b连续f(x)在a，b可积且存在原函数故选C【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确事实上， S= 02y dx=02x(x 一 1)(2 一 x)dx = 01x(x1)(2 一x)dx+ 12x(x1)(2 一 x)dx =一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx
10、。【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 考查 f(x+2)一 f(x)=xx+2xecost 一 ecostdt 被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得 因此，f(x+2)一f(x)=0，故选 A【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时，y0；当 x2 时，y0 所以 y=exsinx(0x3)与 x 轴所围成的面积为 0exsinxdx 一 2exsinxdx+23exsinxdx 故选 C【知识模块】 一元函数积分学二、填空题9 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确
11、答案】 ln2【试题解析】 原式整理得【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 a1；b=0 ；c=0 或 a=1；b=0；c=一 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 ln(1+ )【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)设 x=t，则 dx=一 dt，且当 x=0 时，t=；当 x= 时，t=0于是
12、 0xf(sinx)dx=一 0(t)fsin( 一 t)dt =0( 一 t)f(sint)dt =0f(sint)dt0tf(sint)dt =0f(sinx)dx0xf(sinx)dx，【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 (1)证明： 必要性： 设 (a)=0a+lf(x)dx 一 0af(x)dx，由题设 (a)=f(a+l)一 f(a)=0， 则 (a)=c(常数) 设 a=0，则 c=(0)=0lf(x)dx，那么 (a)=aa+lf(x)dx=0lf(x)dx 充分性： 在 0a+lf(x)dx=0lf(x)dx 两边对 a 求导，得 f(a+l)一 f(a)=0，故
13、f(x)以 l 为周期 (2) 利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 由于 f(x)sinxdx 存在，且记为 A，于是可得，【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 当 a0 时，得 V(a)的唯一驻点 a=4当 0a 4 时， V(a)0；当 a4 时，V(a)0 故 a=4 为 V(a)的唯一极大值点，即为最大值点【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 设切点坐标为 P(x0，y 0)，于是曲线 y=ex 在点 P 的切线斜率为 y0=，则切线方程为 y 一 y0= (x 一 x0)它经过点(0，
14、0)，所以一 y0=一，代入求得 x0=1，从而 y0= =e，即切线方程为 y=ex (1)取水平微元为 A 的面积元素，D 的面积(如图 311 所示)【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 这是由参数方程给出的曲线，由于 x()=1 一 cos，y()=sin， 则按旋转面面积计算公式，可得旋转面的面积【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 因此，f(x)dx=F(x)+C，其中 C 为任意常数。【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 (1)(t)=1 一 cost0(t(0，2)，(0)=(2)=0，又 (t)在0
15、 ，2上连续，所以 (t)在0，2 单调递增，值域为(0) ，(2)=0，2，则 x=(t)在0，2 存在连续的反函数 t=t(x)，定义域为0，2，即 y(x)=t(x)在0，2上连续 (2)由旋转体的体积公式有： V=2 02xy(x)dx=202(t 一 sint)(1 一 cost)2dt =202t(1 一 cost)2dt 一 2(订 sint(1 一 cost)2dt， 其中 02sint(1 一 cost)2dt=sint(1一 cost)2dt=0。 再令 t=2s，那么 V=202(2s)(1 一 coss)2ds=2022(1coss)2dsV， 从而 【知识模块】 一元
16、函数积分学25 【正确答案】 0af(x)dx=0af(x)d(x 一 a) =(xa)f(x) 0a0a(xa)f(x)dx =af(0)一0a(x 一 a)f(x)dx因为 f(x)连续，x 一 a0(x0，a)，故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 因为 tt为奇函数，可知其原函数 f(x)= 1xtt dt= 10ttdt+ 0xttdt 为偶函数，即由 f(一 1)=0，得 f(1)=0，即 y=f(x)与 x 轴有交点(一 1， 0)，(1，0) 又由 f(x)=xx，可知 x0 时，f(x)0，故 f(x)单调减少，从而 f(x)f( 一 1)=0(一 1 x0)；当 x0 时，f(x)=xx0，故 f(x)单调增加，且 y=f(x)与 x 轴有一交点(1，0)综上，y=f(x)与 x 轴交点仅有两个 所以封闭曲线所围面积 A= 11f(x)dx=2 10f(x) dx 【知识模块】 一元函数积分学
