1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 由曲线 y=1 一(x 一 1)2 及直线 y=0 围成图形(如图 31 所示)绕 y 轴旋转而成的立体的体积 V 是( )2 曲线 r=aeb(a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( )3 旋轮线的一支 x=a(tsint)，y=a(1 一 cost)(0t2)的质心是( )4 半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度=1若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( )5 设 F(x)=xx+2esintsintdt
2、，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数6 等于( )（A） 01ln2xdx（B） 212lnxdx（C） 212ln(1+x)dx（D） 12ln2(1+x)dx7 设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)一 f(一 t)dt（B） 0xtf(t)+f(一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf(t)2dt8 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 axf(t)dt+ =0 在开区间(a ，b)内的根有( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个二、填空
3、题9 f(x)= ，则 14(x2)dx=_10 设 f(x)=max1，x 2，则 xxf(t)dt=_11 抛物线 y2=2px，从原点到这曲线上的一点 M(x，y)的弧长 s=_12 已知曲线 y=f(x)过点(0，一 )，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为 xln(1+x2)，则 f(x)=_13 在曲线 y=x2(0x1)上取一点(t ，t 2)(0t1)，设 A1 是由曲线 y=x2(0x1)，直线 y=t2 和 x=0 所围成图形的面积；A 2 是由曲线 y=x2(0x1)，直线 y=t2 和 x=1 所围成图形的面积，则 t 取_时，A=A 1+A2 取最小值14 已知抛物叶
4、形线的一部分：y 2= (3 一 x)2(0x3)，如图 32 所示，它围成的图形为 M，则 M 的面积 A=_，M 的质心(形心) =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求由曲线 y= 与直线 y=a(0a1) 以及 x=0，x=1 围成的平面图形(如图35 的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)16 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)dx=0f(x)cosxdx=0试证明在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f( 1)=f(2)=017 设 f(x)在0，+连续，且 证明至少存在(0， +)，使得 f()+=018 计算不定积分
5、19 设 f(x)= ，证明曲线 y=f(x)在区间(ln2， +)上与 x 轴围成的区域有面积存在，并求此面积20 计算下列反常积分(广义积分)的值21 设函数 y=f(x)在a ，b上(a 0)连续，由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴围成的平面图形(如图 36 所示)绕)，轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式22 设曲线 y= 在(x 0，y 0)处有公切线(如图 37 所示)，求这两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V。23 假定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证明 +f(x 一 )dx=+f(x)dx24 设 f(x)在a，b上
6、有二阶连续导数，证明 abf(x)dx=abf“(x)(x 一 a)(x 一 b)dx25 设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明 abf(x)dx+ abf(x)dx26 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)sinxdx=0， 0f(x)cosxdx=0证明在(0，)内 f(x)至少有两个零点考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据选项需把曲线表成 x=x(y)，于是要分成两部分【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 利用极坐标表示曲线的弧长公式，
7、故选 A【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 先求弧微分故选A【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 如图 38 所示，任取x，x+dx0，R ，相应的小横条所受压力微元【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由分析可知，F(x)=F(0)，而 F(0)= 02esintsintdt=一 02esintdcost =一esint cost 02+02esintcos2 tdt =02esintcos2tdt0 故选 A【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 结合积分的定义，则故选 B【知识模块】 一元函数
8、积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 取 f(x)=x，则相应的 均为奇函数，故不选 A、C、D应选 B【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 赋值法取 f(x)1，显然满足题设条件而此时原方程化为(x 一 a)+(x 一 b)=0，即 2x 一(a+b)=0而该方程显然在(a，b)内只有一个实根，可见A、C、D 均不正确，故选 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 设 x 一 2=t，dx=dt ，当 x=1 时，t=一 1；当 x=4 时，t=2于是【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数
9、积分学11 【正确答案】 【试题解析】 设 pO，y0，则【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 (1+x2)ln(1+x2)一 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 如图 39 所示A 1=0t(t2 一 x2)dx，A 2=01(x2 一 t2)dx，A(t)=A 1(t)+A2(t)=201(t2 一 x2)dx+01(x2t2)dx【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 (1)由对称性可知，第一象限内 y= (3 一 x)与 x 轴围成的面积的两倍即是 M 的面积，因此【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出
10、文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 把由曲线 y= 与直线 y=a(0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形记为 D，则 D 可分为两个部分区域【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0。又因为 0= 0f(x)cosxdx=0cosxdF(x) =F(x)cosx 0+0F(x)sinxdx =0F(x)sinxdx， 所以存在 (0，) ，使 F()sin=0，不然，则在(0，) 内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，与 0F(x)sinxdx=0 矛盾，但当 (0，)时 sin0，故 F()=0。
11、 由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0， 再对 F(x)在区间0， ， 上分别用罗尔定理知，至少存在 1(0，)， 2(，)，使得 F()=F()=0，即 f(1)=f(2)=0【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 作函数 F(x)=f(x)+x，有 01F(x)dx=01f(x)+xdx=01f(x)dx+ 0 所以由积分中值定理，存在 a0，1，使 01F(x)dx=(10)F(a)0， 即 F(a)0 又 因此，由零点定理，至少存在一个 (a，b) (0，+) ，使 F()=0，即 f()+=0【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识
12、模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 (1)由于 x2 一 2x=(x 一 1)2 一 1，因此为去掉被积函数中的根号，可令 x 一 1=sect 则有【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 用微元法，任取a，b 上小区间x，x+dx，相应得到小曲边梯形，它绕 y 轴旋转所成立体的体积为 dV=f(x) 2xdx，于是积分得旋转体的体积为 V=2abxf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 先求 a 值与切点坐标，由已知条件【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案
13、】 连续利用分部积分法有 abf(x)dx=abf(x)d(x 一 b)=f(a)(ba)一 abf(x)(xb)d(x 一 a) =f(a)(b 一 a)+ab(x 一 a)df(x)(x 一 b) =f(a)(b 一 a)+ab(x 一 a)df(x)+abf“(x)(x 一 a)(x 一 b)dx =f(a)(ba)+f(b)(b 一 a)一 abf(x)dx+abf“(x)(x 一 a)(x 一 b)dx， 移项并整理得 abf(x)dx= abf“(x)(x 一 a)(xb)dx【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 可设 f(x)= f(x)，即证 (b 一 a)f(x 0
14、) abf(x)+(b一 a)abf(x)dx，即 abf(x0)dx abf(x)dx(ba) abf(x)dx 事实上， abf(x0)dx abf(x)dx abf(x0)f(x)dx = ab (t)dtdx abab f(t)dtdx =(b 一 a)abf(x)dx 故得证【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 反证法，如果 f(x)在(0 ，)内无零点(或有一个零点，但 f(x)不变号，让法相同)，即 f(x) 0(或0)，由于在(0，)内，有 sinx0，因此，必有0f(x)sinxdx0(或0) 。这与假设相矛盾 如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0，a)与(a，) 内 f(x)sin(x 一 a)同号，因此 0f(x)sin(x 一 a)dx0，但是，另一方面 0f(x)sin(x 一 a)dx=0f(x)(sinxcosa 一cossina)dx =cos0f(x)sinxdx 一 sina0)f(x)cosxdx=0 这个矛盾说明 f(x)也不能在(0，) 内只有一个零点，因此它至少有两个零点【知识模块】 一元函数积分学
