1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 在(a， b)内的根有 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个2 设 f(x)连续，f(0)=1，f(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是 ( )3 设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y=(x)= ( )（A）在(a，b)内的图形为凸（B）在 (a， b)内的图形为凹（C）在 (a， b)内有拐点（D）在(a，b)内有间断点4 ，则 ( )（A）F(x)为 f(x)的一
2、个原函数（B） F(x)在(- ，+)上可微，但不是 f(x)的原函数（C） F(x)在(- ，+)上不连续（D）F(x)在(-，+)上连续，但不是 f(x)的原函数5 已知 则在(-，+)内，下列正确的是 ( )（A）f(x)不连续且不可微， F(x)可微，且为 f(x)的原函数（B） f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数（C） f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数（D）f(x)连续，且 F(x)=f(x)二、填空题6 函数 F(x)= 的递减区间为 _7 已知 =_8 设 =_9 定积分 =_10 设 f(x)= =_11 =
3、_12 设两曲线 y=f(x)与 在点(0，0) 处有相同的切线，则=_13 =_(a 为常数，n 为自然数)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 若 f(x)在(-，+) 上连续，且 f(x)= ，试证：f(x)0 (-x+) 15 计算16 已知 I(a)=17 求不定积分18 求不定积分(arcsinx) 2dx319 设函数 f(x)连续，且20 设 f(x)具有二阶导数，且 f(x)0又设 u(t)在区间0，a(或a，0)上连续证明：21 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(1)证明： f(t)dt 可以表示为一个以 T 为周期的函数 (x)与 kx 之和，并求
4、出此常数 k；(2)求(1)中的 (3)以x 表示不超过 x 的最大整数，g(x)=x-x，求22 设在区间e，e 2上，数 p，q 满足条件 px+qInx，求使得积分 I(p，q)= (px+q-lnx)dx 取得最小值的 p，q 的值22 设 f(x)在区间1，+)上单调减少且非负的连续函数， f(x)fx(n=1，2，)23 证明： 存在；24 证明：反常积分 同敛散25 设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)0x1，0y1) 及直线 l：x+y=t(t0)若S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求26 设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数
5、A0证明：27 求曲线 的一条切线 l，使该曲线与切线 z 及直线 x=0，x=2 所围成图形的面积最小28 设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积29 如图 13-1 所示， 设曲线方程为 ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a0，证明：考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令故 F(x)在(a，b)内有根又 F(x)=f(x)+
6、 0，所以 F(x)单调增加，它在(a，b)内最多只有一个根应选(B) 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项(D)中函数记为 y=F(x)由 F(0)=1，F(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为 y=1+2x故应选(D)【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 先将 (x)利用 x-t的分段性分解变形，有因为 (t)在a，b上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是 (D)为讨论其余三个选项，只需求出 (x)，讨论 (x)在
7、(a ，b) 内的符号即可因故 y=(x)的图形为凹应选(B)【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 请看通常的解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得所以 F+(0)F-(0)根据原函数定义，F(x) 不是 f(x)在(-，+)上的原函数 事实上，由于 f(x)有第一类间断点，所以 F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D)【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为：故 x=0 为 f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数通过计算 故 F(x)可微即 F(x)=f(x)
8、，故(A)正确【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 e 2，+)【试题解析】 需要考虑 F(x)的导函数 F(x)=1- 令 F(x)0，即得 xe2【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 -1【试题解析】 此积分的计算要用分部积分法原积分=【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理，然后再计算极限【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 x 2sinx 是奇函数，故在 上的定积分值为 0原积分【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 作定积分换元 x+1=
9、t，原积分=【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 0【试题解析】 被积函数 cosx 是奇函数，在对称区间-2，2上积分为零【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 2【试题解析】 由已知条件知 f(0)=0，f(0)= =1，故得【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 0【试题解析】 显然 积分难以积出考虑积分中值定理，其中 x 介于 x，x+a 之间所以原极限【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 由 f(x)= f(t)dt 可知 f(x)=f(x)，其通解为 f(x)=cex，又 f(0)=0，故f(x)
10、0【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 因 k 值不同，故分情况讨论：当 k1 时，原式=，即积分收敛；当 k=1 时，原式= ，即积分发散；当 k1 时，原式=，即积分发散【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 (1)当 a0，1 时，【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 u=2x-t，则 t=2x-u，dt=-du当 t=0 时，u=2x；当 t=x 时，u=x故 由已知得 ，两边对 x 求导，得【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由泰勒公式有 f(x
11、)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ f()(x-x0)2f(x0)+f(x0)(x-x0)， 介于 x 与 x0 之间以 x=u(t)代入并两边对 t 从 0 到 a 积分，其中暂设 a0，于是有【试题解析】 由条件 f(x)0，想到将 f(x)在某 x0 处展成拉格朗日余项泰勒公式，然后丢弃 f()得到一个不等式以处理之【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 对于其中的第二个积分，作积分变量变换，令 t=u+T，有可见，(x)为 T 周期函数的充要条件是 可以表示成 其中 (x)为某一周期 T 的函数【试题解析】 (1)证明能取到常数 k 使 f(t)dt-kxn 以 T 为周
12、期即可(1)得到的表达式去求 f(t)dt 即可得 (2)但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非 f(x)恒为常数对于(3) ，由于 g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论(见下面的 注) 由于 g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 要使 最小，直线 y=px+q 应与曲线y=lnx 相切，从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数通过积分求出 I(p)后再用微分方法求 I(p)的极值点 P0 然后再求出 q 的值或将 p，q 都表示成另一个参数 t 的函数形式，求出 I(t)的极值点后，再求
13、出 p，q 的值 方法一 设直线 y=px+q 与曲线 y=lnx 相切于点 (t，lnt)，则有方法二 设直线 y=px+q 与曲线 y=lnx 相切于点(t，lnt) ，则有【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由 f(x)单调减少，故当 kxk+1 时， f(k+1)f(x)f(k)两边从 k到 k+1 积分，得即(a n有下界又 即数列a n单调减少，所以存在【试题解析】 由 f(x)单调减少，当 kxk+1 时，可以写出关于 f(x)的一个不等式，两边从 k 到 k+1 积分，便可得到关于 an 的一个表达式【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 由于 f(x)非负，所以 为 x 的单调增加函数当 nxn+1时，【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由题设知 S(t)= 所以当 0x1 时，当 1x2 时，当 x2 时，因此，【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【试题解析】 积分 对于 A0 收敛，由于【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 因为 处的切线 l 方程为又 S(1)0，故 t=1 时，S 取最小值，此时 z 的方程为 y=【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
