1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 由曲线 y= x(0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( )2 抛物线 y2=2x 与直线 y=x-4 所围成的图形的面积为 ( )3 曲线 上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为 ( )二、填空题4 设 f(x)连续，则 =_5 设 n 是正整数，则 =_6 =_7 定积分中值定理的条件是 f(x)在a ，b上连续，结论是_8 =_9 =_10 反常积分 =_11 反常积分 =_12 曲线 9y2=4x3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧
2、的长度为 _13 由曲线 y=x3，y=0 及 x=1 所围图形绕 z 轴旋转一周得到的旋转体的体积为_14 函数 y=lnx 在区间1， e上的平均值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得16 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足证明：存在 (0，1)，使得 f()=2f()17 设函数 f(x)有连续导数，F(x)= ，证明：F(2a)-2F(a)=f 2(a)-f(0)f(2a)18 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0，证明：存在 0，1，使得19 设
3、f(x)在a，b上连续且严格单调增加，证明：20 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=0，证明：21 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0 证明：对任何a0，1，有22 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且求证：存在 (0，)，使得 f()=022 设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，6) 内二阶可导，且，证明：23 在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()；24 在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()25 设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明：存在一点 a，b，使25 设 f(
4、x)在区间-a，a(a0)上具有二阶连续导数， f(0)=0，26 写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；27 证明：在-a，a上存在 ，使28 设 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 f(0).f(1)0，f(1)+ ，试证：至少存在一点 (0，1)，使 f()=f()29 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导， 证明：至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1-1)f()30 设 ab，证明：不等式31 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
5、求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 选积分变量为 y(如图 13-2)，两条曲线的交点 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题4 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 当 f(x)+f(a+b-x)便于积分时可简化定积分 的计算【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 在a，b上至少存在一点 ，使 =f()(b-a)，ab【知识模块】 一元函数
6、积分学8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 令 ，则 x=t2+2，dx=2tdt，原积分=【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 曲线方程可化为 ，弧长元素【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 该旋转体体积【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 平均值【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】
7、记 G(x)= 求得 G(x)的原函数 F(x)=，其中 C 为任意常数因为 f(x)，g(x)在a，b上连续，所以 F(x)：(1)在 a，b 上连续；(2)在(a ，b)内可导；(3)F(a)=F(b)=C，即 F(x)在a ，b上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，b)，使得 F()=0，即【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 由积分中值定理，得 令 F(x)=，则 F(x)在 1，1上连续，在( 1，1)内可导，且 F(1)=f(1)= f(1)=F(1) 由罗尔定理，在( 1，1)内至少有一点 ，使得 F()= f()-2f()=0，于是 f()=2f()，( 1， 1
8、) (0，1)【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 F(2a)-2F(a)【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 因为 f(x)在0，1上连续，所以，f(x)在0，1上有最小值和最大值，设为 m，M，即有 x1，x 20，1，使 f(x1)=m，f(x 2)=M 由中值定理，对任意 x0，1，存在 (0， x)，使 f(x)=f(x)-f(0)=f()x，于是有 f(x 1)x=mxf(x)=f(x)-f(0)=f()xMx=f(x2)x，因为f(x)在0 ，1上连续，由介值定理，必有 x1，x 2 0，1，或 x2，x 10， 1，使 f()=【知识模块】 一元函数积分学1
9、9 【正确答案】 令 F(t)= 因为 axt，且 f(x)在a，b上严格单调增加，所以 f(x)-f(t)0，于是有即 F(t)单调递减，又 F(a)=0，所以 F(b)0，从而(a+b)【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因为 f2(x)=f(x)-f(a)2= ，而【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令 F(a)= f(x)g(x)dx-f(a)g(1)，a 0，1，则 F(a)=g(a)f(a)-f(a)g(1)=f(a)g(a)-g(1) 因为 x0，1时，f(x)0，g(x)0，即函数f(x)，g(x) 在0，1上单调递增，又 a1，所以 F(a)=f(a)
10、g(a)-g(1)0，即函数 F(a)在0， 1上单调递减，又【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 首先证明 f(x)在(0 ，)内必有零点因为在(0，)内 f(x)连续，且sinx 0，所以，若无零点，则恒有 f(x)0 或 f(x)0，从而有，与题设矛盾所以，f(x)在(0，)内必有零点下面证明 f(x)在(0 ，)内零点不唯一，即至少有两个零点用反证法假设 f(x)在(0，)内只有一个零点 x0，则 f(x)在(0，x 0)和(x 0，)上取不同的符号(且不等于零)，否则与 矛盾这样，函数 sin(x-x0)f(x)在(0 ，x 0)和(x0，) 上取相同的符号，即恒正或恒负那
11、么有：从而矛盾，所以f(x)在(0，)内至少有两个零点于是由罗尔定理即得存在 (0，)，使得 f()0【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由加强型的积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得设 G(x)=e-xf(x)，则 G(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 G(a)=G(b)=G(c)=0，G(x)=e -xf(x)-e-xf(x)=e-xf(x)-f(x)由罗尔定理可知，分别存在 1(a，c)和 2(c，6)，使得 G()=G(2)=0，从而 f(1)=f(1)，f( 2)=f(2)【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 设
12、 F(x)=exf(x)-f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(1)=F(2)=0，则 F(x)=e xf(x)-f(x)+exf(x)-f(x)=exf(x)-f(x) 对 F(x)在区间1， 2上应用罗尔定理，即存在 (1， 2)，使得 F()=0，故有 f()=f() ，且i(i=1，2)【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 因 f(x)在a ，b上连续，故 mf(c)M 因为 g(x)0，mg(x)f(x)g(x)Mg(x)，【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 对任意 x-a，a，【知识模块】 一元函数积分学
13、27 【正确答案】 因为 f(x)在-a，a 上连续，由最值定理：mf(x)M ，x-a ，a mx 2f()x2Mx2，【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 令 F(x)= =f(1)+f(c)=0，C(0，1)，由此可知 f(c)0，否则 f(1)=0，与题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f(c)0，则 f(1)0，f(0)0 由连续函数的零点定理知存在 a(0，c) ，b(c，1)，使 f(a)=f(b)=0，即 F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在 (a， b)，使 F()=0，即故 f()=f()【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 令 F(x)=xe-xf(x)，因 f(1)=F(1)=e-1f(1)=e-f()=F()，故在，1 0，1上，对 F(x)运用罗尔定理，可得 (，1) (0，1) ，使 f()(1-1)f()【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 构造辅助函数【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 当 xa， b)时，【知识模块】 一元函数积分学
