1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 17 及答案与解析一、填空题1 已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 e-xf(e-x)dx=_。二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设 F(x)是 f(x)的原函数，且当 x0 时有 f(x)F(x)=sin22x，又 F(0)=1，F(x)0，求f(x)。3 求 。4 求(sinx+cosx)dx。5 求 。6 求 。7 求 。8 求 。9 求 。10 求 。11 求 。12 求 。13 计算不定积分 。14 已知 是 f(x)的一个原函数，求x 3f(x)dx。15 求不定积分(arcsinx) 2dx。16 求不定积分 。1
2、7 求不定积分 。18 计算不定积分 。19 计算不定积分 Jn= (n 为正整数) 。20 求 。21 求 。22 求 。23 设 f(x)在区间0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 f(0)=01f(x)dx= ，证明：存在 (0，2)，使得 f“()=0。24 设 f(x)为二次函数，且满足 f(x)=x2 一 x02f(x)dx+201f(x)dx，试求 f(x)。25 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且 f(x)0，g(x)非负，求 。26 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：对任意的 c(a，b)，有 f(c) abf(x)dx。27
3、设 f(x)在a，b上连续可导，证明： abf(x)dx+ abf(x)dx。28 求 02sinxdx。考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 17 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 一 F(e-x)+C【试题解析】 因为 F(x)是 f(x)的一个原函数，所以，F(x)=f(x)。令 u=e-x，则 e -xf(e-x)dx=一f(e -x)de-x=一f(u)du=一 F(u)+C=一 F(e-x)+C。【知识模块】 一元函数积分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 【正确答案】 因为 F(x)=f(x)，所以 F(x)F(x)=sin22x。等式两端积分，得 F(x
4、)F(x)dx=sin22xdx，即 F(x)dF(x)=sin 22xdx，故有 sin4x+C，由F(0)=1 得，C= ，因为 F(x)0，所以【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 (sinx+cosx)dx=sinxdx+cosxdx=一 cosx+sinx+C。【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案
5、】 设 x=tanu，则 dx=sec2udu，【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 设 x=tant，则 t=arctanx，dx=sec 2tdt，于是 =etsintdt，又 e tsintdt=一etdcost=一(e tcost 一e tcostdt) =一 etcost+etsint 一e tsintdt，【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 由已知可得因此 x 3f(x)dx=(2sinx 一 2xcosx 一 x2sinx)dx=一 2cosx 一 2xcosxd
6、x+x2d(cosx) =一2cosx+x2cosx 一 4xdsinx=一 2cosx+x2cosx 一 4xsinx+4sinxdx =x2cosx 一 4xsinx 一6cosx+C。【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 由换元积分法及分部积分法，令 u=arcsinx，则x=sinu，dx=cosudu，于是 (arcsinx) 2dx=u2cosudu=u2d(sinu) =u2sinu 一2usinudu=u2sinu+2ucosu 一 2sinu+C =x(arcsinx)2+2 arcsinx 一 2x+C。【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】
7、 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 设 ，利用比较系数法可求得 A=1， B=2，C 一 1，因此，所以【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 由三角函数可知，sinx 与 cosx 都可以用 tan 的有理式表示，即【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，则由牛顿一莱布尼茨公式及积分中值定理，有 01f(x)dx=F(1)一 F(0)=F(c)(1 一 0
8、)=f(c)，其中 c(0，1) ，再由积分中值定理得，于是有 f(0)=f(c)=f(x0)。 从而 f(x)满足罗尔定理的条件，故存在 1(0，c) ， 2(c，x 0)，使得 f()=f(2)=0，再次利用罗尔定理，存在 (1， 2) (0，2)，使得 f“()=0。【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 因定积分是一个数值，故可令 02f(x)dx=a， 01f(x)dx=b，于是 f(x)=x2 一 ax+2b，将其代入上面两式，得 02(x2 一 ax+2b)dx=a， 01(x2 一 ax+2b)dx=b。【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 因为 f(x)在a
9、 ，b上连续，所以 f(x)在a，b上有最大值 M 及最小值 m，又由于 f(x)0，所以 Mm0。又已知 g(x)非负，因此【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由牛顿一莱布尼茨公式得 f(c)一 f(a)=acf(x)dx，f(b)一 f(c)=cbf(x)dx，因为 f(a)=f(b)=0，所以有【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 令 f(x)= f(c) ，由积分中值定理得 abf(x)dx=f(x0)(a x0b)。由牛顿一莱布尼茨公式的形式得 f(c)=f(x0)+ f(x)dx，于是abf(x)dx+ abf(x)dx。故命题得证。【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 当 x0， 时，sinx=sinx；当 x，2 时，sinx= 一sinx。由定积分的可加性及牛顿一莱布尼茨公式有 02sinxdx= 0sinx dx+2sinxdx = 0sinxdx 一 2sinxdx =(cosx) 0+cosx 2 =一(cos 一 cos0)+(cos2 一 cos) =2+2 =4。【知识模块】 一元函数积分学
