1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 使不等式 lnx 成立的 x 的范围是( )（A）(0 ，1)。（B） (1， )。（C） ( ，)。（D）(，+)。2 设 I= ，则 I，J ，K 的大小关系是( )（A）IJK。（B） IKJ。（C） JIK。（D）KJI。3 由曲线 Y= (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为( )4 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成图形面积可表示为( )（A）一 02(x 一 1)(2 一 x)dx。（B） 01x(x 一 1)(
2、2 一 x)dx 一 12x(x 一 1)(2 一 x)dx。（C）一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx。（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx。5 半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐平，设水密度=1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( )二、填空题6 设 a0，则 I= =_。7 0xsin(x 一 t)2dt=_。8 =_。9 =_。10 设 =c，则 b=_，c=_。11 曲线 y=0xtantdt(0x )的弧长 s=_。12 曲线 =1 相应于 的一段弧长 s=_。三、解答题解答
3、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 计算 。14 设 f(x)在 一 e，e 上连续，在 x=0 处可导，且 f(0)0。()证明：对于任意x(0，e)，至少存在一个 (0，1) ，使得 0xf(t)dt+0-xf(t)dt=xf(x)一 f(一 x)。()求极限 。15 求函数 f(x)= 的单调区间与极值。16 设 f(x)在0，上连续，且 0xf(t)costdt=0xf(t)sintdt=0，证明：f(x)在(0，)内至少有两个零点。17 设两曲线 y= 在(x 0，y 0)处有公切线，求这两曲线与 x轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V。18 设函数 f(x)在
4、(一，+)内连续，且 F(x)=r(2t 一 x)f(t)dt，证明：()若 f(x)是偶函数，则 F(x)也是偶函数。()若 f(x)是单调减函数，则 F(x)也是单调减函数。19 证明：当 x0 时， 0x(t 一 t2)sin2ntdt 。20 设 f(x)在0，1上具有连续导数，且 f(0)+f(1)=0。证明： 01f(x)dx 01f(x)dx。21 设 f(x)在区间2，4上具有二阶连续导 f“(x)，且 f(3)=0，证明：存在一点(2， 4)，使得 f“()=3 24f(x)dx。22 计算xarcsinxdx 。23 设 f(x)在0，上连续，证明 0xf(sinx)dx=
5、 f(sinx)dx。24 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)。汽锤第一次击打将桩打进地下 a m。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 r(0r1)。问()汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深?()若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注： m 表示长度单位米)25 椭球面 S1 是椭圆 =1 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S2 是过点(4，0)且与椭圆=1 相切的直线绕 x 轴旋转而成。 () 求 S1 及 S2 的方程
6、； ()求 S1 与 S2 之间的立体体积。26 设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D。 ()求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； () 求 a 的值，使 V(a)为最大。27 过坐标原点作曲线 y=ex 的切线，该切线与曲线 y=ex 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形，记为 D，求 ()D 的面积 A； ()D 绕直线 x=1 所成的旋转体的体积 V。28 计算下列反常积分(广义积分)的值。考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 19 答案与解析一、
7、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)= lnx，则原问题可转化为求函数 f(x)0 成立时 x的取值范围。 即 f(x)=0， 得 0x1，即当 x(0，1) 时，f(x)0。故应选 A。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 x(0， cosxcosx，因此lnsinxlncosxlncotx ，则 lncotxdx，故选 B。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积计算公式，得 V x=0f2(x)dx=0( )2dx =0sin
8、3xdx=一 0(1 一 cos2x)dcosx =一 (cosx 一。 故选 B。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查(B)、(C)选项中的每一部分是否均为正即可，显然(C)正确。事实上， S= 02y dx= 02x(x 一 1)(2 一 x)dx = 01x(x 一 1)(2 一x)dx+ 12x(x 一 1)(2 一 x)dx =一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx。【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 如
9、图 316 所示，任取x，x+dx0，R ，相应的小横条所受压力微元 dP=x 2ydx=2x 于是，闸门所受压力P= 。故选(c)。【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 一 a2ln3【试题解析】 由定积分的几何意义知 是半径为 a 的半圆的面积，即 所以 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 令 x 一 t=u，则原式= sinu2du=sinx2。【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 0；一 2【试题解析】
10、 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 n(1+ )【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 () 设 F(x)=0xf(t)dt+0-xf(t)dt，x一 e，e。则 F(x)在0，x上连续，在(0 ，x)内可导。 由拉格朗日中值定理 F(x)一 F(0)=F(x)(x 一 0)，其中0 1。即 0xf(t)dt+0-xf(t)dt=xf(x)一 f(一 x)。 ()由()中结论，可得【知识模块】 一元函
11、数积分学15 【正确答案】 由已知可得 f(x)的定义域为( 一，+)，且由定积分的性质有当 f(x)=0 时，x=0，1 。 列表讨论如下：所以，函数 f(x)的单调增区间为( 一 1，0)和(1，+)，单调减区间为(一，一 1)和(0，1)，极小值为 f(1)=0，极大值为 f(0)= (1 一 e-1)。【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)sintdt，F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在一点0(0，)，使得 F(0)=0，而 F(x)=f(x)sinx，且 sin00，所以 f(0)=0。 假设 f(x)在(0，) 内除 0 外没有零点，则 f(
12、x)在(0， 0)与( 0，)内异号。 不妨设当 x(0， 0)时，f(x)0；当 x(0，)时，f(x) 0，则 0f(x)sin(x 一 0)dx= f(x)sin(x 一 0)dx+ f(x)sin(x 一 0)dx。 因为当 x0， 0时，f(x)sin(x 一 0)连续，f(x)sin(x 一 0)0 且 f(x)sin(x 一 0)不恒等于零，所以 f(x)sin(x 一 0)dx0；同理 f(x)sin(x 一0)dx0，所以 0f(x)sin(x 一 0)dx0。 而 0f(x)sin(x 一 0)dx=cos00f(x)sinxdx 一sin00f(x)cosxdx=0。 与
13、假设矛盾，故 f(x)在(0，)内至少有两个零点。【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 由已知 由两曲线在(x0，y 0)处有公切线，得 解得 x0=e2，a=e -1。故所求的旋转体体积为曲线 y= 分别与 x 轴及直线 x=e2 所围成平面图形(如图 317 所示)绕 x 轴旋转而成的旋转体体积之差。于是由体积计算公式【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 ()F(一 x)=0-x(2t+x)f(t)dt 一 0x(一 2u+x)f(一 u)du， 若 f(x)是偶函数，则有 f(一 x)=f(x)。故 上式= 0x(2u 一 x)f(u)du=F(x)， 即 F(x)也
14、是偶函数。()欲证 F(x)是单调减函数，则需证 F(x)0 或 F(x)0 且等号仅在某些点成立。 由已知 F(x)=2 0xtf(t)dt 一 x0xf(t)dt，则 F(x)=2xf(x)一 0xf(t)dtxf(x)=xf(x)一 0xf(t)dt =0xf(x)dt0xf(t)dt=0xf(x)一 f(t)dx。 因 f(x)是单调减函数， t 介于 0 与 x 之间，所以当 x0 时，f(x)一 f(t)0，故 F(x)0；当 x0 时，f(x)一 f(t)0，故 F(x)0；当 x=0 时，F(0)=0。 即 x(一，+) 时，F(x)0 且符号仅在 x=0 时成立，因此 F(x
15、)也是单调减函数。【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 设 (x)=0x(t 一 t2)sin2ntdt，由 (x)=(x 一 x2)sin2nx=0，得x=1，x=k(k=1，2，) 。 因为当 x(0，1)时，(x) 0；当 x1 时，(x)0 。所以 x=1 为函数 (x)=0x(t 一 t2)sin2ntdt 在(0，+)上的最大值点，最大值为 M=(1)=01(tt2)sin2ntdt01(tt2)t2ndt=01(t2n+1t2n+2)= ，故 0x(tt2)sin2ntdt 。【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 对任意 x0，1 ，由牛顿一莱布尼茨定理可得，
16、f(x)一 f(0)=0xf(t)dt，f(x)一 f(1)= 一 x1f(t)dt，且已知 f(0)+f(1)=0，所以 2f(x)=0xf(t)dt 一 x1f(t)dt，两边积分得 2 01f(x)dx=010xf(t)dtx1f(t)dtdx，命题得证。【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令 F(x)=2xf(t)dt，可知 F(x)三阶连续可导，由二阶泰勒公式得因为 f“(x)在 1， 2 (2，4)上连续，所以 f“(x)在 1， 2上有界，故存在实数 m和 M(mM)，使得 m M 成立，所以由介值定理，存在1， 2 (2，4)，使得 f“()= ，于是有 f“()=
17、324f(x)dx。【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 () 设第 n 次击打后，桩被打进地下 xn，第 n 次击打时，汽锤所做的功为 Wn(n=1，2，3，)。由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx，所以 由 W2=rW1可得 x 22 一 a2=ra2，即有 x 22=(1+r)a2，又 W 3= x32 一(1+r)a2。 由 W3=rW2=r2W1 可得 x 32 一(1+r)a 2=r2a2，从而 x 3= ，即汽锤击打3 次后，可将桩打进地下 。
18、 ()由归纳法，设 xn=，则 W n+1= xn+12 一(1+r+rn1)a2。 由于 Wn+1=rWn=r2Wn1 一 1=rnW1，故得 x n+12 一(1+r+r n1)a=rna2，从而 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 。【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 () 由题意得 S1 的方程为 计算可得过点(4，0)与=1 相切的切线为 y=( 2)，所以 S2 的方程为【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 y=ax 2 与 y=1 一 x2 的交点为 ，直线 OA 的方程为当 a0 时，得 V(a)的唯一驻点 a=4。当 0a4 时，V(a)0；当 a
19、4 时，V(a)0。 故 a=4为 V(a)的唯一极大值点，即为最大值点。【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 设切点坐标为 P(x0，y 0)，于是曲线 y=ex 在点 P 的切线斜率为 k=，则切线方程为 yy0= (x 一 x0)。它经过点(0 ，0)，所以一 y0=一 x0，代入求得 x0=1，从而 y0= =e，即切线方程为 y=ex。 ()取水平微元为 A 的面积元素，D 的面积()如图 318 所示，D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 () 由于 x2 一 2x=(x 一 1)21，为去掉被积函数中的根号，可令x 一 1=sect，则有()采用分解法与分部积分法，注意 ，将被积函数分解并用分部积分法可得【知识模块】 一元函数积分学
