1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 在(a，b)内的根有 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个2 设 f(x)连续，f(0)=1，f(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是( )（A）（B）（C）（D）3 设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 的图形( )（A）在(a，b)内为凸（B）在 (a， b)内为凹（C）在 (a， b)内有拐点（D）在(a，b)内有间断点4 则 ( )（A）F(x)为 f(x)的一个原
2、函数（B） F(x)在(一，+)上可微，但不是 f(x)的原函数（C） F(x)在(一，+)上不连续（D）F(x)在(一，+) 上连续，但不是 f(x)的原函数5 则在(一，+)内，下列正确的是 ( )（A）f(x)不连续且不可微， F(x)可微，且为 f(x)的原函数（B） f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数（C） f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数（D）f(x)连续，且 F(x)=f(x)二、填空题6 已知函数 F(x)的导数为 则 F(x)=_7 8 积分9 设 zxf(xy)g(x y，x 2y 2)，其中 f，g 分
3、别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 _。10 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx ，ty)t 3f(x，y)，且 fx(1，2)1，f y(1，2)4，则 f(1，2)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知 ，设 D 为由 x0、y0 及 xyt 所围成的区域，求12 计算 ，其中 D(x，y)0x1，0y1故13 计算 ，其中 D(x，y)一 1x1，0y214 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 设 f(x)连续， 其中V(x，y，z) x 2y 2t2，0zh(t0)，求25 其中，x表示不超过 x 的最大整数26 27 已知28 设
4、 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明：29 证明：用二重积分证明30 计算定积分31 计算定积分32 设函数 x=x(y)由方程 x(yx)2=y 所确定，试求不定积分考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 则 F(x)在 a，b上连续，而且故 F(x)在(a ，b)内有根又，所以 F(x)单调增加，它在 (a，b)内最多只有一个根应选B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=
5、1+2x选项 D中函数记为 y=F(x)由 F(0)=1，F(0)=2f(0)=2 ，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为 y=1+2x故应选 D【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 先将 (x)利用 x 一 t的分段性分解变形，有因为(t)在a，b上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是 D为讨论其余三个选项，只需求出 (x)，讨论 (x)在(a，b)内的符号即可因故 y=(x)的图形为凹应选 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 请看通常的解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得但是所以 F+(0)F-(0)根据原函
6、数定义，F(x)不是 f(x)在(一，+)上的原函数请考生看看，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于 f(x)有第一类间断点，所以 F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择 D【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为：故 x=0 为 f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数通过计算 故 F(x)可微，即 F(x)=f(x)，故A 正确同样请考生自己得出此题的简捷做法【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 由题意【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】
7、，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 fxf“x y1 g1yx y1 lnxg1yx 2y1 lnxg11“2y 2xy1 g12“2x y1 lnxg21“4xyg 22“【试题解析】 由 zxf(x y)g(x y，x 2y 2)，得【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty) t3f(x，y)两边对 t 求导数得 xfx(tx，ty) yf y(tx，ty)3t 2f(x，y)， 取 t1，x 1，y2 得 fx(1，2)2f y
8、(1，2)3f(1，2)，故 f(1，2)3【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 当 t0 时，F(t)0；当 0t1 时， 当1t2 时， 当 t2 时，F(t)1，则【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 令 D1(x，y)0x1,0yx，D 2(x，y)0xy，0y1，则【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 令 D1(x，y)1x1，0yx 2)，D 2(x ，y)一1x1，x 2y2)，【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确
9、答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好 u 和 du=cosx.lnsinx+(csc2x1)dx= cot.lnsinxcotxx+C【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 因 x=一(1 一 x)一 1，从而可凑微分法【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分性质简化计算，本题还用到了华里士公式【知识模块】
10、 一元函数积分学21 【正确答案】 此题计算量大些，考虑用分部积分法然后分部积分，留 arccosx，移 到 d 后面，即【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由于(x 一 1nx)1 一 lnx，分子分母同时除以，注意到【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 一般会想到如下解法：用牛顿一莱布尼茨公式，令则【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 因分段函数则由定积分的分段可加性得【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 因分段函数 则由定积分的分段可加性得【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 令 t=x 一
11、 2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得，【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 令 D1(x，y)x 2y 2R2，x0，y0)， S(x，y) 0xR，0yR)，D 2(x，y)x 2 y22R2，x0，y0)【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 令 1 一 x=sint，则【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 令 yx=t，则(yt)t 2=y，故得 t3 一 3t=A(t3+t2 一 t 一 1)+B(t2+2t+1)+C(t3 一 t2 一 t+1)+D(t2 一 2t+1)=(A+C)t3+(A+BC+D)t2+(一 A+2BC一 2D)tA+B+C+D比较 t 的同次幂的系数得【知识模块】 一元函数积分学
