1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 7 及答案与解析一、填空题1 设 是 f(x)的一个原函数，则 =_。2 3 =_4 设 f(sin2x)=cos2x+tan2x(0x1)，则 f(x)=_5 设 y=y(x)，若 ，且 x+时，y0，则y=_6 设 f(x)连续，则 =_.7 设 n 是正整数，则8 9 定积分中值定理的条件是 f(x)在a ，b上连续，结论是_10 11 12 反常积分13 反常积分14 曲线 9y2=4x3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 _15 16 设 f(x，y)在区域 D：x 2y 2t2 上连续且 f(0，0) 4，则二、解答题解答应写出文字说
2、明、证明过程或演算步骤。17 设 f(x)二阶连续可导，且曲线积分 与路径无关，求 f(x)18 计算 ，其中 S 为圆柱 x2y 2a 2(a0)位于 z一 a 与 za 之间的部分。19 设 S：x 2 y2z。 2a 2，计算20 计算曲面积分 ，其中是曲线绕 z 轴旋转一周所得到的曲面，取外侧21 计算曲线积分 ，其中 C： ，从 z 轴正向看，C 为逆时针方向22 计算 ，其中 L： ，从 z 轴正向看，L 是逆时针方向23 设空间曲线 C 由立体 0x1，0y1 ，0z1 的表面与平面 xyz 所截而成，计算 。24 计算 ，其中 L 是绕原点旋转一周的正向光滑闭曲线25 设函数
3、f(x，y)在 D：x 2y 21 有连续的偏导数，且在 L：x 2y 21 上有 f(x，y)0证明： ，其中 Dr：r 2x2y 2125 设 ，其中 L 是任一条光滑正向闭曲线， (1)1 且原点在其所围成的区域之外26 设 f(x)在区间1，+)上单调减少且非负的连续函数，(1)证明： 存在；(2)证明：反常积分同敛散27 设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)0x1，0y1) 及直线 l：z+y=t(t0)若S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求28 设 L 是不经过点(2 ，0) ，( 2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算29 设函数
4、u(x，y) ，v(x，y) 在 D：x 2y 21 上一阶连续可偏导，又考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 7 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 由于 是 f(x)的原函数，所以 ，所以【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 一 ln(1 一 x)一 x2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 e -x【试题解析】 由已知得 由不变积分定义有 所以ydx=yy=y，即 分离变
5、量，两边积分，再由已知条件得结果 y=e-x【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 在a，b上至少存在一点 ，使【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 令 则 x=t2+2，dx=2tdt，【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】
6、【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 曲线方程可化为 ，弧长元素【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 xf(x 21)【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 8【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以有 f“(x)3f(x)一 2f(x)xe 2x，即f“(x)一 3f(x)2f(x)xe 2x，由特征方程 2 一 320 得 11， 22，则方程f“(x)一 3f(x)2f(x)0 的通解为 f(x)C 1exC 2e2x，令特解 f0(x)
7、x(axb)e 2x，代入原微分方程得 a ，b 一 1，故所求 f(x)C 1exC 2e2x【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 曲面：z1 一 x2 一 y2(z0)，补充曲面 0：z0(x 2y 21)，取下侧，由高斯公式得【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 设由 L 所围成的平面为 ，按右手准则，取上侧，【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 取平面 xyz 上被折线 C 所围的上侧部分为 S，其法向量的方向余弦为 cos
8、一 cos 一 cos 设 Dxy 表示曲面 S 在平面 xOy 上的投影区域，其面积为 A ，由斯托克斯公式得【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 (1)由 f(x)单调减少，故当 kxk+1 时，f(k+1)f(x)f(k)两边从k 到 k+1 积分，得【试题解析】 由 f(x)单调减少，当 kxk+1 时，可以写出关于 f(x)的一个不等式，两边从 k 到 k+1 积分，便可得到关于 an 的一个表达式【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 由题设知 所以，【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 显然曲线积分I1，I 2 都满足柯西一黎曼条件(1) 当(2，0)，(2，0)都在 L 所围成的区域之外时，I1I 20，因此 I0；(2)当(2，0)，(2，0)都在 L 所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以 r1，r 2 为半径的圆 C1，C 2，使它们都在 L 内，则，同理 I2一 2，因此 I一 4；(3)当(2， 0)，(2，0)有一个点在 L 围成的区域内，一个点在 L 围成的区域外时，I一 2【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
