1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 8 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设曲线 L 的长度为 l，且 证明：2 如图 131，设曲线方程为 梯形 QABC 的面积为 D，曲边梯形OBC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a 0，证明：3 设函数 f(x)在闭区间0， 1上连续，在开区间(0，1) 内大于零，并且满足又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积值为 2求函数 y=f(x)，并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小4 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=
2、y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为S1，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程5 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 a 的平面截此柱体，得一楔形体(如图 132)，求此楔形体的体积 V.6 计算曲线 y=ln(1-x2)上相应于 的一端弧的长度7 求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数8 求极限9 设 f(x)在( 一，+)内连续，以 T 为周期，则(1)(2)(3)f
3、(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为10 11 设 收敛，举例说明级数 不一定收敛；若 是正项收敛级数，证明一定收敛12 13 若正项级数 收敛，证明： 收敛14 15 16 设na n收敛，且 收敛，证明：级数 收敛17 18 证明：(1)设 an0，且na n有界，则级数 收敛；(2)19 20 设u n，c n为正项数列，证明：21 对常数 p，讨论幂级数 的收敛区间22 设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f(x) q 1，令 unf(u n1 )(n1， 2，)，u 0a，b，证明：级数 绝对收敛23 设 f(x)在( 一，) 内一阶连续可导，且 证明：收敛，而
4、 发散24 设 f(x)在 x0 的某邻域内二阶连续可导，且 证明：级数绝对收敛25 设 yy(x) 满足 yx y，且满足 y(0)1，讨论级数 的敛散性26 求幂级数 的收敛区间27 求函数 f(x)In(1 一 x 一 2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域28 求幂级数 的和函数29 在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()；30 在(a，b)内至少存在一点 ,，使得 f()=f()31 31 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xyye x 的满足 的解32 设 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 ，试证：至少存在一点 (0，1)，使 f
5、()=f()33 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导， 证明：至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1一 1)f()34 将函数 展开成 x 的幂级数34 设 ，且 a01，a n1 a nn(n0，1，2，)35 设 ，定义 令试证考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 8 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 Pdx QdyP，Q).dx，dy，因为a.b ab，【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 由题设，当 x0时， 据此并由 f(x)在点x=0 处的连续性，得 又由已知条件旋转体的体积为
6、,故当 a=-5 时，旋转体体积最小。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx)它与 x轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是两边对 x 求导并化简得 yy=(y)2令 P=y，则上述方程可化为注意到 y(0)=1，并由式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 底面椭圆的方程为 以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为楔形体的体积【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【知
7、识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 (1) (2)(3)【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 Sna 1a 2a n，S n1 (a 1 一 a0)2(a 2a 1)(n1)(an 1 一 an)，【知识模块】
8、高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 (1)(2)【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 ，得幂级数的收敛半径为 R1(1)当 p0 时，记qp，则有 ，因而当 x1 时， 发散，此时幂级数的收敛区间为(一 1，1) ；(2)(3)【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 由u n1 一 unf(u n)一 f(un 1)f( 1)u n 一un1 qu nu n1 q 2u n1 u n2 q nu 1u 0【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】
9、 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由 yxy 得 y“1y，再由 y(0)1 得 y(0)1，y“(0)2，根据马克劳林公式，有【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 f(x)ln(1 一 x 一 2x2)ln(x1)(12x)ln(1 x)In(12x)，【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 由加强型的积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得设 G(x)=e-xf(x)，则 G(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且
10、 G(a)=G(b)=G(c)=0，G(x)=e -xf(x)一 e-xf(x)=e-xf(x)一 f(x)由罗尔定理知，分别存在 1(a，c)和 2(c)，b)，使得 G(1)=G(2)=0，从而 f(1)=f(1)，f( 2)=f(2)【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 设 F(x)=exf(x)f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a ，b) 内可导，且 F()=F()=0，则 F(x)=e xf(x)一 f(x)+exf(x)一 f(x)=exf(x)一 f(x)对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，即存在 (1， 2)，使得 F()=0，故有 f()=f()，且
11、 i(i=1，2)【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 令 由此可知f(c)0，否则 f(1)=0，与题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f(c)0，则 f(1)0，f(0)0由连续函数的零点定理知存在 a(0，c)，b(c ，1) ，使 f(a)=f(b)=0，即 F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在 (a，b)，使 F()=0，即【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 令 F(x)=xe-xf(x)，因F(1)=e-1(1)=e-f()=F()，故在，1C0，1上，对 F(x)运用罗尔定理，可得 (，1)c(0，1)，使 f()=(1一-1)f()【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 容易证明：当 t(0，1 时，(1)当 x(0，1时，由可得 (2)【知识模块】 一元函数积分学
