1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 F(x)= 等于( )（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在2 若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= +ln2，则 f(x)等于( )（A）e xln2（B） e2xxln2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln23 I=01ln2xdx 是( )（A）定积分且值为 （B）定积分且值为 （C）反常积分且发散（D）反常积分且值为 4 数列极限 =( )5 设 f(x)连续，且 01f(xt)dt= f(x)+1，则 f(x)等于( )（A）1+ （B
2、） 2+Cxsinx（C） 2+Cx（D）2+x6 若连续函数满足关系式 f(x)= +e，则 f(x)=( )7 设 I1= ，则( )（A）I 1I 2 1（B） 1I 1I 2（C） I2I 11（D）1I 2I 18 积分 I= ( )二、填空题9 =_10 已知f(x 3)dx=x3+C(C 为任意常数)，则 f(x)=_11 =_12 =_13 =_14 设 a0，则 I= =_。15 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数 (1)试证存在 x0(0，1)，使得在区间0 ，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积，等
3、于在区间x 0，1 上以 y=f(x)为曲边的梯形面积 (2)又设 f(x)在区间 (0，1)内可导，且 f(x) ，证明(1)中的 x0 是唯一的17 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图 33所示)已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：1 N1 m=1 J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)18 求19 过坐标原点作曲线 y=l
4、nxc 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形D(1)求 D 的面积 4；(2)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V。20 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)汽锤第一次击打将桩打进地下 a m根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(0r1)问(1)汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注： m 表示长度单位米)21 如图 34 所示，曲线 C 方程
5、为 y=f(x)，点(3， 2)是它的一个拐点，直线 l1 与 l2分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 03(x+x)f(x)dx22 设 f(x)是连续函数 (1)利用定义证明函数 F(x)=0xf(t)dt 可导，且 F(x)=f(x) (2)当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 G(x)=20xf(t)dt 一 x02f(t)dt 也是以 2为周期的周期函数23 椭球面 S1 是椭圆 =1 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S2 是过点(4，0)且与椭圆=1 相切的直线绕 x 轴旋转而成(1) 求 S
6、1 及 S2 的方程(2)求 S1 与 S2 之间的立体体积24 (1)比较 01lntln(1+t) ndt 与 01tnlntdt(n=1，2，)的大小，说明理由(2)记 un=01lntln(1+t) ndt(n=1，2，)，求极限 25 设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 f(b).cosb= 证明至少存在一点 (a，b) ，使得 f()=f().tan26 计算考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 利用洛必达法则因故选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【
7、试题解析】 在等式 f(x)=02xf( )dt+ln2 两端对 x 求导，得 f(x)=2f(x)，则=2dx，lnx=2x+C 1， 即 f(x)=Ce2x 由题设知 f(0)=ln2，得 C=ln2，因此 f(x)=e2xln2选 B【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 被积函数 f(x)=xln2x 虽在 x=0 无定义，但 =0，若补充定义f(0)=0，则 f(x)在0 ，1连续，因而 01xln2xdx 是定积分故选 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由已知【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 令 xt=
8、u，则 du=x.dt，那么代入通解公式，解得 y=2+Cx【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由题意 f(1)=11f(t2)dt+e，所以 f(1)=e【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 这是无界函数反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，其中 t ，故选B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题9 【正确答案】 一 4【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 +C，C 为任意常数【试题解析】 对等式f(x 3)dx=x3+C 两边
9、求导，得 f(x3)=3x2 令 t=x3，C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=sint，则【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 令 t=x 一 1 得【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，原式可化为【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 1【试题解析】 原式可化为 =1。【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)本题可转化为证明 x0f(x0)=
10、f(x)dx令 (x)=一 xx1f(t)dt，则(x)在闭区间0，1上是连续的，在开区间(0，1) 上是可导的，又因为 (0)=(1)=0，根据罗尔定理可知，存在 x0(0，1)，使得 (x0)=0，即F(x)=xf(x)*f(x)+f(x)=2f(x)+xf(x)0 即 F(x)在(0，1)内是严格单调递增的，从而F(x)=0 的点 x=x0 一定唯一，因此(1)中的点是唯一的【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 作 x 轴如图 310 所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为 W，当抓斗运动到 x 处时，作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N，缆绳的重力 50(30一 x)
11、N，污泥的重力 2000 .20(N)，即【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 (1)设切点的横坐标为 x0，则曲线 y=lnx 在点(x 0，lnx 0)处的切线方程是 y=lnx 0+ (xx0) 由该切线过原点知 lnx0 一 1=0，从而 x0=e，所以该切线的方程为 (2)切线 y=与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体体积为 V1= e， 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 V 2=01(eey)2dy， 因此所求旋转体的体积为 V
12、=V 1 一 V2= (5e212e+3)【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 (1)设第 n 次击打后，桩被打进地下 xn，第 n 次击打时，汽锤所作的功为 Wn(n=1，2，3，) 由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx，所以【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 由图形知，f(0)=0，f(0)=2；f(3)=2，f(3)=一 2，f“(3)=0 由分部积分，知 03(3(x2+x)f(x)dx=03(x2+x)df“(x) =(x2+x)f“(x) 03 一 03f“(x)(2x+1)dx =一03(2x+1)df(x) =一(2x+1)
13、f(x) 03+203f(x)dx=20【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 (1)证明：由导数定义可得(2)根据题设，有 G(x+2)=20x+2f(t)dt 一(x+2) 02f(t)dt=2f(x+2)一 02f(t)dt， G(x)=2 0xf(t)dt 一 x02f(t)dt=2f(x)一 02f(t)dt 当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，f(x+2)=f(x) 从而 G(x+2)=G(x)因而 G(x+2) 一 G(x)=C 取 x=0 得，C=G(0+2)一 G(0)=0，故 G(x+2)一G(x)=0即 G(x)=20xf(t)dt 一 x02f(t)dt
14、是以 2 为周期的周期函数【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 (1)由题意得 S1 的方程为【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 (1)令 f(t)=ln(1+t)一 t当 0t1 时，f(t)= 一 10，故当 0t1时，f(t)f(0)=0，即当 0t1 时，0ln(1+t)t1，从而ln(1+t) ntn(n=1，2，) 又由lnt0 得 01lntln(1+t) ndz01tnlntdt(n=1，2，)(2) 由(1)知，0un=01lntln(1+t) ndt01tnlntdt，因为【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由 f(x)在区间a ，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而F(x)=f(x)cosx 在a，F()=f()cos 一 f()sin=0 即 f()=f()tan， (a，b)【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 使用分部积分法和换元积分法=4ln2+8 一 2【知识模块】 一元函数积分学
