1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y一 4y+4y=x2+8e2x 的一个特解应具有形式(a ，b，c，d 为常数) ( )（A）ax 2+bx+ce2x（B） ax2+bx+c+dx2e2x（C） ax2+bx+cxe2x （D）ax 2+(bx2+cx)e2x2 微分方程 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）（B）（C）（D）3 设 y=f(x)是微分方程 y一 2y+4y=0 的一个解，若 f(x0)0，且 f(x0)=0，则函数f(x)在点 x0 ( )（A）取得极大值（B
2、）取得极小值（C）某个邻域内单调增加（D）某个邻域内单调减少4 方程(3+2y)xdx+(x 2 一 2)dy=0 的类型是 ( )（A）只属于可分离变量型（B）属于齐次型方程（C）只属于全微分方程（D）兼属可分离变量型、一阶线性方程和全微分方程5 微分方程 y+2y+y=shx 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）ashx（B） achx（C） ax2e-x+bex（D）axe -x+bex6 设 f(x)连续，且满足 则 f(x)= ( )（A）e xln 2（B） e2xIn 2（C） ex+ln 2（D）e 2x+ln 27 设 f(x)，f(x)为已知的连续函数
3、，则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是( )（A）y=f(x)+Ce -f(x)（B） y=f(x)+1+Ce-f(x)（C） y=f(x)一 C+Ce-f(x)（D）y=f(x)一 1+Ce-f(x)8 方程 y(4)一 2y一 3y=e-3x 一 2e-x+x 的特解形式( 其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（A）y一 2y+y=e2x（B） y一 y一 2y=xex（C） y一 y一 2y=ex 一 2xex（D）y一 y=e2x二、填空题9 微分方程的通解_包含了所有的解10 微分方程(y 2+1)dx=y(y 一 2x)dy 的通解是_ 11 设一阶非齐次线性微分方
4、程 y+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y1，y 2，若y1+y2 也是该方程的解，则应有 +=_12 微分方程 y一 7y=(x 一 1)2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_13 以 y=cos2x+sin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_14 微分方程(1 一 x2)y-xy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 _15 微分方程 的通解为_16 微分方程 y一 2y=x2+e2x+1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是_17 特征根为 的特征方程所对应的三阶常系数线性齐次微分方程为_18 已知 则 f(x)=_19 微分方程： 的通
5、解是_20 以 y=7e3x+2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分万程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求微分方程 y+2y+y=xex 的通解22 求微分方程 y+5y+6y=2e-x 的通解23 求微分方程(3x 2+2xy 一 y2)dx+(x2 一 2xy)dy=0 的通解24 设 y(x)是方程 y(4)一 y=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求y(x)25 求一个以 y1=tet，y 2=sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解26 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8 m，另一端离开钉子 1
6、2 m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间：(1)不计钉子对链条的摩擦力；(2)若摩擦力为常力且其大小等于 2 m 长的链条所受到的重力27 求解 y=e2y+ey，且 y(0)=0，y(0)=228 求方程 的通解以及满足 y(0)=2 的特解29 求微分方程 的通解，并求满足 y(1)=0 的特解30 求方程 的通解31 求(y 3 一 3xy2 一 3x2y)dx+(3xy2 一 3x2yx3+y2)dy=0 的通解32 求微分方程 y(3y2x)=y满足初值条件 y(1)=y(1)=1 的特解33 求微分方程 的通解34 求微分方程 的通解35 求方程 的通解36 求 y
7、一 y=ex 的通解37 设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 满足1 求 z 的表达式38 设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x 一 2y，x+3y)满足求 z=z(u，v)的一般表达式39 利用变换 y=f(ex)求微分方程 y一(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解40 (1)用 x=et 化简微分方程(2)求解41 求解微分方程42 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 (1)试求曲线 L 的方程；(2)求 L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以
8、及两坐标轴所围图形的面积最小43 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程44 位于上半平面向上凹的曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2 ，2)处的切线斜率为 1已知曲线上任一点处的曲率半径与 及(1+y 2)的乘积成正比，求该曲线方程考研数学一（常微分方程）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出
9、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 对应特征方程为 r2 一 4r+4=0，特征根是 r1,2=2而 f1=x2， 1=0 非特征根，故 y1*=ax2+bx+c又 f2=8e2x， 2=2 是二重特征根，所以 y2*=dx2e2x，y 1*与y2*合起来就是特解，选 B【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+r+1=0，特征根为是特征根，所以特解的形式为【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x0)=0 知 x0 为驻点，且 f(x0)+4f(x0)=0，又因 f(x0)0，故f(x0)=一 4
10、f(x0)0，所以在 x0 处函数取极大值【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 D【试题解析】 原方程关于 x 和 y 不齐次但极易分离变量，也可化为 y 的一阶线性方程又满足全微分方程条件 Py=2x=Qx故选项 A，B，C 均不正确，而 D 正确【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 r2+2r+1=0，r=一 1 为二重特征根，而，故特解为 y*=ax2e-x+bex【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 B【试题解析】 原方程求导得 f(x)=2f(x)，即 ，积分得 f(x)=Ce2x，又 f(0)=ln2，故 C=ln 2，从而 f(x)=e2x
11、ln2【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2(r22r 一 3)=0，特征根为 r1=3，r 2=一 1，r 3=r4=0，对f1=e-3x， 1=一 3 非特征根， 1*=-3；对 f2=一 2e-x， 2=一 1 是特征根，y 2*=bxe-x；对f3=x， 3=0 是二重特征根，y 3*=x2(cx+d)，所以特解 y*=y1*+y2*+y3*=ae-3x+k+bxe-x+cx3+dx2【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 不一定【试题解析】 例如方程(y
12、2 一 1)dx=(x-1)ydy，经分离变量有 积分得通解 y2 一 1=C(x 一 1)2但显然方程的全部解还应包括 y=1 和 x=1(实际上在分离变量时假定了 y2 一 10,x-10)【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程写为(y 2+1)dx+(2xy)ydy=0，是全微分方程，再改写为(y 2+1)dx+xd(y2+1)一 y2dy=0，即 dx(y2+1)=y2dy，积分得通解 或【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 1【试题解析】 由 y1+P(x)y1=Q(x)及 y2+P(x)y2=Q(x)得(y 1+y2)+P(x)(
13、y1+y2)=(+)Q(x)又因 y1+2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=1【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)【试题解析】 原方程对应齐次方程的特征方程为 r27r=0，特征根r1=7，r 2=0而 f(x)=x2 一 2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所答【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y+4y=0【试题解析】 由特解 y=cos2x+sin 2x 知特征根为 r1,2=2i，特征方程是 r2+4=0，其对应方程即 y+4y=0【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 【试题解析】 积分得通解由初值 y(1)=1
14、 解出 专得特解【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x【试题解析】 特征方程为 r2 一 2r=0，特征根 r1=0，r 2=2对 f1=x2+1， 1=0 是特征根，所以 y1*=x(Ax2+Bx+C)对 f2=e2x， 2=2 也是特征根，故有 y2*=Dxe2x从而y*如上【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为 即其相应的微分方程即所答方程【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 Cx+2 ，其中 C 为任意常数【试题解析
15、】 将所给方程两边同乘以 x，得用线性方程通解公式计算即得 f(x)=Cx+2，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 y=C 1x5+C2x3+C3x2+C4x2+C5，C 1，C 2，C 3，C 4，C 5 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 y一 3y=0【试题解析】 由特解 y=7e3x+2x 知特征根为 r1=3， r2=r3=0(二重根)特征方程为 r3一 3r2=0，相应齐次线性方程即 y一 3y=0【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 特征方程 r2+2r+1=0 的
16、两个根为 r1=r2=一 1对应齐次方程之通解为 Y=(C1+C2x)e-x设所求方程的特解为 y*=(ax+b)ex，则(y *)=(ax+a+b)ex，(y *)=(ax+2a+b)ex，代入所给方程，有 (4ax+4a+4b)ex=xex解得 ，而最后得所求之通解为 y=(C1+C2x)e-x+ (x 一 1)ex，其中 C1,C2 为任意常数【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为 r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为 r1=一 2，r 2=一 3于是，对应齐次微分方程的通解为 (x)=C1e-2x+C2e-3x设所给非齐次方程的特解为 y*=
17、Ae-x将 y*(x)代入原方程，可得 A=1由此得所给非齐次方程的特解 y*=e-x从而，所给微分方程的通解为 y(x)=C1e-2x+C2e-3x+e-x，其中 C1C2 为任意常数【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 原方程化为 3x2dx+(2xyy2)dx+(x2 一 2xy)dy=0，即 d(x3)+d(x2yxy2)=0，故通解为 x3+x2y 一 xy2=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 由泰勒公式当 x0 时，y(x)与x3 同阶y(0)=0 ，y(0)=0 ，y(0)=0，y(0)=C，其中 C 为非零常数由这些初值条件，现将方程 y
18、(4)一 y=0 两边积分得 即 y(x)一 Cy(x)=0，两边再积分得 y(x)一 y(x)=Cx易知，它有特解 y*=一 Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e-x 一 Cx由初值 y(0)=0，y(0)=0 得 C1+C2=0，因此最后得 其中 C 为非零常数【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 由 y1=te 可知 y3=et 亦为其解，由 y2=sin2t 可得 y4=cos2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1=3=1， 2=2i， 4=一 2i其特征方程为 ( 一 1)2(2+4)=0，即 423+528+4=0故所求微分方程为 y(4)一 2y+5y一8y+
19、4y=0，其通解为 y=(C1+C2t)et+C3cos2t+C4sin 2t，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 (1)在时刻 t 时，链条下滑路程为 x(t)(m)，以 表示链条的长度密度，由牛顿第二定律(2)链条下滑路程 x(t)满足方程【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 p2=e2y+2ey+C，即 y2=e2y+2ey+C 又 y(0)=0，y(0)=2，有 C=1，所以 y2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，代入 y(0)=0，得 C1=一 ln 2，所以，该初值问题的解为 y 一 ln(1+ey)=x-ln 2【知
20、识模块】 常微分方程28 【正确答案】 这是变量可分离方程当 y21 时，分离变量得两边积分，得 去掉绝对值记号，并将e 2C1 记成 C，并解出 y，得 这就是在条件 y21 下的通解此外，易见 y=1 及 y=一 1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中以y(0)=2 代入式 中得 故 C=一 3于是得到满足 y(0)=2 的特解【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准型：【知识模块】 常微分方程31 【正确答案】 可以验知，这是全微
21、分方程按解全微分方程办法解之记P(x，y)=y 3 一 3xy2 一 3x2y，Q(x ，y)=3xy 2 一 3x2yx3+y2，有 故知这是全微分方程【知识模块】 常微分方程32 【正确答案】 这是不显含 y 型的二阶微分方程 y=f(x，y)，按典型步骤去做即可 化为 3p 2dp 一(xdp+pdx)=0这是关于 p 与 x 的全微分方程，解之得 p 3 一 xp=C1以初值条件：x=1 时，p=1 代入，得 C1=0从而得 p2 一 xp=0分解成 p=0 及 p2=x，即【知识模块】 常微分方程33 【正确答案】 这是 y=f(y，y)型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可【知识模
22、块】 常微分方程34 【正确答案】 应先用三角公式将自由项写成 e-x+e-xcosx，然后再用叠加原理用待定系数法求特解对应的齐次方程的通解为 Y=(C1cosx+C2sinx)e-x为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e -x,e-xcosx，分别考虑 y+2y+2y=e-x， 与 y+2y+2y=e-xcosx 【知识模块】 常微分方程35 【正确答案】 此为欧拉方程，按解欧拉方程的办法解之设 X0，令 x=et有T=lnx，经计算化原方程为 得通解为设 x0，令 x=-u，原方程化为 y 关于 u 的方程 得通解合并两种情形得原方程的通解为【知识模块】 常微分方程36 【正确答案】
23、 自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y=y+ex 在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解当 x0 时，方程为 y一 y=ex，【知识模块】 常微分方程37 【正确答案】 将 代入式，注意到 f 中的变元实际是一元所以最终有可能化为含有关于 f(u)的常微分方程【知识模块】 常微分方程38 【正确答案】 以 z=z(u，v)，u=x 一 2y，v=x+3y 代入式，得到 z(u，v)应该满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之其中(u)为具有连续导数的 u 的任意函
24、数，(v)为具有二阶连续导数的 v 的任意函数，其中 u=x 一 2y，v=x+3y 【知识模块】 常微分方程39 【正确答案】 令 t=ex， y=f(t)y=f(t).e x=tf(t)，y=(tf(t) x=exf(t)+tf(t).ex=tf(t)+t2f(t)，代入方程得 t2f(t)+tf(t)一(2t+1)tf(t)+t 2f(t)=t3，即 f(t)一 2f(t)+f(t)=t解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以 y一(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解为 y=(C1+C2ex)ex+ex+2，其中 C1， C2 为任意常数【知识模块】 常微分方程40 【正
25、确答案】 (2)齐次方程 y+2y+5y 一 0 2+2+5=0 1,2=一 12iy 齐通 (t)=e(C1cos2t+C2sin2t) 令 y*(t)=(at+b)et，代入a=2，b=一 1故 y 通 (t)=e-t(C1cos 2t+C2 sin 2t)+(2t 一 1)et，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程41 【正确答案】 欲求解的方程是欧拉方程，令 1+x=et，则由复合函数 的求导法则有 其特征方程为 r36r2+11r-6=0，特征根，r 1=1，r 2=2，r 3=3，则 y(t)=C1et+C2e2t+C3e3t因1+x=et，故原方程的通解为 y(
26、x)=C1(1+x)+C2(1+x)2+C3(1+x)3【知识模块】 常微分方程42 【正确答案】 (1)设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(X-x)令 X=0，则得该切线在 y 轴上的截距为 yxy所求面积为【知识模块】 常微分方程43 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(z)(Xx) ，它与x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是注意到 y(0)=1，并由式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是y=ex【知识模块】 常微分方程44 【正确答案】 由已知，有 y(0)=1，y(0)=0 ，y(2)=2 ，y(2)=1 ，【知识模块】 常微分方程
