1、考研数学一（无穷级数）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2000 年) 设级数 收敛，则必收敛的级数为 2 (2002 年) 设 un0，(n=1 ，2，3，)，且 则级数（A）发散。（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛性根据所给条件不能判定3 (2004 年) 设 为正项级数，下列结论中正确的是 4 (2006 年) 若级数 收敛，则级数 5 (2009 年) 设有两个数列 an，b n，若 则 6 (2011 年) 设数列 an单调减少， 无界，则幂级数 的收敛域为（A）(一 1，1 （B） 一 1，1)（C） 0，2)
2、 （D）(0 ，27 (2013 年) 设 令则 8 (2015 年) 若级数 条件收敛，则 与 x=3 依次为幂级数的（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点9 (2018 年)（A）sin1+cos1 （B） 2sin1+cos1（C） 2sin1+2cos1（D）2sin1+3cos1 二、填空题10 (1997 年) 设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间为_11 (2003 年) 设 则 a2=_12 (2008 年) 已知幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数 的收敛域为_13 (2017 年) 幂级数 在区间
3、(一 1，1)内的和函数 S(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (200l 年)设 试将 f(x)展开成 x 的幂级数并求级数 的和15 (2003 年) 将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数的和16 (2004 年) 设有方程 xn+nx 一 1=0，其中 n 为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当 1 时，级数 收敛17 (2005 年) 求幂级数 的收敛区间与和函数f(x)18 (2006 年) 将函数 展开成 x 的幂级数18 (2007 年) 设幂级数 内收敛，其和函数 y(x)满足 y“ 一2xy一 4y=0，y(0)=0，y(0)=119
4、 证明 an+2 n=1，2，；20 求 y(x)的表达式21 (2008 年) 将函数 f(x)=1x2(0x)展开成余弦级数，并求级数 的和22 (2009 年) 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1(n=1，2，)所围成区域的面积，记求 S1 与 S2 的值23 (2010 年) 求幂级数 的收敛域及和函数24 (2012 年) 求幂级数 的收敛域及和函数24 (2013 年) 设数列 an)满足条件：a 0=3，a 1=1，a n-2 一 n(n 一 1)an=0(n2)，S(x) 是幂级数 的和函数25 证明：S“(x) 一 S(x)=0；26 求 S(x)的表达式26 (2
5、014 年) 设数列 an，b n满足 cosan 一 an=cosbn，且级数 收敛27 证明：28 证明：级数 收敛28 (2016 年) 已知函数 f(x)可导，且 f(0)=1， 设数列x n满足xn+1=f(xn)(n=1，2，)证明：29 级数 绝对收敛；30 存在，且考研数学一（无穷级数）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 解 1 由原级数 收敛知，级数 也收敛而是这两个收敛级数的和，因此必收敛 解 2 用排除法 (1)取由交错级数莱布尼兹准则可知 收敛，而发散，则(A)不正确 (2)若取
6、 显然收敛，而 发散， 且又而 发散，从而发散 所以(B)和(C)都不正确，故应选(D) 【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 un0，且 知，令 则 从而级数 收敛但 而 发散，故条件收敛，从而应选(C)【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 由 知 由比较判别法的极限形式知，级数 与 同敛散而 发散，故 发散 解 2 排除法考虑级数 由积分判别法可知该级数发散，但， 则(A)不正确 考虑级数 该级数收敛，但 所以(C) 不正确 考虑级数 该级数发散，但 所以(D)也不正确，故应选(B)【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 D【试题解析】 解
7、1 由于 收敛，则级数 收敛，从而有收敛，故应选(D) 解 2 排除法 取 则显然收敛，但 发散；发散； 发散则(A)，(B)，(C)均不正确，故应选 (D)【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 C【试题解析】 解 1 直接法： 由于 则数列a n)有界，即|a n|M 由于收敛，所以， 则 N 0，当 nN 时，|b n|1 从而有bn2 |bn|，则 nN 时 a n2bn2M2|bn|故 收敛 解 2 排除法： 取显然 收敛，但 发散，则(A)不正确； 取 显然(B)和(D) 都不正确；故应选(C)【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 由于幂级数 的收敛区间的中心应为
8、 1，则(A)(B)选项不正确 在级数 中令 x=0 得 由于a n单调减少，由交错级数的莱布尼兹准则知，级数 收敛 在级数中令 x=2 得 由于 无界，则级数 发散，故幂级数 的收敛域为0，2)应选(C)【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知本题是将 f(x)以周期 2 且作奇延拓展开为正弦级数，则 故应选(C)【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 B【试题解析】 由级数 条件收敛可知，幂级数 在 x=2 处条件收敛，则 x=2 为幂级数 的收敛区间的端点，故其收敛半径为1由幂级数的性质可知，幂级数 的收敛半径也为 1 由于|3 一 1| 1则 为收敛点，x=3
9、 为发散点，故应选(B)【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 B【试题解析】 故应选 B【知识模块】 无穷级数二、填空题10 【正确答案】 (一 2，4)【试题解析】 由于 而幂级数逐项求导后收敛半径不变，则 收敛半径为 3，从而 的收敛半径为 3又 故 收敛半径为 3，其收敛域为(一 2，4)【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 1【试题解析】 由原题可知 故应填 1【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 (1，5【试题解析】 由于 在 x=0 收敛，在 x=一 4 发散，根据阿贝尔定理知，该幂级数收敛域为(一 4，0当 x=一 4 时，x+2=一 2，令 x 一 3=一 2 得x=
10、1，当 x=0 时，x+2=2 ，令 x 一 3=2 得 x=5 则幂级数 的收敛域为(1，5【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因 故 于是 因此 【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 解 1 由于又 则 由于 收敛，f(x)在 处连续，则 令 得 又 故解 2 由于 则 以下同解 1【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 记 f n(x)=xn+nx 一 1 当 x0 时，f n(x)=nxn-1+n0 故 fn(x)在0，+) 上单调增加 而 fn(0)=一 10，f n
11、(1)=n0，由连续函数的介值定理知xn+nx 一 1=0 存在惟一正实根 xn 由 xnn+nxn 一 1=0 与 xn0 知 故当 1 时， 而正项级数收敛，所以当 1 时，级数 收敛。【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 因为 所以当x21 时，原级数绝对收敛，当 x21 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(一 1，1) 记 则 由于 S(0)=0，S(0)=0 所以 又 从而 【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 因为 分别将 展开成 x 的幂级数 所以 【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 由 知 代入 y“一 2xy一4y=0 得
12、 则 (n+2)(n+1)a n-2 一(2n+4)an=0 【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 由 y(0)=0，y(0)=1 知，a 0=0，a 1=1，由知 则 【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 由于所以令 x=0，有 又 f(0)=1，所以 【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 则 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 记 由于 所以当 x21，即|x|1 时，绝对收敛，当|x|1 时， 发散，因此幂级数的收敛半径 R=1 当 x=1 时，原级数为 由莱布尼兹判别法知此级数收敛，因此幂级数的收敛域为-1，1 设 则 又 S(0)=0，故 于是 【知识模块】 无穷级
13、数24 【正确答案】 记 因为 所以原级数的收敛半径为 1又因为当 x=1 时，级数 发散，所以幂级数的收敛域是(一 1，1)记由于 又S(0)=3，所以和函数【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 由题设得 所以 的收敛半径为+ 因为 所以 由于 an-2 一 n(n 一 1)an=0，所以 故 S“(x)一 S(x)=0【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 齐次微分方程 S“(x)一 S(x)=0 的特征根为 1 和一 1，通解为 S(x)=C1ex+C2e-x 由 S(0)=a0=3，S(0)=a 1=1 得 C1=2， C2=1 所以 S(x)=2ex+e-
14、x【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 证 1 (I)由级数 收敛可知 又 0a n=cosan 一cosbn 1 一 cosbn(cosx 在第一象限单调减 ) 由夹逼原理可知， 证 2 因为 cosan 一 cosbn=an，且 所以 0a nb n. 又因为收敛，所以 故【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 由上题中的结论 0a n1 一 cosbn 可知 则 由于级数 收敛，则级数 收敛 证 2 因为 且级数 收敛，则级数收敛【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 因为 xn+1=f(xn)，所以 |x n+1 一 xn=|f(xn
15、)一 f(xn-1)|=|f()(xn 一 xn-1)|，其中 介于 xn 与 xn-1 之间 又 所以由于级数收敛，所以级数 绝对收敛【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 设 的前 n 项和为 Sn，则 Sn=xn+1 一 x1 由上题知，存在，即 存在所以 存在 设 由xn+1=f(xn)及 f(x)连续，得 c=f(c)，即 c 是 g(x)=x 一 f(x)的零点 因为 g(0)=一1，g(2)=2 一 f(2)=1 一f(2)一 f(0)=12f()0，其中 (0，2)g(x)=1 一 f(x)0，所以 g(x)存在唯一零点，且零点位于区间(0，2)内 于是 0c2，即【知识模块】 无穷级数
