1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设级数 收敛，则必收敛的级数为( )2 如果级数 都发散，则( )3 设函数 f(x)=x2，0x 1 ，而 s(x)= bnsinnx，一 x+，其中 bn=201f(x)sinnxdx，n=1，2，3，则 s(一 )等于( )4 已知级数 收敛，则下列级数中必收敛的是( )5 设 an0(n=1，2，)，且，则级数( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 有关6 下列命题成立的是( )7 设 0an (n=1，2，)，则下列级数中肯定收敛的是( )8 设有命题
2、 以上四个命题中正确的个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）49 设 un=(一 1)nln(1+ )，则级数( )10 级数 (0，0)的敛散性( )（A）仅与 取值有关（B）仅与 取值有关（C）与 和 的取值都有关（D）与 和 的取值都无关11 设常数 0，且级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 A 有关二、填空题12 幂级数 的收敛半径 R=_。13 若数列a n收敛，则级数 (an+1 一 an)_14 =_15 若级数(a 1+a2)+(a3+a4)+(a2n1+a2n)+发散，则级数 an=_。16 设幂级数 nan(x 一 1)n+1 的收敛区
3、间为_17 幂级数 的收敛域为_。18 无穷级数 的收敛区间为_19 幂级数 的收敛半径 R=_20 已知幂级数 an(x+2)n 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数 an(x 一 3)n 的收敛域为_21 幂级数 的收敛区间为_22 无穷级数 的收敛区间为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 将函数 f(x)=x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦函数24 求级数 的和25 设 a1=2，a n+1= ，(n=1 ，2，)证明26 求27 设正项数列a n单调减少，且 是否收敛?并说明理由28 29 求幂级数 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性
4、30 设 f(x)=的和31 (1)验证函数 y(x)= (一 x+)满足微分方程 y“+y+y=ex (2)求幂级数 y(x)= 的和函数32 将函数 f(x)= 的和。33 设方程 xn+nx 一 1=0，其中 n 为正整数证明此方程存在唯一正实根 xn，并证明当 1 时，级数 收敛34 求幂级数 的收敛区间与和函数 f(x)35 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数考研数学一（无穷级数）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为级数 收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数 (un+un+1)收敛，故选
5、D【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 D【试题解析】 由于(a n+ b n)必发散，故选 D【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 s(x)是正弦级数，所以此傅里叶级数是对 f(x)在(一 1，0)内作奇延拓后展开的，于是和函数 s(x)在一个周期内的表达式为【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 D【试题解析】 由于去掉了前 k 项，则其敛散性相同，故 (an+an+k)必收敛，应选 D【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 A【试题解析】 利用比较法因为【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 由于中至少有一个发散，故选 C【知识模块】 无穷级数7
6、 【正确答案】 D【试题解析】 由 0an 收敛及正项级数的比较判别法知，级数 (一 1)nan2 绝对收敛故选 D【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 A【试题解析】 只有是正确的，事实上，级数 (an+1 一 an)的部分和数列 S n=(a2一 a1)+(a3 一 a2)+(an+1an)=an+1 一 a1，故选 A【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ，(1)当 01 时，级数发散(2)当 1 时，级数收敛(3)当 =1 时，原级数为 ，当 1 时收敛，当 1 时发散，故选 C【知识模块】 无穷级数1
7、1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 无穷级数二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 首先设 an=时，该幂级数是收敛的因此，此幂级数的收敛半径是 。【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 收敛【试题解析】 由题干知，级数 (an+1 一 an)的部分和数列为 S n=(a2 一 a1)+(a3 一a2)+(an+1an) =an+1 一 a1， 因为数列a n收敛，所以S n收敛 因此级数(an+1 一 an)收敛【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，有【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 发散【试题解析】 根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍
8、然收敛假设 收敛，则级数(a 1+a3)+(a3+a4)+a2n1+a2n)+收敛，与题设矛盾，故 ，发散【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 (一 2，4)【试题解析】 根据幂级数的性质：对原幂级数逐项求导后得，收敛半径不变，因此有其收敛区间为x 一 13，即(一 2， 4)【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 一 1，1)【试题解析】 因此收敛域为一 1，1) 【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 【试题解析】 根据收敛半径的判断方法，有【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 (1，5【试题解析】 由题意可知， 的收敛域
9、包含区间(一 2，2 所以 an(x 一 3)n 的收敛域为 (1，5【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 4，6)【试题解析】 故幂级数的收敛区间是4，6)【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 由傅里叶级数展开式，可得【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 (1)显然 an0(n=1，2)，由初等不等式：对任意非负数 x，y 必有【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 由于【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 由于正项数列a n单
10、调递减，因此极限 存在，将极限记为a，则有 ana，且 a0 又因为 (一 1)nan 是发散的，根据莱布尼茨交错级数判别法可知 a0(否则级数 (一 1)nan 是收敛的) 已知正项级数a n单调递减，因此【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 (1)因为【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 因为【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 直接将 arctanx 展开不容易，但(arctan x)易展开，即因为右端级数在 x=1 时均收敛，又 arctanx 在 x=1 连续，所以展开式在收敛区间端点 x=1 成立【知识模块】 无穷级数31 【正确答案】 (1)因为幂级数(2)与 y“+
11、y+y=ex 对应的齐次微分方程为 y“+y+y=0，其特征方程为 2+1=0，设非齐次微分方程的特解为 y*=Aex，将 y*代入方程 y“+y+y=ex 可得【知识模块】 无穷级数32 【正确答案】 因为【知识模块】 无穷级数33 【正确答案】 记 fn(x)=xn+nx 一 1由 fn(0)=一 10，f n(1)=n0，于是由连续函数的介值定理知，方程 xn+nx 一 1=0 存在正实数根 xn(0，1) 当 x0 时，f n(x)=nxn1+n0 ，可见 fn(x)在0，+) 上单调增加，故方程 xn+nx 一 1=0 存在唯一正实数根 xn 由 xn+nx 一 1=0 与 xn0 知【知识模块】 无穷级数34 【正确答案】 所以当x21 时，原级数绝对收敛，当 x21 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(一 1，1) 【知识模块】 无穷级数35 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数
