1、考研数学一（行列式）模拟试卷 4 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.行列式 D= （分数：2.00）A.a=b 或 a=-b。B.a=2b 且 b0。C.b=2a 且 a0。D.a=1，b=3.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0。B.a 2C.-a 2 。D.na 2 。4.若 （分数：2.00）A.30m。B.-15m。C.6m。D.-6m。5.设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2
2、，m，k，3，第 2 列元素的余子式依次为 1，-1，1，-1，第 4 列元素的代数余子式依次为 3，1，4，2，且行列式的值为 1，则 m，k 的取值为( )（分数：2.00）A.m=-4，k=-2。B.m=4，k=-2。C.m= ，k=D.m= ，k=6.设多项式 f(x)= （分数：2.00）A.6，16。B.-6，6。C.6，6。D.-6，-6。7.设 D 1 = =m，D 2 = （分数：2.00）A.m。B.-8m。C.2m。D.-2m。8.下列 m 阶行列式中，其值必为-1 的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.的值等于( ) （分数：2.00）A.a 1 a 2 a
3、 3 a 4 -b 1 b 2 b 3 b 4 。B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4 。C.(a 1 a 2 -b 1 b 2 )(a 3 a 4 -b 3 b 4 )。D.(a 2 a 3 -b 2 b 3 )(a 1 a 4 -b 1 b 4 )。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.()在一个 n 阶行列式 D 中等于“0”的元素个数大于 n 2 -n，则 D= 1。()D= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.D= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 D= （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1。 （分数：2.
4、00）填空项 1:_14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 D= （分数：2.00）填空项 1:_16.行列式 D n = （分数：2.00）填空项 1:_17.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_18.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.计算下列二阶行列式： （分数：2.00）_22.计算 D n = （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.设 n 阶行
5、列式 D n = （分数：2.00）_25.计算：D 2n = （分数：2.00）_26.D= （分数：2.00）_27.设 abc0，证明 （分数：2.00）_28.计算 n 阶行列式 D n = （分数：2.00）_29.计算 n 阶行列式 D n = （分数：2.00）_30.计算下列二阶行列式() () （分数：2.00）_31.计算行列式 D n = （分数：2.00）_32.证明： （分数：2.00）_33.计算 D n = （分数：2.00）_34.证明 D n = （分数：2.00）_35.设 xyz0，证明： （分数：2.00）_36.计算行列式 D n = （分数：2.00
6、）_37.已知 =d，计算行列式 （分数：2.00）_38.计算 f(x+1)-f(x)，其中 （分数：2.00）_考研数学一（行列式）模拟试卷 4 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.行列式 D= （分数：2.00）A.a=b 或 a=-b。 B.a=2b 且 b0。C.b=2a 且 a0。D.a=1，b=解析：解析：D= 3.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0。 B.a 2C.-a
7、2 。D.na 2 。解析：解析：假设这一列是第 j 列，按这一列展开，D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 2nj A 2nj =aA 1j +aA 2j +aA 2nj ，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为-a，从而行列式的值为零，所以应选(A)。4.若 （分数：2.00）A.30m。B.-15m。C.6m。D.-6m。 解析：解析：5.设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2，m，k，3，第 2 列元素的余子式依次为 1，-1，1，-1，第 4 列元素的代数余子式依次为 3，1，4，2，且行列式的值为 1，则 m，k 的取值为( )（分数：2.00
8、）A.m=-4，k=-2。 B.m=4，k=-2。C.m= ，k=D.m= ，k=解析：解析：由行列式展开定理及推论，得 即6.设多项式 f(x)= （分数：2.00）A.6，16。B.-6，6。C.6，6。D.-6，-6。 解析：解析：由行列式的定义知，主对角线元素的乘积就是关于 x 4 的项，x.2x(-x).3x=-6x 4 ，即 x 4 的系数为-6。当 x=0 时行列式的值就是常数项，经计算 f(0)=-6，即常数项为-6，故选(D)。7.设 D 1 = =m，D 2 = （分数：2.00）A.m。B.-8m。C.2m。D.-2m。 解析：解析：D 2 = =-2 8.下列 m 阶行
9、列式中，其值必为-1 的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)中行列式的值等于 9.的值等于( ) （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 -b 1 b 2 b 3 b 4 。B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4 。C.(a 1 a 2 -b 1 b 2 )(a 3 a 4 -b 3 b 4 )。D.(a 2 a 3 -b 2 b 3 )(a 1 a 4 -b 1 b 4 )。 解析：解析：根据行列式的拉普拉斯展开法则，将此行列式第 2，3 行(列)展开，得 D= (-1) 2+3+2+3 二、填空题(总题数：10，分数：
10、20.00)10.()在一个 n 阶行列式 D 中等于“0”的元素个数大于 n 2 -n，则 D= 1。()D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：-2000!）解析：解析：()n 阶行列式 D 共有 n 2 个元素，由于“0”元素的个数大于 n 2 -n，所以非“0”元素的个数小于 n(因为 n 2 -(n 2 -n)=n)。由 n 阶行列式的概念可知，D 的每一项均为 0(因为每一项中至少有一个“0”元素)，故 D=0。 ()D=(-1) r(n-1，n-2，n) a 1，n-1 a 2，n-2 a n-1,1 a nn = a 1，n
11、-1 a 2，n-2 a nn 11.D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-29410 5）解析：解析： 12.已知 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 =1-a， 2 =a+4， 3 =a-3）解析：解析：将第 3 行的-1 倍加至第 1 行，有 13.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：24）解析：解析：根据行列式的性质作恒等变形，可得14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：b 3 (b+ ）解析：解析：每行元素的和均是 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +6，故把每
12、列均加到第一列，并提出公因式，得 15.设 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：将行列式按第 1 列展开得 A 11 +A 21 +A 31 +A 41 = 16.行列式 D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将第 k 行的公因子 k 提到行列式外，其中 k=2,3，n，再转置，利用范德蒙德行列式的计算公式得17.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析：将行列式按对角线法则展开为多项式，得 f(x)= 18.设 f(x)=
13、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6x 2）解析：解析：19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12，15，18）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.计算下列二阶行列式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() =sin.(-sin)-cos.cos=-(sin 2 +cos 2 )=-1。 () )解析：22.计算 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用行列式的性质得 =xD n-1 +a n x n-1 =x
14、(xD n-2 +a n-1 x n-2 )+a n x n-1 =x 2 D n-2 +a n-1 x n-1 +a n x n-1 =x n-1 D 1 +a 2 x n-1 +a n-1 x n-1 +a n x n-1 =x n +a 1 x n-1 +a 2 x n-1 +a n-1 x n-1 +a n x n-1 =x n +x n-1 )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 2 至 n 行的所有元素均加至第一行对应元素上，得 再将第一行的-i 倍加至第 i 行(i=2，3，n)得 )解析：24.设 n 阶行列式 D n = （分数：2.00）_正确答案
15、：(正确答案： =(-1) n+1 .2.(-1) 1+(n+1) .(-2)D n-2 =4D n-2 =2 2 D n-2 =2 4 D n-4 =2 n-1 ，又因为 D n 展开后各项的值为 1 或-1，而 n!项的和为 2 n-1 ，故正项个数比负项个数多 2 n-1 个，于是正项总数为 )解析：25.计算：D 2n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该行列式只有两条对角线上有元素，其余均为 0，可以按照其中一行展开，找出递推关系式。将 D 2n = 按照第一行展开，得 将两个行列式分别按照最后一行展开，得 )解析：26.D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用
16、数学归纳法，记 n 阶行列式的值为 D n 。 当 n=1 时，D 1 =2a，命题正确； 当 n=2 时，D 2 = =3a 2 ，命题正确； 设 nk 时，D n =(n+1)a n ，命题正确。 当 n-k 时，按第一列展开，则有 D k = )解析：27.设 abc0，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将行列式 D 的第 1 列乘 a+b+c 之后再加到第 3 列得 )解析：28.计算 n 阶行列式 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 n3 时，第 2 行减第 1 行，然后第 4 行减第 2 行，变为分块行列式。即 D n = D n-3 =-D n
17、-3 ， 且易求出 D 1 =1，D 2 =0，D 3 =-1，于是 )解析：29.计算 n 阶行列式 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.计算下列二阶行列式() () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() =(-a)(-d)-(-b)(-c)= 2 -(a+d)+ad-bc。 () )解析：31.计算行列式 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原行列式 D n 按第 n 行展开，有 D n = +a n (-1) n+1 )解析：32.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按对角线法则展开行列式，得 )解析：33.计
18、算 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于该行列式每一行及每一列都只有两个非零元，根据展开定理将该行列式按照第一行展开得 D n =a 1 +b n (-1) 1+n )解析：34.证明 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将行列式按照第一行展开得 D n =(a+b)D n-0 -ab )解析：35.设 xyz0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将不等式中的行列式第 1 列乘以(x+y+z)，第 2 列乘以(-1)，并且均加到第 3 列，得 =(x-y)(y-z)(z-x)。 由于 xyz0，有 x-y0，y-z0，z-x0。故不等式 )解析：36.计算行列式 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将行列式适当添加一行一列变成 n+1 阶行列式，其中行元素全部为 1，列的第一个元素是 1，其余元素是 0，利用行列式的性质化简为“爪型”行列式和上三角形行列式，得 )解析：37.已知 =d，计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用行列式的分解法进行计算： )解析：38.计算 f(x+1)-f(x)，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由行列式的分解法可知 )解析：
