1、考研数学一（行列式）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 行列式 D= =0，则 a，b 应满足( )（A）a=b 或 a=-b。（B） a=2b 且 b0。（C） b=2a 且 a0。（D）a=1 ，b=2 设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（A）0。（B） a2（C） -a2。（D）na 2。3 若 =( )（A）30m。（B） -15m。（C） 6m。（D）-6m 。4 设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2，m，k，3 ，第 2 列元素的余子式依次为1，-1， 1，-1，第 4 列元素的代数
2、余子式依次为 3，1，4，2，且行列式的值为 1，则 m，k 的取值为( )（A）m=-4，k=-2。（B） m=4，k=-2。（C） m= ，k=（D）m= ， k=5 设多项式 f(x)= ，则 x4 的系数和常数项分别为 ( )（A）6，16。（B） -6，6。（C） 6，6。（D）-6 ，-6。6 设 D1= =m，D 2= =( )（A）m。（B） -8m。（C） 2m。（D）-2m 。7 下列 m 阶行列式中，其值必为-1 的是( )8 的值等于( )（A）a 1a2a3a4-b1b2b3b4。（B） a1a2a3a4+b1b2b3b4。（C） (a1a2-b1b2)(a3a4-b
3、3b4)。（D）(a 2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。二、填空题9 ()在一个 n 阶行列式 D 中等于“0”的元素个数大于 n2-n，则 D=_。()D=_。10 D= =_。11 已知 D= =0，则 =_。12 =_。13 =_。14 设 D= ，则行列式第 1 列各元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=_。15 行列式 Dn= =_。16 函数 f(x)= 中 x3 的系数为_，x 2 的系数为_。17 设 f(x)= ，则 f(x+1)-f(x)=_。18 已知 =0，则 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 计算下列二阶行列式：20
4、计算 Dn=21 计算22 设 n 阶行列式 Dn= ，求 Dn 完全展开后的 n!项中正项的总数。23 计算：D 2n= ，其中未写出的元素都是 0。24 D= ，证明行列式 D=(n+1)an。25 设 ab c0，证明26 计算 n 阶行列式 Dn=27 计算 n 阶行列式 Dn=28 计算下列二阶行列式() ()29 计算行列式 Dn= 的值。30 证明： =(a-b)(b-c)(c-a)。31 计算 Dn=32 证明 Dn= =an+an-1b+bn。33 设 xyz 0，证明：34 计算行列式 Dn= ，其中x1，x 2，x n0。35 已知 =d，计算行列式36 计算 f(x+1
5、)-f(x)，其中考研数学一（行列式）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 D= =aa1+b01+0b0-0a1-bb1-a00=a2-b2=0，于是 a=b 或 a=-b，应选(A)。【知识模块】 行列式2 【正确答案】 A【试题解析】 假设这一列是第 j 列，按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+a2njA2nj=aA1j+aA2j+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为-a，从而行列式的值为零，所以应选(A) 。【知识模块】 行列式3 【正确答案】 D【试题解析】
6、【知识模块】 行列式4 【正确答案】 A【试题解析】 由行列式展开定理及推论，得 即解得 m=-4，k=-2。【知识模块】 行列式5 【正确答案】 D【试题解析】 由行列式的定义知，主对角线元素的乘积就是关于 x4 的项，x.2x(-x).3x=-6x4，即 x4 的系数为-6。当 x=0 时行列式的值就是常数项，经计算 f(0)=-6，即常数项为-6 ，故选(D) 。【知识模块】 行列式6 【正确答案】 D【试题解析】 D 2= =-2=-2D1=-2m。 或将行列式 D1 的第一列加到第二列上之后再互换二、三列，再将第一列乘以 2 就可得到行列式 D2。根据行列式的性质知 D2=-2D1=
7、-2m。【知识模块】 行列式7 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 中行列式的值等于 的奇偶性不定，行列式可能为 1，也可能为-1。(B)中行列式按第一列展开得 1+(-1)m+1，一定不等于-1。(C)中行列式按第一行展开得(-1) m+1，行列式等于 1 或-1。(D)中的行列式按第一列展开之后，对 n-1 阶行列式再按第一列展开得 1.(-1)mm+1.1.(-1)m-1+1=-1。故(D)为正确答案。【知识模块】 行列式8 【正确答案】 D【试题解析】 根据行列式的拉普拉斯展开法则，将此行列式第 2，3 行(列)展开，得 D= (-1)2+3+2+3 =(a2a3-b2b3)(a1a
8、4-b1b4)。所以应选(D)。【知识模块】 行列式二、填空题9 【正确答案】 0，-2000!【试题解析】 ()n 阶行列式 D 共有 n2 个元素，由于 “0”元素的个数大于 n2-n，所以非“0”元素的个数小于 n(因为 n2-(n2-n)=n)。由 n 阶行列式的概念可知，D 的每一项均为 0(因为每一项中至少有一个“0”元素)，故 D=0。()D=(-1) r(n-1，n-2 ，n)a1，n-1 a2，n-2 an-1,1ann= a1，n-1 a2，n-2ann 2319992000=-2000!。【知识模块】 行列式10 【正确答案】 -29410 5【试题解析】 =-60050
9、098=-294105。【知识模块】 行列式11 【正确答案】 1=1-a， 2=a+4， 3=a-3【试题解析】 将第 3 行的-1 倍加至第 1 行，有=(+a-1)(-a)2-(-a)-12 =(+a-1)(-a-4)(-a+3)，所以 1=1-a， 2=a+4， 3=a-3。【知识模块】 行列式12 【正确答案】 24【试题解析】 根据行列式的性质作恒等变形，可得【知识模块】 行列式13 【正确答案】 b 3(b+ ai)【试题解析】 每行元素的和均是 a1+a2+a3+a4+6，故把每列均加到第一列，并提出公因式，得【知识模块】 行列式14 【正确答案】 0【试题解析】 将行列式按第
10、 1 列展开得 A11+A21+A31+A41=0。【知识模块】 行列式15 【正确答案】 【试题解析】 将第 k 行的公因子 k 提到行列式外，其中 k=2,3，n，再转置，利用范德蒙德行列式的计算公式得【知识模块】 行列式16 【正确答案】 -2，-1【试题解析】 将行列式按对角线法则展开为多项式，得 f(x)= =-2x3+4x+3-(-2x)-x2-12x=-2x3-x2-6x+3，于是函数 f(x)中 x3 的系数为-2，x 2 的系数为-1。【知识模块】 行列式17 【正确答案】 6x 2【试题解析】 【知识模块】 行列式18 【正确答案】 12，15，18【试题解析】 =(-12
11、)(-15)(-18)=0，所以 的值为 12 或 15 或 18。【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 () =sin.(-sin)-cos.cos=-(sin2+cos2)=-1。()=ab2-a2b。【知识模块】 行列式20 【正确答案】 利用行列式的性质得=xDn-1+anxn-1=x(xDn-2+an-1xn-2)+anxn-1=x2Dn-2+an-1xn-1+anxn-1=xn-1D1+a2xn-1+an-1xn-1+anxn-1=xn+a1xn-1+a2xn-1+an-1xn-1+anxn-1=xn+xn-1 ai。【知识模块】
12、 行列式21 【正确答案】 将 2 至 n 行的所有元素均加至第一行对应元素上，得再将第一行的-i 倍加至第 i 行(i=2，3，n)得【知识模块】 行列式22 【正确答案】 =(-1)n+1.2.(-1)1+(n+1).(-2)Dn-2=4Dn-2=22Dn-2=24Dn-4=2n-1，又因为 Dn 展开后各项的值为 1 或-1，而 n!项的和为 2n-1，故正项个数比负项个数多 2n-1 个，于是正项总数为 (n!+2n-1)个。【知识模块】 行列式23 【正确答案】 该行列式只有两条对角线上有元素，其余均为 0，可以按照其中一行展开，找出递推关系式。将 D2n= 按照第一行展开，得将两个
13、行列式分别按照最后一行展开，得=andnD-bncnD2n-2，由此得递推公式 D2n=(andn-bncn)D2n-2。按照递推公式逐层代入得D2n= (aidi-bici)D2，而 D2= =a1d1-b1c1。因此原行列式 D2n= (aidi-bici)。【知识模块】 行列式24 【正确答案】 用数学归纳法，记 n 阶行列式的值为 Dn。当 n=1 时，D 1=2a，命题正确；当 n=2 时，D 2= =3a2，命题正确；设 nk 时，D n=(n+1)an，命题正确。当 n-k 时，按第一列展开，则有 Dk=2aDk-1-a2Dk-2=2a(kak-1)-a(k-1)ak-2=(k+
14、1)ak，所以 D=(n+1)an。命题得证。【知识模块】 行列式25 【正确答案】 将行列式 D 的第 1 列乘 a+b+c 之后再加到第 3 列得=(ab+ac+bc)(b-a)(c-a)(c-b)，因为 abc0，故 D=(ab+ac+bc)(b-a)(c-a)(c-b)0。【知识模块】 行列式26 【正确答案】 当 n3 时，第 2 行减第 1 行，然后第 4 行减第 2 行，变为分块行列式。即 Dn= Dn-3=-Dn-3，且易求出D1=1，D 2=0，D 3=-1，于是 其中 k=0，1，2，。【知识模块】 行列式27 【正确答案】 【知识模块】 行列式28 【正确答案】 () =
15、(-a)(-d)-(-b)(-c)=2-(a+d)+ad-bc。()=(x-1)(x2+x+1)-(-x).1=x3-1+x。【知识模块】 行列式29 【正确答案】 将原行列式 Dn 按第 n 行展开，有Dn= +an(-1)n+1 =xDn-1+an(-1)n+1.(-1)n-1=xDn-1+an，递推得到 Dn-1=xDn-2+an-1(-1)n.(-1)n-2=xDn-2+an-1， D n-2=xDn-3+an-2， D2=a1x+a2。对以上 n-1 个等式分别用 1，x，x 2，x n-2 相乘，然后相加，得到Dn=a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+an-1x+an。【知识
16、模块】 行列式30 【正确答案】 按对角线法则展开行列式，得 =ab2+bc2+ca2-b2c-a2b-ac2=(ab2-a2b)+(bc2-ac2)+(ca2-b2c)=ab(b-a)+(b-a)c2+c(a-b)(a+b)=(a-b)(-ab-c2+ac+bc)=(a-b)(ac-ab)+(bc-c2)=(a-b)(a-c)(c-b)=(a-b)(b-c)(c-a)。【知识模块】 行列式31 【正确答案】 由于该行列式每一行及每一列都只有两个非零元，根据展开定理将该行列式按照第一行展开得 Dn=a1 +bn(-1)1+n=a1a2an+(-1)n+1b1b2bn。【知识模块】 行列式32
17、【正确答案】 将行列式按照第一行展开得 Dn=(a+b)Dn-0-ab再将后一个行列式按照第一列展开，即得 Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2。 且易得 D1=a+b，D 2=a2+b2+b2。下面用数学归纳法证明：假设当 n=k 及 n=k-1 时，等式成立，即 D k=ak+ak-1b+bk，D k-1=ak-1+ak-2b+bk-1，则 Dk+1=(a+b)Dk-abDk-1=(a+b)(ak+ak-1b+bk)-ab(ak-1+ak-2b+bk-1) =ak+1+akb+bk+1。 故 Dn=an+an-1b+bn 对所有的正整数成立。【知识模块】 行列式33 【正确答案】 将不等式中的行列式第 1 列乘以(x+y+z)，第 2 列乘以(-1)，并且均加到第 3 列，得=(x-y)(y-z)(z-x)。由于 xyz 0，有 x-y0，y-z0，z-x0。故不等式成立。【知识模块】 行列式34 【正确答案】 将行列式适当添加一行一列变成 n+1 阶行列式，其中行元素全部为 1，列的第一个元素是 1，其余元素是 0，利用行列式的性质化简为“爪型” 行列式和上三角形行列式，得【知识模块】 行列式35 【正确答案】 利用行列式的分解法进行计算：=(3+3)d。【知识模块】 行列式36 【正确答案】 由行列式的分解法可知=(n+1)xn。【知识模块】 行列式
