1、考研数学一（矩阵）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，若A2，B3，则分块矩阵 的伴随矩阵为 ( )（A）（B）（C）（D）2 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 ABE ，则( )（A）r(A)m，r(B) m（B） r(A) m，r(B) n（C） r(A) n，r(B) m（D）r(A)n，r(B)n3 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2A0，若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )（A）（B）（C）（D）4 设矩阵 A ，矩阵 B 满足 ABB
2、A2EO ，则BE ( )（A）6（B） 6（C）（D）5 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算正确的是 ( )（A）(AB)(AB)A 2B 2（B） (AB) -1A -1B -1（C） (AB) 2A 22ABB 2（D）(AB) *B *A*6 设 AE 2 T，其中 ( 1， 2， 3)T，且有 T1则 (1)A 是对称阵； (2)A2 是单位阵； (3)A 是正交阵； (4)A 是可逆阵 上述结论中，正确的个数是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 A 那么(P -1)2010A(Q2011)-1( )（A）（B）（C）（D）8 设 则必有( )（A）AP 1P
3、2B（B） AP2P1 B（C） P1P2A B（D）P 2P1AB二、填空题9 设 A ，r(A)2，则 a_10 设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)2，而 B ，则 r(AB)_11 设 A ，B 为 3 阶非零矩阵，且 ABO ，则 t_12 设 A ，B(EA)(E 2A) -1，则(BE) -1_13 设矩阵 A 的伴随矩阵 A* ，则 A_14 设矩阵 X 满足方程 ，则矩阵X_15 设 A 是 3 阶矩阵，则满足 ABO 的所有的 B_16 已知 ，若 X 满足 AX2B BA 2X，那么X2_17 设矩阵 A ，则 A3 的秩为_18 已知 ，则秩 r(AB2A)_
4、19 已知 ，且 AXA*B ，r(X)2，则a_20 已知 A ，B 是 3 阶非零矩阵，且 BATO，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设方阵 A 满足 A2A2EO，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A-1 及(A 2E) -122 设 n 阶矩阵 A 的伴随阵为 A*，证明： (1)若A0，则A *0； (2)A * A n-123 设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求24 设 A ，问 k 为何值，可使(1)r(A)1；(2)r(A)2；(3)r(A)325 证明 r(A)1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 bT，使Aa
5、b T26 设向量组 的秩为 2，求 a，b27 在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 n 和)，y n(n yn1) (1) 求关系式中的矩阵 A； (2)设目前农村人口与城镇人口相等，即考研数学一（矩阵）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若矩阵 A 的行列式A0，则 A 可逆，且 A-1 A*因为分块矩阵 的行列式 (1) 22AB23 6，即分块矩阵可逆，那么根据
6、公式有 所以应选 B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查矩阵的秩的性质因为 ABE ，所以 r(AB)m又 r(AB)mminr(A)，r(B)，即 r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m，所以 r(A)：m，r(B)m故选 A【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的是矩阵相似的性质，实对称矩阵可对角化的性质，矩阵的特征值，矩阵的秩等 设 A 的特征值为 ，因为 A2A0，所以 2 0，即(1)0，则 0 或 1 又因为 r(A)3，而由题意 A 必可相似对角化，且对角矩阵的秩也是 3，所以 1 是三重特征根，则 所以正确答案为 D
7、【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 化简矩阵方程，构造 BE，用分组因式分解法，则有 A(BE)(BE)E，即(AE)(BE)E， 两边取行列式，由行列式乘法公式得 AE.B E1， 又AE 12，故BE ，因此应选 C【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵的乘法没有交换律，因此 A，B 可逆不能保证 ABBA，例如A ，B ，有 AB ，而 BA ，所以 A、C 均不正确A，B 可逆时，AB 不一定可逆，即使 AB 可逆，其逆一般也不等于 A-1B -1仍以 为例，有(AB) -1 ，而 A -1B -1 所以B 不正确 因为 A 可逆时，A *AA -1，
8、故 (AB) *AB(AB) -1ABB -1A-1 (BB -1)(AA -1)B *A*， 因此 D 正确【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 D【试题解析】 A T(E2 T)TE T(2 T)TE2 TA ，(1)成立 A2(E2 T)(E2 T)E4 T4 TTE4 T4( T)TE，(2)成立 由(1)、(2)，得 A2AA TE ，故 A 是正交阵，(3)成立 由(3) 知正交阵是可逆阵，且 A-1A T，(4)成立 故应选 D【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 P、Q 均为初等矩阵，因为 P-1P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A的 1、3 两行，那么 P20
9、10A 表示把 A 的 1、3 两行互换 2010 次，从而(P -1)2010AP 2010AA 又(Q 2011)-1(Q -1)2011，且 Q-1 而 Q-1 右乘 A 相当于把矩阵 A 的第 2 列上各元素加到第 1 列相应元素上去，那么 A(Q-1)2011 表示把矩阵A 第 2 列的各元素 2011 倍加到第 1 列相应元素上去，所以应选 B【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 由于对矩阵 Amn 施行一次初等变换相当于在 A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对 Amn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以
10、看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第 1 行加到第3 行上，再把所得的矩阵的第 1、2 两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P2 与 P1，因此选项 C 正确【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 对 A 作初等行变换，则有即当 a0 时，r(A)2【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 2【试题解析】 因为B 100 所以矩阵 B 可逆，因此 r(AB)r(A)2【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 3【试题解析】 因为矩阵 B 为 3 阶非零矩阵，并且满足 ABO，因此可见线性方程A0 有非零解，因此 解得 t3【知识模块】 矩阵12 【正确答
11、案】 【试题解析】 本题可以采用单位矩阵恒等变形的技巧则 BE(EA)(E 2A) -1(E2A)(E2A) -1 (EA)(E2A)(E2A) -1 3A(E 2A) -1， 因此可得(BE) -13A(E 2A) -1-1 (E2A)A -1 (A-12E) 根据已知可得 A-1 所以(BE) -1【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 因为 AA*AE，因此 AA (A *)-1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得A *8A 3，因此A2，又所以 AA (A *)-1【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 ，其中 k，l，
12、 是任意常数【试题解析】 将 B 按列分块，设 B( 1， 2， 3)，则 AB A( 1， 2， 3)(A 1，A 2，A 3)O， 因此可得 A10，A 20，A 30，因此 1， 2， 3 都是齐次线性方程组 A0 的解向量 对于齐次线性方程组 AB0，求出其通解 对 A 作初等行变换 则 A0 有通解 k2，1，1 T，令 1， 2， 3，都是齐次线性方程组 A0 的通解，再合并成矩阵 B，即得 B ，其中 k，l ， 是任意常数【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 根据已知 AX2BBA2X，得 AX2X BA 2B，即(A 2E)XB(A2E)，由于 A2E 是可逆的
13、，因此 X(A2E) -1B(A2E)，那么 X 2(A2E) -1B2(A 2E)【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 1【试题解析】 依矩阵乘法直接计算得 故 r(A3)1【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 2【试题解析】 由 AB2AA(B2E)，且 B2E 是可逆矩阵，因此 r(AB 2A)r(A(B2E)r(A)。 因为经过初等变换，矩阵的秩不变，则因此可得 r(AB2A)2【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 0【试题解析】 根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A*也是可逆的，因此，r(AXA *)r(X)2r(B)， 因此可得B0，则【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析
14、】 根据 BAT0 可知，r(B)r(A T)3，即 r(A)r(B)3 又因为B0，因此 r(B)1， 从而有 r(A)3，即A0，因此 A 3(2a3)0， 于是可得 a 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 由 A2A2E0，得 A(AE) 2E两端同时取行列式A(AE)2，即 AA E2，故 A0，所以 A 可逆 而由A2A2E 0 可得 A2EA 2 两端同时取行列式 A2E A 2A 20， 所以 A2E 也可逆 由 A(AB)2E，得 A-1 (AE) 又 A2A2E 0，通过添加项并整理可得(A 2E)(A 3E)4E，则有 (
15、A 2E) -1(A2E)(A3E) 4(A2E) -1， 因此(A 2E) -1 (A3E) 【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 (1)(反证法) 假设A *0，由矩阵可逆的充分必要条件可知 A*是可逆矩阵，则有 A *(A*)-1E ，又因为 A*A -1A ，这里A0，由此得 AAE AA *(A*)-1AE(A *)-10， 所以 A*0这与A *0 矛盾，故当A0 时，有A *0 (2)由于 AA*A E ，两端同时取行列式得 AA *A n 当A0 时，A * A n-1；当A0 时，A *0 综上，有A *A n-1 成立【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 (1)将 的逆矩阵
16、 X 分块为 ，其中，X 1 为 ns 矩阵，X2 为 nn 矩阵，X 3 为 ss 矩阵，X 4 为 sn 矩阵，由矩阵互逆的定义可得(2)将 的逆矩阵 X 分块为 其中，X 1 为 nn 矩阵，X 2 为 ns 矩阵，X 3 为 sn 矩阵，X 4 为 ss 矩阵，由矩阵互逆的定义可得【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 对 A 作初等变换，因此，(1)当 k1 时，r(A)1；(2) 当 k2 时，r(A) 2；(3)当 k1 且 k2 时，r(A) 3【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 充分性：设 a(a 1，a 2，a m)T，b(b 1，b 2，b m)T，设a1b10，根据矩阵
17、秩的性质 r(AB)minr(A)，r(B) ，因为 Aab T，所以 r(A)r(a)1 另一方面，根据假设 a1b10 可知，A 的第一行第一列的元素 a1b10，所以r(A)1 综上所述 r(A)1 必要性：设 A(a ij)mn，因 r(A)1，设 a110，由矩阵的等价可知，存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可逆阵 Q，使其中a ，b (1，0， ，0)Q ，并且两者依次为非零 m 维列向量和非零 n 维行向量，且有 Aab T 成立【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 记 A(a 3，a 4，a 1，a 2)，并对矩阵 A 作初等变换当且仅当 a20 且 b50时，向量组(a 3，a 4，a 1，a 2)的秩为 2，即 a2，b5【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)由题意，人口迁移的规律不变 n+1 nqy np n(1p)nqy n， y n+1y nq npy np n(1 q)y n， 用矩阵表示为得A 的特征值为 11， 2r，其中 r1Pq 当 11 时，解方程(AE)0，得特征向量 P 1 ； 当 2r 时，解方程(A rE)0，得特征向量 p 2 令 P(p 1，p 2) ，则【知识模块】 矩阵
