1、考研数学一（矩阵）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第三行得到单位矩阵，记 P1= ，P 2= ，则 A=( )（A）P 1P2。（B） P1-1P2。（C） P2P1。（D）P 2P1-1。2 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA)*=( )（A）kA *。（B） kn-1A*。（C） knA*。（D）k -1A*。3 设 A 是三阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，已知 A 的每行元素之和为 k，
2、A *的每行元素之间和为 m，则A=( )（A）km。（B） (-1)nkm。（C）（D）(-1) n4 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，若 R(A*)=1。则 a=( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）1 或 3。5 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=0，则( )（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆。（B） E-A 不可逆，E+A 可逆。（C） E-A 可逆，E+A 可逆。（D）E-A 可逆， E+A 不可逆。6 设 A= ，则 A-1=( )二、填空题7 A2-B3=(A+B)(A-B)的充分必要条件是_。8 若 A= ，则 An=_。9 P1
3、= ，P 2= ，则 P12009P2-1=_。10 设 A= ，则 (A-2E)-1=_。11 已知 A= ，则(A -1)*=_。12 设 A= ，则 A* +A* +A* =_。13 设 A= ， B 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则 R(A)=_。14 设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵， A为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则 A=_。15 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设(2E-C -1B)AT=C-1，其中层是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A
4、 的转置矩阵，且求矩阵 A。17 设 n 阶矩阵 A 和 B 满足等式AB=aA+bB，其中 a 和 b 为非零实数。证明：()A-bE 和 B-aE 都可逆；()A 可逆的充分必要条件是 B 可逆；()AB=BA。18 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 E-AB 可逆，证明 E-BA 也可逆。19 设 A，B 为 n 阶可逆阵，证明：(AB) *=B*A*。20 已知 A，B 为 3 阶矩阵，其中 A 可逆，满足 2A-1B=B-4E。()证明 A-2E 可逆；()如果 B= ，求矩阵 A。21 已知 A= ，矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X。2
5、2 设 A，B 都是可逆矩阵，证明 可逆，并求它的逆矩阵。23 设 A 是 n 阶非零矩阵，且 A*=AT，证明：A 可逆。24 设 A 是 n 阶矩阵(n2)，证明： () 当 n=2 时，(A *)*=A； ()当 n3 时，(A *)*=A n-1A。25 设 n 阶矩阵 A 和 B 满足 A+2B=AB。()证明：A-2E 为可逆矩阵，其中 E 为 n阶单位矩阵；() 证明：AB=BA；()已知 B= ，求矩阵 A。26 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明： ()若A=0，则A *=0 ； ()A *= A n-1。27 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵。构造(m+
6、n)阶矩阵()计算 HG 和 GH；()证明H =E m-AB=E n-BA。考研数学一（矩阵）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题意 B=AP1，P 2B=E。从而由 P2AP1=E 可得 A=P2-1P1-1=P2P1-1。故(D)选项正确。【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 对任何 n 阶矩阵都成立时，对某些特殊的 n 阶矩阵也成立，那么当A 可逆时，由 A*=AA -1 有(kA) *=kA(kA) -1=knA A-1=kn-1A* 故应选(B)。【知识模块】 矩阵3 【正确答案】
7、 A【试题解析】 将 A 的其余各列加到第 1 列，且利用 A 的每行元素之和为 k，得显然A和B的第 1 列元素的代数余子式是相同的，将 B按第一列展开，得A=k(B 11+B21+Bn1)=k(A11+A21+An1)。因 A11，A 21，A n1 也是 A*的第一行元素，故 A11+A21+An2=m。故A=km。【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 A 是 4 阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式可知 R(A)=3 R(A*)=1。反之，若 R(A*)=1，则有 Aij0，得 R(A)3，但 R(A)4(若 R(A)=4，则 R(A*)=4，这与 R(A*)=1 矛盾)，故
8、R(A)=3，从而有 R(A)=3 (A*)=1。对矩阵 A 作初等变换，有若 a=3，则 A，秩 R(A)=3；若 a=2，则 A ，秩 R(A)=4；若 a=1，则 A ，秩 R(A)=3。所以，a=1 或a=3 时均有 R(A)=3，R(A *)=1。应选(D)。【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 A 3=O A3+E=E (A+E)(A2-A+E)=E，所以 A+E 可逆，A 3=O A3-E=-E (E-A)(A2+A+E)=E，所以 E-A 可逆。故选(C) 。【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 由分块矩阵运算法则再根据 A-1= A*，及二阶矩阵的
9、伴随矩阵 ，且利用以上公式及性质，应选(B)。【知识模块】 矩阵二、填空题7 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A 2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2 的充分必要条件是 AB=BA。【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 【试题解析】 将矩阵 A 分解为两个矩阵的和，即由于 Bn=O(n3)，所以 A n=(E+B)n=En+nEn-1B+ En-2B2 上式当 n=1和 2 时，仍成立。【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【试题解析】 P 1= =E23，因为 Eij-1=Eij，所以 Eij2=E，于是 P12009P2-1=P1P2-1=【知识模块】 矩阵10 【正确
10、答案】 【试题解析】 A-2E= ，而则 (A-2E) -1=【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 若 A 可逆，由 A*=AA -1 有(A -1)*=A -1(A -1)-1= 而故(A -1)*=【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 令 A=(1， 2， 3)，因为A=2，所以 A*A=AAE=2E，而A*A=(A*1，A *2，A *3)，所以 A*1= ，A *2= ，A *3= ，于是【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 2【试题解析】 已知 AB=0，因此根据乘积矩阵秩的性质，有 R(A)+R(B)3，又因为 B0，所以 R(B)1，从而有 R(A)2
11、。显然 A 有两行不成比例，故 R(A)2，于是 R(A)=2。【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 -1【试题解析】 由 aij+Aij=0，得 Aij=-aij。 A *=(Aij)T=(-aij)T=-AT，因此 AA*=-AAT=AE，等式两端取行列式得-A 2=A 3，从而得A=0 或A =-1，假设A=0，则-AA T=0，于是 A=0，与条件矛盾，所以A =-1。【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A2= A3=所以，A 3 的秩为 1。【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 题设矩阵等式两边左乘矩阵 C，得
12、 C(2E-C-1B)AT=CC-1，即(2C-B)AT=E。因 2C-B= ，2C-B=10，故矩阵 2C-B 可逆，于是A=(2C-B)-1T=(2C-B)T-1=【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 () 由 AB=aA+bB 得到 (A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=abE。 由于a 和 b 都非 0，abE 可逆，从而 A-bE 和 B-aE 都可逆。 ()由 AB=aA+bB 得，A(B-aE)=bB。由于 B-aE 可逆，b 不为 0，那么 A 可逆 (B-aE)可逆 bB 可逆 b 可逆。()由(A-bE)(B-aE)=abE ，得 ，根据逆矩阵的定义，从而有
13、即(B-aE)(A-bE)=abE=(A-bE)(B-aE)，等式两端展开并化简，结合已知条件 AB=aA+bB，得 AB=BA。【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 对恒等式 A-ABA=A-ABA 变形，得 (E-AB)A=A(E-BA)， 又由 E-AB 可逆，可得 A=(E-AB) -1A(E-BA)。 再由 E=E-BA9BA =E-BA+B(E-AB) -1A(E-BA) =E+B(E-AB)-1A(E-BA)， 故 E-BA 可逆，且 (E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A。【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 因 A、B 均为可逆矩阵，则由伴随矩阵及逆矩阵相关公式，有(AB
14、)*=AB(AB) -1= ABB -1A-1=BB -1.A A=B *A*。【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 () 由 2A-1B=B-4E，得 2B=AB-4,4，从而 (A-2E)B=4A。 等式两端取行列式有A-2E B=4A 0 ，故A-2E0，因此 A-2E 可逆。 ()由 2A-1B=B-4E，得 A(B-4E)=2B。 因此有(B T-4E)AT=2BT，用初等变换法求解此矩阵方程(B T-4E:2BT)于是 A T=那么，A=【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 方程两边同时左乘矩阵 A，且由公式 AA*=AE，得 AX=E+2AX，即(A E-2A)X=E， 因此 X
15、=(AE-2A) -1。又 A=4，AE-2A= 故【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 因为 =AB0，所以 可逆。设，则从而 BD21=0，由B 可逆，得 D21=0。 由 BD22=E，可得 D22=B-1。 由 AD11+CD21=AD1=E，可得D11=A-1。 由 AD12+CD22=AD12+CB-1=0，可得 D12=-A-1CB-1。 故【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 设 A= ，不妨设a110， A=a 11A11+a12A12+anA1n，因为 A*= =AT，所以 aij=Aij,于是 A=a 11A11+a12A12+a1nA1n=a112+a122+a1n20
16、，故 A 为可逆矩阵。【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 () 当 n=2 时，设 A= ，从而 A*= 因此 (A *)*=A。 ()当 n3 时，若A0 ，根据 A*=A-1A ，则A *= AA -1=A n-1，由 A*(A*)*=A *E，可得(A *)*=A *(A *)-1=A n-1 =A n-2A， 当A=0 时，R(A *)1n-1，因此(A *)*=0。命题仍成立。 因此 n3 时，(A *)*=A n-2A。【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 () 由 A+2B=AB，有 AB-2B-A+2E=2E，即(A-2E). (B-E)=E，根据矩阵可逆的定义，所以矩阵 A
17、-2E 可逆。() 由( )知(A-2E) -1= (B-E)。那么(A-2E). (B-E)= (B-E)(A-2E)，即有 AB-A-2B+2E=BA-2B-A+2E，故 AB=BA。()由(A-2E). (B-E)=E 知 A-2E= (B-E)-1，得 A=2(B-E)-1+2E。因为 (B-E) -1=所以【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 ()(反证法) 假设A *0，由矩阵可逆的充分必要条件可知 A*是可逆矩阵，则有 A*(A*)-=E，因为由 A-1= A*，可知 A*=A-1A，由此得 A=AE=AA*(A*)-1=AE(A *)-1=0， 所以 A*=0。这与A *0 矛盾，故当A=0 时，有A *=0 。 ()由于从 AA*= AE，两端同时取行列式得 AA *=A n。 当 A0 时，A *= A n-1； 当A=0 时，A *=0。 综上，均有 A*= A n-1 成立。【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 () 利用分块矩阵的乘法原则，可得()由()中结论， HG= E m.E n-BA=E n-BA， GH=E m-AB.E n= E m-AB。 又因为 HG=HG= H=GH=GH，所以 H= E n-BA=E m-AB。【知识模块】 矩阵
