1、考研数学一（矩阵）模拟试卷 7 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第三行得到单位矩阵，记 P 1 = ，P 2 = （分数：2.00）A.P 1 P 2 。B.P 1 -1 P 2 。C.P 2 P 1 。D.P 2 P 1 -1 。3.设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A * 是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) * =( )（分数：2.00）A.
2、kA * 。B.k n-1 A * 。C.k n A * 。D.k -1 A * 。4.设 A 是三阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，已知 A 的每行元素之和为 k，A * 的每行元素之间和为 m，则A=( )（分数：2.00）A.km。B.(-1) n km。C.D.(-1) n 5.已知 A= （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.1 或 3。6.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A 3 =0，则( )（分数：2.00）A.E-A 不可逆，E+A 不可逆。B.E-A 不可逆，E+A 可逆。C.E-A 可逆，E+A 可逆。D.E-A 可逆，E+A 不可逆。7.
3、设 A= ，则 A -1 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.A 2 -B 3 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1。（分数：2.00）填空项 1:_9.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.P 1 = ，P 2 = （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= ，则 A * +A * +A * （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A=(a ij )是 3 阶非零矩阵，A为
4、 A 的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式，若 a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)，则A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设(2E-C -1 B)A T =C -1 ，其中层是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，且 （分数：2.00）_19.设 n 阶矩阵 A 和 B 满足等式 AB=aA+bB，其中 a 和 b 为非零实数。证明：()A-bE 和 B-aE 都可逆；()
5、A 可逆的充分必要条件是 B 可逆；()AB=BA。（分数：2.00）_20.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 E-AB 可逆，证明 E-BA 也可逆。（分数：2.00）_21.设 A，B 为 n 阶可逆阵，证明：(AB) * =B * A * 。（分数：2.00）_22.已知 A，B 为 3 阶矩阵，其中 A 可逆，满足 2A -1 B=B-4E。 ()证明 A-2E 可逆； ()如果 B= （分数：2.00）_23.已知 A= （分数：2.00）_24.设 A，B 都是可逆矩阵，证明 （分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶非零矩阵，且 A * =A T ，证明：A 可逆。（分数：2.
6、00）_26.设 A 是 n 阶矩阵(n2)，证明： ()当 n=2 时，(A * ) * =A； ()当 n3 时，(A * ) * =A n-1 A。（分数：2.00）_27.设 n 阶矩阵 A 和 B 满足 A+2B=AB。()证明：A-2E 为可逆矩阵，其中 E 为 n 阶单位矩阵；()证明：AB=BA；()已知 B= （分数：2.00）_28.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A * ，证明： ()若A=0，则A * =0； ()A * =A n-1 。（分数：2.00）_29.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵。构造(m+n)阶矩阵 （分数：2.00）_考研数学一（矩阵）模
7、拟试卷 7 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第三行得到单位矩阵，记 P 1 = ，P 2 = （分数：2.00）A.P 1 P 2 。B.P 1 -1 P 2 。C.P 2 P 1 。D.P 2 P 1 -1 。 解析：解析：由题意 B=AP 1 ，P 2 B=E。从而由 P 2 AP 1 =E 可得 A=P 2 -1 P 1 -1 =P 2 P 1 -1 。故(D
8、)选项正确。3.设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A * 是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) * =( )（分数：2.00）A.kA * 。B.k n-1 A * 。 C.k n A * 。D.k -1 A * 。解析：解析：对任何 n 阶矩阵都成立时，对某些特殊的 n 阶矩阵也成立，那么当 A 可逆时，由 A * =AA -1 有 (kA) * =kA(kA) -1 =k n A 4.设 A 是三阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，已知 A 的每行元素之和为 k，A * 的每行元素之间和为 m，则A=( )（分数：2.00）A.km。 B.(-1) n km。C.D.
9、(-1) n 解析：解析：将 A 的其余各列加到第 1 列，且利用 A 的每行元素之和为 k，得 5.已知 A= （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.1 或 3。 解析：解析：A 是 4 阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式 可知 R(A)=3 R(A * )=1。反之，若R(A * )=1，则有 A ij 0，得 R(A)3，但 R(A)4(若 R(A)=4，则 R(A * )=4，这与 R(A * )=1 矛盾)，故 R(A)=3，从而有 R(A)=3 (A * )=1。 对矩阵 A 作初等变换，有 若 a=3，则 A ，秩R(A)=3； 若 a=2，则 A ，秩 R(A)=4； 若
10、a=1，则 A 6.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A 3 =0，则( )（分数：2.00）A.E-A 不可逆，E+A 不可逆。B.E-A 不可逆，E+A 可逆。C.E-A 可逆，E+A 可逆。 D.E-A 可逆，E+A 不可逆。解析：解析：A 3 =O A 3 +E=E (A+E)(A 2 -A+E)=E，所以 A+E 可逆，A 3 =O A 3 -E=-E 7.设 A= ，则 A -1 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由分块矩阵运算法则 再根据 A -1 = A * ，及二阶矩阵的伴随矩阵 ，且 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8
11、.A 2 -B 3 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：AB=BA）解析：解析：A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)=A 2 +BA-AB-B 2 的充分必要条件是 AB=BA。9.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将矩阵 A 分解为两个矩阵的和，即 由于 B n =O(n3)，所以 A n =(E+B) n =E n +nE n-1 B+ E n-2 B 2 10.P 1 = ，P 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P 1 = =E
12、 23 ，因为 E ij -1 =E ij ，所以 E ij 2 =E，于是 P 1 2009 P 2 -1 =P 1 P 2 -1 = 11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A-2E= ，而 则 (A-2E) -1 = 12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若 A 可逆，由 A * =AA -1 有 (A -1 ) * =A -1 (A -1 ) -1 = 而 故 (A -1 ) * = 13.设 A= ，则 A * +A * +A * （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
13、：*）解析：解析：令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，因为A=2，所以 A * A=AAE=2E，而 A * A=(A * 1 ，A * 2 ，A * 3 )，所以 A * 1 = ，A * 2 = ，A * 3 = ，于是 14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：已知 AB=0，因此根据乘积矩阵秩的性质，有 R(A)+R(B)3，又因为 B0，所以 R(B)1，从而有 R(A)2。显然 A 有两行不成比例，故 R(A)2，于是 R(A)=2。15.设 A=(a ij )是 3 阶非零矩阵，A为 A 的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式
14、，若 a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)，则A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：由 a ij +A ij =0，得 A ij =-a ij 。 A * =(A ij ) T =(-a ij ) T =-A T ，因此 AA * =-AA T =AE，等式两端取行列式得-A 2 =A 3 ，从而得A=0 或A=-1，假设A=0，则-AA T =0，于是 A=0，与条件矛盾，所以A=-1。16.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 2 = A 3 = 三、解答题(总题数：13，分
15、数：26.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设(2E-C -1 B)A T =C -1 ，其中层是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题设矩阵等式两边左乘矩阵 C，得 C(2E-C -1 B)A T =CC -1 ，即(2C-B)A T =E。 因 2C-B= ，2C-B=10， 故矩阵 2C-B 可逆，于是 A=(2C-B) -1 T =(2C-B) T -1 = )解析：19.设 n 阶矩阵 A 和 B 满足等式 AB=aA+bB，其中 a 和 b 为非零实数。证明：
16、()A-bE 和 B-aE 都可逆；()A 可逆的充分必要条件是 B 可逆；()AB=BA。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 AB=aA+bB 得到 (A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=abE。 由于 a 和 b 都非0，abE 可逆，从而 A-bE 和 B-aE 都可逆。 ()由 AB=aA+bB 得，A(B-aE)=bB。由于 B-aE 可逆，b 不为0，那么 A 可逆 (B-aE)可逆 bB 可逆 b 可逆。 ()由(A-bE)(B-aE)=abE，得 ，根据逆矩阵的定义， 从而有 )解析：20.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 E-AB 可逆，证明 E-
17、BA 也可逆。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对恒等式 A-ABA=A-ABA 变形，得 (E-AB)A=A(E-BA)， 又由 E-AB 可逆，可得 A=(E-AB) -1 A(E-BA)。 再由 E=E-BA9BA =E-BA+B(E-AB) -1 A(E-BA) =E+B(E-AB) -1 A(E-BA)， 故 E-BA 可逆，且 (E-BA) -1 =E+B(E-AB) -1 A。)解析：21.设 A，B 为 n 阶可逆阵，证明：(AB) * =B * A * 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A、B 均为可逆矩阵，则由伴随矩阵及逆矩阵相关公式，有(AB) *
18、=AB(AB) -1 = ABB -1 A -1 =BB -1 .AA=B * A * 。)解析：22.已知 A，B 为 3 阶矩阵，其中 A 可逆，满足 2A -1 B=B-4E。 ()证明 A-2E 可逆； ()如果 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 2A -1 B=B-4E，得 2B=AB-4,4，从而 (A-2E)B=4A。 等式两端取行列式有A-2EB=4A0，故A-2E0，因此 A-2E 可逆。 ()由 2A -1 B=B-4E，得 A(B-4E)=2B。 因此有(B T -4E)A T =2B T ，用初等变换法求解此矩阵方程 (B T -4E:2B T )
19、 于是 A T = 那么，A= )解析：23.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两边同时左乘矩阵 A，且由公式 AA * =AE，得 AX=E+2AX，即(AE-2A)X=E， 因此 X=(AE-2A) -1 。 又 A= =4，AE-2A= 故 )解析：24.设 A，B 都是可逆矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =AB0， 所以 可逆。 设 ，则 从而 BD 21 =0，由 B 可逆，得 D 21 =0。 由 BD 22 =E，可得 D 22 =B -1 。 由 AD 11 +CD 21 =AD 1 =E，可得 D 11 =A -1 。 由
20、AD 12 +CD 22 =AD 12 +CB -1 =0，可得 D 12 =-A -1 CB -1 。 故 )解析：25.设 A 是 n 阶非零矩阵，且 A * =A T ，证明：A 可逆。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= ，不妨设 a 11 0，A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a n A 1n ，因为A * = )解析：26.设 A 是 n 阶矩阵(n2)，证明： ()当 n=2 时，(A * ) * =A； ()当 n3 时，(A * ) * =A n-1 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 n=2 时，设 A= ，从而 A * = 因
21、此 (A * ) * = =A。 ()当 n3 时，若A0，根据 A * =A -1 A，则A * =AA -1 =A n-1 ，由 A * (A * ) * =A * E，可得 (A * ) * =A * (A * ) -1 =A n-1 )解析：27.设 n 阶矩阵 A 和 B 满足 A+2B=AB。()证明：A-2E 为可逆矩阵，其中 E 为 n 阶单位矩阵；()证明：AB=BA；()已知 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 A+2B=AB，有 AB-2B-A+2E=2E，即 (A-2E). (B-E)=E， 根据矩阵可逆的定义，所以矩阵 A-2E 可逆。 ()由()
22、知(A-2E) -1 = (B-E)。那么 (A-2E). (B-E)= (B-E)(A-2E)， 即有 AB-A-2B+2E=BA-2B-A+2E， 故 AB=BA。 ()由(A-2E). (B-E)=E 知 A-2E= (B-E) -1 ，得 A=2(B-E) -1 +2E。 因为 (B-E) -1 = 所以 )解析：28.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A * ，证明： ()若A=0，则A * =0； ()A * =A n-1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(反证法)假设A * 0，由矩阵可逆的充分必要条件可知 A * 是可逆矩阵，则有 A * (A * )-=E，因为由 A -1 = )解析：29.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵。构造(m+n)阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用分块矩阵的乘法原则，可得 )解析：
