1、考研数学一（矩阵）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若丨 A 丨=2，丨 B丨=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为2 设 A，B 为 n 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 C=，则 C 的伴随矩阵 C*=3 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为4 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的
2、-1 倍加到第 2 列得 C，记 则（A）C=P -1AP（B） C=PAP-1（C） C=pTAp（D）C=pAp T5 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第3 行得单位矩阵记 P1= ，P 2= ，则 A=（A）P 1P2（B） P1-1P2（C） P2P1.（D）P 2P1-16 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P-1AP= 若 P=(1， 2， 3)，Q=(1+2， 2， 3)，则 Q-1AQ=7 设 ，P 1= P2=则必有（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P
3、1A=B二、填空题8 已知 =(1， 2，3) ，=(1,1/2,1/3)，设= T，其中 T 是 的转置，则An=_.9 设 ，而 n2 为正整数，则 An-2An-1=_.10 设 为 3 维列向量， T 是 的转置，若 T= ，则T=_.11 设 ，B=P -1AP，其中 P 为 3 阶可逆矩阵，则 B2004-2A2=_.12 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a11， a12，a 13 为三个相等的正数，则 a11=_.13 设 ，E 为 4 阶单位矩阵，且 B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B) -1=_三
4、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 A=E-T，其中 E 为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置14 A2=A 的充要条件是 T=1；15 T=1 时， A 是不可逆矩阵16 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= 且 ABA-1=BA-1+3E，其中露是 4 阶单位矩阵，求矩阵 B16 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵17 计算并化简 PQ；18 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b考研数学一（矩阵）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个
5、选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 C *【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 P 2-1EP1=P2P1-1.【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 Q -1AQ=PE12(1)-1APE12(1)=E12-1(1)(p-1AP)E12(1)【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 A 经过两次初等行变换得到曰，根据初等矩阵的性质，左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换，故排除(A)，(B) P 1P2A 表
6、示把 A 的第一行加至第三行后再一，二两行互换这正是矩阵 B，所以应选(C) 而 P2P1A 表示把 A 的一、二两行互换后再把第一行加至第三行.【知识模块】 矩阵二、填空题8 【正确答案】 3 n-1【试题解析】 A n=(T)(T)( T)=T(T)(T)( T)=3n-1T=3n-1【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 0【试题解析】 由于 An-2An-1=（A-2E）A n-1A-2E= 易见（A-2E ）A=0，从而 An-2An-1=0.【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 3【试题解析】 T 是秩为 1 的矩阵， T 是一个数，这两个符号不能混淆。【知识模块】 矩阵11 【正确答
7、案】 【试题解析】 B 2004-2A2=P-1A2004P-2A2=P-1EP-2A2.【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 2E【试题解析】 虽可以南 A 先求出(E+A) -1，再作矩阵乘法求出 B，最后通过求逆得到(E+B) -1但这种方法计算量太大 若用单位矩阵恒等变形的技巧，我们有 B+E =(E+A)-1(E-A)+E =(E+A)-1(E-A)+(E+A) =2(E+A)-1 (E+B) -1 =2(E+A)-1-1 =1/2(E+A) 由 B=(E+A)-1(E 一 A)，左乘 E+A 得 (E+A)B=E-A (E+A)B+(E+A)=
8、E-A+E+A=2E (E+A)(E+B)=2E【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T) =E-2T+TT =E-T+(T)T-T =A+(T)T-T， 那么 A2=A (T-1)T=0 因为 是非零列向量， T0，敝 A2=A T-1=0 即孝 T=1【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 反证法 当 T=1 时，由(1) 知 A2=A，若 A 可逆，则 A=A-1A2=A-1A=E 与已知 A=E-TE 矛盾【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 由丨 A*丨=丨 A 丨 n-1，有丨 A 丨 3=8
9、，得丨 A 丨=2 A 是可逆矩阵用 A 右乘矩阵方程的两端，有(A-E)B=3A 因为 A*A=AA*=丨 A 丨 E，用A*左乘上式的两端，并把丨 A 丨=2 代入，有(2E-A *)B=6E于是 B=6(2E-A *)-1 因为 2E-A *= ，则(2E-A *)-1= 因此【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 由 AA*=A*A=丨 A 丨 E 及 A*=丨 A 丨 A-1，有【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 用行列式拉普拉斯展开公式及行列式乘法公式，有=丨 A 丨 2(b-TA-1)又因 A 可道，丨 A 丨0 故丨 Q 丨=丨 A 丨(b- TA-1)由此可知 Q 可逆的充分必要条件是 b-TA-10 即TA-1b【知识模块】 矩阵
