1、考研数学一（矩阵）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 3 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，A ，则4A (3A *)-1( )（A）（B） 3（C） 6（D）92 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）ABD O 且 B0（B） AO A0（C） AB 0 A 0 或B0（D）A1 E3 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(AB) 2E，则(E BA -1)-1( )（A）(AB)B（B） EAB -1（C） A(AB)（D）(AB)A4 下列命题中 (1)如果矩阵 ABE，则 A 可逆且 A-1B；
2、(2)如果 n 阶矩阵 A，B满足(AB) 2E ，则(BA) 2 E； (3)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB必不可逆； (4)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆 正确的是( )（A）(1)(2)（B） (1)(4)（C） (2)(3)（D）(2)(4)5 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 ABAB，则(1)若 A 可逆，则 B 可逆；(2)若 B 可逆，则 AB 可逆；(3)若 AB 可逆，则 AB 可逆；(4)AE 恒可逆上述命题中，正确的命题共有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个6 设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则
3、下列结论不正确的是 ( )（A）AB 是对称矩阵（B） AB 是对称矩阵（C） A*B *是对称矩阵（D）A2B 是对称矩阵7 设 A P1则 B( )（A）P 1P3A（B） P2P3A（C） AP3P2（D）AP 1P38 设 A ，B 是 42 的非零矩阵，且 ABO，则( )（A）a1 时， B 的秩必为 2（B） a1 时，B 的秩必为 1（C） a1 时，B 的秩必为 1（D）a1 时，B 的秩必为 29 已知 A ，A *是 A 的伴随矩阵，若 r(A*)1则 a( )（A）3（B） 2（C） 1（D）1 或 3二、填空题10 设 A 为四阶矩阵，且A2，则A *_11 设 A，
4、B 是 3 阶矩阵，满足 ABAB，其中 B ，则AE _12 设矩阵 ，矩阵 B 满足 ABA*2BA *E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B_13 已知矩阵 ，则 ABBA _14 设 ，则 AB_ 15 设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T ，则T_16 设方阵 A 满足 A2A2EO，并且 A 及 A2E 都是可逆矩阵，则(A2E) -1_17 设矩阵 A ，BA 25A6E，则( B)-1_18 设 ，B(EA) -1(EA) ，则(EB) -1_19 设 ，则 A-1_20 如果 A (BE) ，且 B2E，则 A2_21 设 (1 ， 2，
5、3) T，(1， ，0) T，A T，则 A3_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩降记为 B (1)证明 B 可逆； (2)求 AB-123 设矩阵 A 的伴随矩阵 A* ，且 ABA-1BA -13E ，其中 E 为 4阶单位矩阵，求矩阵 B24 某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 n 和 yn，记成向
6、量 (1) 求 的关系式并写成矩阵形式：； (2)验证 1 ， 2 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； (3)当25 已知 3 阶矩阵 A 和 3 维向量 ，使得 ，A，A 2 线性无关，且满足 A33A2A 2 (1) 记 P(，A ，A 2)求 3 阶矩阵 B，使 APBP -1； (2)计算行列式AE26 设 A，B 为同阶方阵，(1)若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；(2)举一个 2 阶方阵的例子说明(1) 的逆命题不成立；(3)当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立27 (1)设 A ，求 (A)A 105A 9； (2)设 A ，求
7、 (A)A 106A 95A 828 设 A ，求一个 42 矩阵 B，使 ABO，且 r(B)2考研数学一（矩阵）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由A ，则(3A *)-1(3 AA -1)-1A ，所以 4A(3A *)-14AA3A3 3A9 所以应选 D【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 ABAB0，行列式是数，故有A 0或B 0，反之亦成立，故应选 C 取 ，AB O，但AO，BO，选项 A 不成立 取A 0，但 A O ，选项 B不成立 取A ，但 A E，选项不成立【知识模块】
8、 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 因为(EBA -1)-1(AA -1BA -1)-1(AB)A -1-1 (A -1)-1(AB) -1A(AB)， 所以应选 C 注意，由(AB) 2E，即(AB)(A B)E，按可逆矩阵的定义知(AB) -1(A B)【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题(1)当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故(1)不正确例如 显然 A 不可逆 若 A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2E，即(AB)(AB)E，则可知 A、B 均可逆，于是ABAB -1，从而 BABAE 即(BA) 2E 因此(2)正确
9、若设显然 A、B 都不可逆，但 AB 可逆，可知(3)不正确 由于 A、B 为均 n 阶不可逆矩阵，知AB0，且结合行列式乘法公式，有ABAB0，故 AB 必不可逆(4)正确 所以应选D【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 由 ABAB，有(AE)BA若 A 可逆，则(AE)BAEBA0，知B 0 即矩阵 B 可逆，从而命题(1)正确应用命题(1)，由 B 可逆可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 AB AB 也可逆，故命题(2)正确因为 ABA+B ，若 AB 可逆，则有 AB 可逆，即命题(3)正确对于命题(4)，用分组因式分解，即ABABE ，则有(AE)(BE)E，所
10、以得 AE 恒可逆，命题(4)正确所以应选 D【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，则 (AB) TA TB TA B， 以及 (kB)TkB TkB， 所以有 (A2B) TA T(2B T)A2B， 从而选项 A，D 的结论是正确的 首先来证明(A *)T(A T)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等(A *)T 在位置(i，j)的元素等于 A*在(j ，i)位置的元素，且为元素 aij 的代数余子式 Aij 而矩阵(A T)*在(i，j) 位置的元素等于 AT 的(j，i)位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 ajia ij 则该元素仍为元素
11、aij 的代数余子式 Aij*从而(A *)T(A T)*A *，故 A*为对称矩阵，同理，B *亦为对称矩阵结合选项 A 的结论，则选项 C 的结论是正确的 因为(AB) TB TATBA，从而选项 B 的结论不正确 注意：当 A，B均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 ABBA 所以应选 B【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP3P2，AP 1P3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除 该变换或者把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第三行后，再1、2 两行互换可得到 B；或者把矩阵 A 的 1、2 两行互换后，再把第 2
12、行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 B 而 P2P3A 正是后者，所以应选 B【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 当 a1 时，易见 r(A)1；当 a1 时，则即 r(A)3 由于 AB0，A是 34 矩阵，有 r(AB)4 那么当 a1 时，r(A)1，1r(B)3 而 B 是 42矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2，因此选项 A、B 均不正确 当 a1 时，r(A)3，所以必有 r(B)1，选项 D 不正确所以应选 C【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 D【试题解析】 A 是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式可见 r(A*)1 r(A) 3 对矩阵 A 作初等变换
13、，有所以a1 或 a3 时，均有 r(A*)1因此应选 D【知识模块】 矩阵二、填空题10 【正确答案】 8【试题解析】 因为A0 时，有 A-1 A*，因此 A*A -1A ，因为矩阵前面的系数相当于矩阵的每一个元素均乘以这个系数，因此，A *A -1(A ) n A n-1A 32 38【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 由题设，ABAB，则(AE)(EB)E因此 AE【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 由于A 3，又因为 AA*A *AA E，则对题中的矩阵方程右乘矩阵 A 得 3AB6BA，即 3(A2E)nA，该等式两端同时取行列式有 3(A2E).B
14、A3， 即 27A2E .BA3 又A2E 1，因此可得B【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 根据矩阵乘积的计算方法【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 5【试题解析】 设 (a 1，a 2，a 3)T，(b 1，b 2，b 3)T，则而 T(a 1，a 2，a 3)a 1b1 a2b2a 3b3 可以看出 T 也就是矩阵 T 的主对角线元素的和，所以 T16 (2)5【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 (A3E)【试题解析】 由 A2A2EO，即可得(A2E)(A3E)4E，于是有 (A 2E)-1(A2E)(A3E)4(
15、A2E) -1， 因此(A2E) -1 (A3E)【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 因为 B(A2E)(A3E)，又( B)-15B -1，因此可知【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 由于 BE(EA) -1(EA)E (EA) -1(EA) (EA) -1(EA) (EA) -1(EA)(E A) 2(EA) -1， 因此(E B) -1 (EA) ，已知 A因此，(EB) -1【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【试题解析】 根据逆矩阵的求法，对已知矩阵和单位矩阵，用相同初等行变换把已知矩阵变为单位矩阵，则单位矩阵在相同的变换下变为已知矩阵的逆矩阵，即【
16、知识模块】 矩阵20 【正确答案】 A【试题解析】 已知 A (BE)且 B2E，因此 A 2 (BE) 2 (B22BE) (2B2E) (BE)A， 即 A2A【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 【试题解析】 因为 A T ，又因为T 2，且矩阵的乘法满足结合律， 所以，A 3( T)(T)(T)( T)(T)T 4 T 4A【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 (1)设 E(i，j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有 BE(i，j)A，因此有 BE(i，j)AA 0， 所以矩阵 B 可逆 (2)AB
17、-1AE(i ，j)A -1AA -1E-1(i，j) E -1(i，j)E(i，j)【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由 AA*A *AAE，知A *A n-1，因此有8A *A 3，于是A2 在等式 ABA-1BA -13E，两边先右乘A，再左乘 A*，得 2BA *B3A *A，由上述结论，则有 (2EA *)B6E 于是B6(2EA *)-1【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 (2)因为行列式 1， 250 可见 1， 2 线性无关 又 A1 1，故 1 为 A，的特征向量，且相应的特征值 11 A 2 2，故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值 2 (3)因为 因此只要计算
18、出 An 即可 令 P( 1， 2) 则由 P-1AP ，有 APP-1【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 (1)令等式 APBP -1 两边同时右乘矩阵 P，得 APPB，即 A(，A，A 2)(A，A 2，A 3)(A ，A 2，3A2A 2) (，A，A 2)所以 B (2)由(1)知 AB，那么 AEBE ，从而 AE BE 4【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 (1)若 A， B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1APB，则 P -1(EA)P P -1EAP EA 所以 A、B 的特征多项式相等 (2)令 ，那么EA 2EB 但是A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 P
19、-1APBO ，从而 APOP -1O 与已知矛盾也可从 r(A)1， r(B)0，知 A 与 B 不相似 (3)因 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为1， n，则有 也就是，存在可逆矩阵P，Q，使 P-1AP Q -1BQ 因此有(PQ -1)-1A(PQ-1)B由 PQ-1 为可逆矩阵知，矩阵 A 与 B 相似【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)A 的特征多项式为 A (1)(5) 解得 A 的特征值为 11 ， 25 对于 11，解方程(A E) 0，得单位特征向量 对于 25，解方程(A5E) 0，得单位特征向量
20、于是有正交矩阵 P ，使得 P-1APdiag(1 ，5)，从而 APAP -1，A kPA kP-1因此 (A)P()P -1 P(105 9)P-1 Pdiag(1，5 10)5diag(1，5 9)P-1 Pdiag(4，0)P -1 (2)A 的特征多项式为 AE (1)(1)(5)， A 的特征值为11， 21， 35 对于 11，解方程(AE)0，得单位特征向量对于 21，解方程(AE) 0，得单位特征向量 对于 35，解方程(AE) 0，得单位特征向量 于是有正交矩阵 使得 P-1APdiag(1，1，5)，APP -1因此【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 r(B) 2，因此可设 B ，由 ABO ，即解此非齐次线性方程组，得唯一解故所求矩阵为 B【知识模块】 矩阵
