[考研类试卷]考研数学一（矩阵）模拟试卷5及答案与解析.doc

1、考研数学一（矩阵）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式Aa0，A *是 A 的伴随矩阵，则A *等于( )（A）a（B）（C） an-1（D）a n2 设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（A）ABAB（B） ABBA（C） AB BA（D）(AB) -1A -1B -13 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABCE ，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（A）ACBE（B） CBAE（C） BACE（D）BCAE4 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩

2、为 r，矩阵 BAC 的秩为r1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr 1（D）r 与 r1 的关系依 C 而定5 设三阶矩阵 A 若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有( )（A）ab 或 a2b0（B） ab 或 a260（C） a6且 a2b0（D）ab 或 a2b06 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQC 的可逆矩阵 Q 为( )（A）（B）（C）（D）7 已知矩阵 A ，那么下列矩阵中与矩阵 A 相似的矩阵个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 A 为 n 阶非零矩阵

3、，E 为 n 阶单位矩阵若 A3O，则( )（A）E A 不可逆，E A 不可逆（B） EA 不可逆，EA 可逆（C） EA 可逆，EA 可逆（D）E A 可逆，E A 不可逆二、填空题9 已知 2CA2ABC B，其中 A ，则C3_10 设 A ，则其逆矩阵 A-1_11 设 A ，且 r(A)2，则 k_12 设 A ，B 是 3 阶非零矩阵，且 ABO ，a_13 已知 n 阶矩阵 A ，则 r(A2A)_14 设 n 阶矩阵 A 满足 A2A，E 为凡阶单位阵，则 r(A)r(A E)_15 已知 A ，矩阵 X 满足 A*XA -12X ，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X_16

4、 已知 1(1 ，0，0) T， 2(1，2，1) T， 3(1，1，0) T，且 A1(2，1)T， A2(1，1) T，A 3(3，4) T，则 A_ 17 设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB2A3B，A ，则(B2E) -1_18 设 ，且 A，B，X 满足(EB -1A)TBTXE，则X-1_19 设矩阵 A 与 B 相似，则 r(A)r(A2E) _20 设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A22A8EO，则 r(4EA)r(2EA)_21 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA6ABA，且 A ，则B_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算

5、步骤。22 设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，证明23 设矩阵 相似，求 ，y；并求一个正交阵 P，使 P-1APA24 已知 A ，求可逆矩阵 P，使 P-1APA 25 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 (1)计算并化简 PQ； (2) 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b26 设 ， 为 3 维列向量，矩阵 A T T，其中 T， T 分别为 ， 的转置证明：r(A)2 27 设 A ，求 An28 已知矩阵 A 的伴随阵 A*diag(1，1，1，8) ，且

6、ABA-1BA -13E ，求 B考研数学一（矩阵）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 对 AA*AE 两边取行列式，得 AA *AEA n 由A a0，可得A *A n-1a n-1【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 因为ABABBABA ，所以 C 正确 对于选项 A，取 BA，则AB0，而 AB不一定必为零，故 A 错误 对于选项 B，由矩阵乘法不满足交换律知， B 不正确 对于选项 D，因(A B)(A-1B -1)E，故 D 也不正确 所以应选 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D

7、【试题解析】 由题设 ABCE，可知A(BC)E 或(AB)CE，即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有(BC)ABCAE 或 C(AB)CABE，比较四个选项，所以应选 D【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 BACEAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵 B 与 A 等价，从而 r(B)r(a)所以应选 C【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 根据矩阵 A 与其伴随矩阵 A*秩的关系可知，r(a)2，即 A 为降秩矩阵，从而 A (a2b)(ab) 20 故有 a2b0 或 ab 但当ab

8、 时，r(a) 1故必有 ab 且 a2b0，所以应选 C【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，有【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【试题解析】 二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 AA ，那么只要和矩阵 A 有相同的特征值，它就一定和 A 相似，也就一定与 A 相似 (1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于(3)和(4)，由 可见(4)亦与 A 相似，而(3)与 A 不相似所以应选 C【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 已知(EA)(EAA 2)EA 3E，(EA)(EAA 2)E

9、A3E 故 EA，E A 均可逆故应选 C【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA2ABCB，得 2CAC 2AB B，因此有 C(2AE)(2A E)B 因为 2AE 可逆， 所以，C3(2A E)B 3(2AE) -1 那么可得 C3(2A E)B 3(2AE) -1【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 2【试题解析】 对 A 作初等变换，因此 r(A)2 时，故k2【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 因为 ABO，则有 r(A)r(B)3 ，又已知矩阵

10、B0，因此 r(B)1，那么 r(A)3，则行列式 A0而 A 2(5a4)， 所以 a 【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 1【试题解析】 根据 A2AA(AE)，已知矩阵 A ，A 是可逆矩阵，因此 r(A2A)r(AE)，而 r(AE)1，所以 r(A2A)1【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 n【试题解析】 由已知 A2A，则有 A(AE)A 2AA A O ，所以 r(A)r(AE)n 又 r(AE)r(EA)， 则 r(A)r(A E)r(A) r(E A)r(A EA)r(E)n ， 因此 r(A) r(A E)n【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 左乘矩阵

11、A，并把等式 AA*AE 代入已知矩阵方程，得AXE2AX， 移项可得(AE2A)XE，因此 X(A E2A) -1 已知A4，所以 X(4E2A) -1【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 利用分块矩阵，得 A(1， 2， 3)(A 1，A 2，A 3)，那么【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 利用已知条件 AB2A3B，通过移、添加项构造出 B2E，于是有 AB2A3B6E 6E，则有(A 3E)(B2E)6E从而 (B2E) -1 (A3E) 【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 由(EB -1A)TBTXE，得B(EB -1A)TXE，即(B

12、EBB -1A)TX E，也就是 (BA) TXE，因此 X-1(BA) T【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 3【试题解析】 矩阵 A 与 B 相似，则 A2E 与 B2E 相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，则有r(A)r(A2E)r(B)r(B 2E)213【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 n【试题解析】 根据已知 A22A8EO，可得(4E A)(2EA)O，根据矩阵秩的性质可知 r(4E A)r(2EA)n， 同时 r(4EA)r(2EA)r(4EA)(2EA) r(6E)n ， 因此 r(4EA)r(2EA)n 【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 【试题解析】 由题设

13、可知，A 可逆，已知 A-1BA 6ABA，在该等式的两端右乘A-1，则有 A-1B6EB，在该等式两端左乘 A，可得 B6AAB，则有(EA)B6A，即 B6(EA) -1A，且【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 (1)当 r(A)n 时，A0，则有 A *A n-10 从而 A*可逆，即 r(A*)n (2) 当 r(A)n1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个n1 阶子式不为零，即 A*中至少有一个元素不为零，故 r(A*)1 又因 r(A)n1 时，有A0，且由 AA*AE 知， AA*0 因此根据矩阵秩的性质得 r(A)r(A

14、*)n， 把 r(A)n1 代入上式，得 r(A*)1 综上所述，有 r(A*)1 (3)当 r(A)n2 时，A 的所有 n1 阶子式都为零，也就是 A*的任一元素均为零，即 A*0，从而 r(A*)0【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 A 与相似，相似矩阵有相同的特征值，故 5，4，y是 A 的特征值 因为 4 是 A 的特征值，所以有 A 4E9( 4)0， 解得 4 已知相似矩阵的行列式相同，于是由 所以有20y100，y5 当 5 时，解方程(A5E) 0，得两个线性无关的特征向量 ，将它们正交化、 单位化得： 当 4 时，解方程(A 4E) 0，得特征向量 ，单位化得： 使 P-

15、1AP【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 由得矩阵 A 的特征值 1 23， 30 当 3 时，有(3E A)0，且得特征向量 1(1，2，0)T， 2(0，0，1) T 当 0 时，有(0EA) 0，且得特征向量 3(1，1，1) T 那么，令 P( 1， 2， 3) 则有 p -1AP【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 (1)由 AA*A *AAE 及 A*AA -1 有(2)由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故QA(b TA-1) 由此可知，Q 可逆的充分必要条件是 b TA-10，即 TA-1b【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 r(A)

16、r( T T)r(aaT)r( T)r()r()2【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 首先观察 下面用数学归纳法证明此结论成立： 当 n2 时，结论显然成立；假设 nk 时成立，则nk1 时，【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 由题意可知 A-1 存在，A *AA -1 两端取行列式可得A *A 4A -1A 3， 因为 A*diag(1，1，1，8)，所以A *8，即A2由 ABA-1BA -13E 移项并提取公因式得，(AE)BA-13E，右乘 A 得(A E)B3A，左乘 A-1 得(E A -1)B3E 由已求结果A2，知得(EA -1)diag(2，2，2， )， 因此 B3(E A -1)-13diag(2，2，2， )diag(6，6，6，1)【知识模块】 矩阵