1、考研数学一（矩阵）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，b 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B =3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )2 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列和第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )3 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则( )（A）C=P -1AP。（B） C=PAP-1。（C） C=PTAP。（D）
2、C=PAP T。二、填空题4 设 A= ，则 An=_。5 已知 A= ，则 An=_。6 设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A= ，则(B-2E) -1=_。7 已知 A= ，则 A-1=_。8 设 A= ，(A -1)*是 A-1 的伴随矩阵，则(A -1)*=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 A、B 均为 n 阶方阵，满足 A2=A，B 2=B，(A-B) 2=A+B，证明：AB=BA=0。10 已知 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，证明 A-B2 是对称矩阵。11 某企业对其职工进行分批脱产技术培训
3、，每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训，而参加培训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800 人，参加培训人员是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?12 设 计算 A2011。13 假设 A，B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=A+B，试证明 A，B 可交换。14 设 A= ，求 A-1。15 设 A 是 n 阶反对称矩阵。 ()证明：A 可逆的必要条件是儿为偶数；当 n 为奇数时，A *是对称矩阵； ()试举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子。16 设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：(A *)*=A n-2A。17 已知 A= ，且有 A
4、XB=AX+A2B-A2+B，求 X。18 设 A= ，矩阵 X 满足 AXA-ABA=XA-AB，求 X3。19 求 A= 的秩。20 设 A= ，判断 A 是否可逆，若 A 可逆，求 A-1。21 设 A= ，且 A2-AB=E，求 B。22 设 a 是 n 维单位列向量，A=E- T，证明：R23 设 A 是 n 阶矩阵(n2)，证明：R(A *)=24 设 C= ，其中 A，B 为 n 阶矩阵，A，B 的伴随矩阵为 A*，B *，求 C 的伴随矩阵。25 设 A，B 分别为 m 和 n 阶可逆矩阵，C 为 mn 矩阵，求26 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，其中 A 可逆，构造
5、两个 2n 阶矩阵：()求 HG；()证明H=A B-DA -1C。考研数学一（矩阵）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 根据公式 AA*=AE，有因此(A)不正确。由于而 =A B，满足公式 AA*=AE，所以选(B)。经验证，(C)和(D) 均不正确。【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 根据初等矩阵的性质， ，所以因此本题选(D)。【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 B【试题解析】 由题意得由于 P-1=，所以(*)式可以表示为 C=PAP-1。因此本题选(B)。【知识模块】 矩阵二、填空题
6、4 【正确答案】 【试题解析】 把 A 写成两个矩阵和的形式，即 A= =B+5E，其中 B2= 于是由二项式定理得 An=(B+5E)n=(5E)n+n(5E)n-1B+ (5E)n-2B2=5nE+n5n-1B+ 5n-2B2【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 (-8) n-1A 【试题解析】 因为 A= (1，2，-3)，故 A2= (1，2，-3) (1，2，-3)= (1，2，-3)，即 A2=-8A，由递推归纳法得 An=(-8)n-1A。【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 【试题解析】 对 AB=2A+3B 添加项构造出 B-2E，即 AB-2A-3B+6E=6E，分解因式，有(
7、A-3E)(B-2E)=6E。从而(B-2E) -1= (A-3E)=【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，所以那么 A-1=【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 【试题解析】 因为 A-1.(A-1)*=A-1.A.A -1= A -1E，所以有(A -1)*=A -1A=A。已知A=6，故(A -1)*=【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 因为(A-B) 2=A2-AB-BA+B2=A+B-(AB+BA)，所以 AB+BA=0， (*) 用 A 左乘(*)式得 A2B+ABA=0，即有 AB=-ABA，用 A 右乘(*)式
8、得 ABA+BA2=0，则有 BA=-ABA。 故有 AB=BA=0。【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 因为 A-B2=A-BB=A+BTB，则有 (A-B 2)T=(A+BTB)T=AT+(BTB)T=A+BTB=A-B2， 所以 A-B2 是对称矩阵。【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 用 xi，y i 分别表示 i 年后在岗与脱产职工的人数，x 0，y 0 为目前在岗与脱产的人数，则 用矩阵表示，有。因此所以，两年后在岗职工 668 人，培训人员 332 人。【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 先求 A 的低阶幂。由 A2= ，A 3= =2A可得 A2.A=2A，依次类推， A
9、2n+1=2nA，从而有 A2011=21005A=【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 等式 AB=A+B 等价于 AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E。由此可知，A-E 与 B-E 互为逆矩阵，由逆矩阵的定义可知(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)=E，将以上等式展开可得 AB-A-B+E=BA-A-B+E，故 AB=BA，即 A，B 可交换。【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 因 AT=A，故(A -1)T=(AT)-1=A-1，即 A-1 也是对称矩阵，而 A11=3，A 12= =-1，A 13= =-1，A 22= =3，A 23= =-1，A 33= =4。
10、故有 A-1=【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 () 根据反对称矩阵的定义：A T=-A，则 A=A T=-A=(-1) nA，即1-(-1) nA=0。 若 n=2k+1，必有A =0，此时 A 不可逆。所以 A 可逆的必要条件是 n 为偶数。 因为 AT=-A，则由(A *)T=(AT)*有(A *)t=(At)*=(-A)*。 又因 (lA)*=ln-1A*，故当 n=2k+1 时，有(A *)T=(-1)2KA*=A*，即 A*是对称矩阵。()例如，A= 是 4 阶反对称矩阵，且不可逆。【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 根据公式 AA*=AE ，得 A *(A*)*=A *E，
11、由于A *= AA -1=A n-1，由 A 可逆知 A*可逆，又 A*=A-1A ，有(A *)-1= ，于是得到 (A *)*=A *(A *)-1=A n-1. =A n-2A。【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 由 A 可逆，方程两边左乘 A-1，得 XB=X+AB-A+A-1BX(B-E)=A(B-E)+A-1B。由于 B-E 也可逆，且有 A-1= ，(B-E) -1=所以有 X=A+A-1B(B-E)-1【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 由已知条件有(A-E)XA=AB(A-E)，而显然 A，A-E 可逆，所以X=(A-E)-1AB(A-E)A-1，而 A-E= ，A -1
12、= ，(A-E) -1=则 X= (1，1，1)，所以【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 将矩阵 A 用初等变换化为行阶梯形矩阵。(1)当 a=b=0 时，R(B)=0 R(A)=0；(2) 当 a 与 b 至少有一个不为零时a+3b0 且 a-b0 时，R(B)=4 R(A)=4； a+3b=0，但 a-b0 时，R(B)=3 R(A)=3；a+3b0 ，但 a-b=0 时，R(B)=1 R(A)=1。【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 矩阵 A 的行列式A= =-30，故 A 可逆。于是 A-1=【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 由 A2-AB=E，得 AB=A2-E，因为 A 可
13、逆，所以 B=A-1(A2-E)=A-A-1，而所以 A-1= ，于是 B=A-A-1=【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 因为 A2=(E-T)(E-T)=E-2T+TT=E-T=A，所以 A(E-A)=0，于是 R(A)+R(E-A)n。 又因为 R(A)+R(E-A)R(E)=n，所以 R(A)+R(E-A)=n。由 A=E-T 得 E-A=T，于是 R(E-A)=R(T)=R()=1，故 R(A)=n-1。【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 当 R(A)=n 时，A0 ，因为A *=A n-10，所以 R(A*)=n。 当 R(A)=n-1 时，A=0，于是 A*A=A E=0，所
14、以 R(A*)+R(A)n。再由R(A)=n-1，故 R(A*)1。又因为 R(A)=n-1，由矩阵秩的定义，A 的最高阶非零子式为 n-1 阶，即存在 Mij0，所以 Aij=(-1)i+jMij0，从而 A*0，于是 R(A*)1，故R(A*)=1。 当 R(A)n-1 时，因为 A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，即所有的Mij=0，所以 A*=0，于是 R(A*)=0。【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 因为 CC*= CE= ABE，其中 E 为 2n 阶单位矩阵，而=A BE ，其中 E1 是 n 阶单位矩阵。故 C*=【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 令得AX11+CX21=Em，AX 12+CX22=0，BX 21=0，BX 2=En，于是 X11=A-1，X 22=0，X 22=B-1，X 12=-A-1CB-1，故AY11=Em，AY 12=0，CY 11+BY21=0，CY 12+BY22=En，于是有 Y11=A-1，Y 12=0，Y 21=-B-1CA-1，Y 22=B-1，故【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 () 由分块矩阵的乘法运算法则可得()H G =A B-DA-1C。又因为 G=E 2=1，所以 H= AB-DA -1C。【知识模块】 矩阵
