1、考研数学一（矩阵）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP= 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 QTAQ 为2 设矩阵 是满秩的，则直线（A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合（D）异面3 设 A=E-T，其中 E 为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明 A2=A 的充要条件是 T=1；4 设 A=E-T，其中 E 为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明 T=1 时， A 是不可逆矩阵5 曲面
2、 x2 +cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，-1)处的切平面方程为（A）x-y+z=-2（B） x+y+z=0（C） x-2y+z=-3（D）x-y-z=06 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价7 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(k A)*=（A）kA *（B） kn-1A*（C） knA*（
3、D）k -1A*8 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -19 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=D，则（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 可逆 （D）E-A 可逆， E+A 不可逆10 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵曰，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B* （B）交换
4、A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *.（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *11 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则（A）秩 r(A)=m，秩 r(B)=m（B）秩 r(A)=m，秩 r(B)=n（C）秩 r(A)=n，秩 r(B)=m（D）秩 r(A)=n，秩 r(B)=n11 设 ， 为 3 维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别是 ， 的转置12 秩 r(A)2；13 若 ， 线性相关，则秩 r(A)2二、填空题14 设 j 阶方阵 A、B 满足关系式 A-1BA=6A
5、+BA，且 则B=_.15 设矩阵 ，则 A3 的秩为_.16 设矩阵 A 满足 A2+A-4E=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_. 17 设 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E-T 的秩为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B18 证明 B 可逆；19 求 AB-120 设(2E-C -1B)AT=C-1，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，且求矩阵 A21 已知矩阵 且矩阵 X 满足 AXA+BXB=AXB+BXA
6、+E，其中 E 是 3 阶单位矩阵，求 X考研数学一（矩阵）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 A【试题解析】 可知后者的秩仍为 3所以这两直线的方向向量 V1=(a1-a2，b 1-b2，c 1-c2)与 v2=(a2-a3，b 2-b3c 2-c3)线性无关，因此可排除(B)、(C) 在这两条直线上各取一点(a 3，b 3，c 3)与(a 1，b 1，c 1)，又可构造向量 v1=(a3-a1，b 3-b1，c 3-c1)， 如果 v，v 1，v 2 共面，则两条直线相交，若 v，v
7、1，v 2 不共面，则两直线异面为此可用混合积观察出 v+v1+v1=0.【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T) =E-2T+TT =E-T+(T)T-T =A+(T)T-T， 那么 A2=A (T-1)T=0 因为 是非零列向量， T0，敝 A2=A T-1=0 即孝 T=1【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 反证法 当 T=1 时，A 2=A，若 A 可逆，则 A=A-1A2=A-1A=E 与已知 A=E-TE 矛盾【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 对任何 n 阶矩阵都要
8、成立的关系式，对特殊的 n 阶矩阵自然也要成立那么，当 A 可逆时， 由 A* =丨 A 丨 A-1 有 (kA) * =丨 k A 丨(k A) -1 =kn 丨 A 丨.1/kA-1 =kn-1A* 故应选(B)【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A，B，A+B 均可逆，则有 (A -1+B-1)-1 =(EA-1+B-1E)-1 =(B-1BA-1+B-1AA-1)-1 =B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1 =A(A+B)-1B 故应选(C) 注意，一般情况下(A+B) -1A-1+B-1，不要与转置的性质相混淆【知识模块】 矩
9、阵9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 (E-A)(E+A+A 2) =E-A3=E， (E+A)(E-A+A 2) =E+A3=E， 所以，由定义知 E-A，E+A 均可逆故选 (C)【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 因为 ， 为 3 维列向量，那么 T， T 都是 3 阶矩阵，且秩r(T)1， r( T)1故 r(A)=r(T+T)r(T)+r(T)2【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 若 ， 线性相关，则不全为 0 的 k1，k 2 使 k1+k2=0不妨设k20，则有 =k，那么
10、r(A)=r T+(k)(k)T=r(1+k2)T=r(T)1【知识模块】 矩阵二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 矩阵方程右乘 A-1，化简为 A-1B=6E+B，得(A -1-E)B=6E【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 1【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 1/2(A+2E)【试题解析】 矩阵 A 的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞应当考虑用定义法 因为 (A-E)(A+2E)-2E=A 2+A-4E=0， 故 (A-E)(A+2E)=2E，即 (A-E)（A+2E）/2=E 按定义知 (A-E)-1=1/2(A+2E)【知识模块】 矩阵17 【正确
11、答案】 2【试题解析】 T=a12+a22+a32=1 丨 AE-A 丨= 3-(a12+a22+a32)2=3-2 r(E-T)=2.【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 由于 B=EijA，其中 Eij 是初等矩阵因为 A 可逆，丨 A 丨0，故丨 B 丨=丨 EijA 丨=丨 Eij 丨丨 A 丨=-丨 A 丨0所以 B 可逆【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 由 B=EijA，知 AB-1=A(EijA)-1=AA-1Eij=Eij=Eij【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 用矩阵 C 左乘已知矩阵方程的两端，有(2C-B)A T=E对上式两端取转置，有 A(2CT-BT)=E因为 A 是 4 阶方阵，故 A=(2CT-BT)-1=【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 化简矩阵方程，有 AX(A-B)+BX(B-A)=E，即 (A-B)x(A-B)=E由于 ，所以矩阵 A-B 可逆，且 (A-B)-1= 于是X=(A-B)-12=【知识模块】 矩阵
