1、考研数学一（矩阵）模拟试卷 6 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，b 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列和第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2
2、 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记P= （分数：2.00）A.C=P -1 AP。B.C=PAP -1 。C.C=P T AP。D.C=PAP T 。二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_6.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_8.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)10.解
3、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设 A、B 均为 n 阶方阵，满足 A 2 =A，B 2 =B，(A-B) 2 =A+B，证明：AB=BA=0。（分数：2.00）_12.已知 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，证明 A-B 2 是对称矩阵。（分数：2.00）_13.某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训，而参加培训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800 人，参加培训人员是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?（分数：2.00）_14.设 （分数：2.00
4、）_15.假设 A，B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=A+B，试证明 A，B 可交换。（分数：2.00）_16.设 A= （分数：2.00）_17.设 A 是 n 阶反对称矩阵。 ()证明：A 可逆的必要条件是儿为偶数；当 n 为奇数时，A * 是对称矩阵；()试举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子。（分数：2.00）_18.设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：(A * ) * =A n-2 A。（分数：2.00）_19.已知 A= （分数：2.00）_20.设 A= （分数：2.00）_21.求 A= （分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00
5、）_24.设 a 是 n 维单位列向量，A=E- T ，证明：R（分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶矩阵(n2)，证明：R(A * )= （分数：2.00）_26.设 C= （分数：2.00）_27.设 A，B 分别为 m 和 n 阶可逆矩阵，C 为 mn 矩阵，求 （分数：2.00）_28.设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，其中 A 可逆，构造两个 2n 阶矩阵： （分数：2.00）_考研数学一（矩阵）模拟试卷 6 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.0
6、0）_解析：2.设 A，b 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据公式 AA * =AE，有 因此(A)不正确。 由于 而 3.设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列和第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据初等矩阵的性质， ，所以4.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得
7、C，记P= （分数：2.00）A.C=P -1 AP。B.C=PAP -1 。 C.C=P T AP。D.C=PAP T 。解析：解析：由题意得 由于 P -1 = 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：把 A 写成两个矩阵和的形式，即 A= =B+5E， 其中 B 2 = 于是由二项式定理得 A n =(B+5E) n =(5E) n +n(5E) n-1 B+ (5E) n-2 B 2 =5 n E+n5 n-1 B+ 5 n-2 B 2 6.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
8、正确答案：(-8) n-1 A）解析：解析：因为 A= (1，2，-3)，故 A 2 = (1，2，-3) (1，2，-3)= 7.设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对 AB=2A+3B 添加项构造出 B-2E，即 AB-2A-3B+6E=6E，分解因式，有(A-3E)(B-2E)=6E。从而 (B-2E) -1 = (A-3E)= 8.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 ，所以 那么 A -1 = 9.设 A= （分数
9、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 A -1 .(A -1 ) * =A -1 .A.A -1 =A -1 E，所以有(A -1 ) * =A -1 A= A。 已知A=6，故(A -1 ) * = 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.设 A、B 均为 n 阶方阵，满足 A 2 =A，B 2 =B，(A-B) 2 =A+B，证明：AB=BA=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(A-B) 2 =A 2 -AB-BA+B 2 =A+B-(AB+BA)，所以
10、 AB+BA=0， (*) 用 A 左乘(*)式得 A 2 B+ABA=0，即有 AB=-ABA，用 A 右乘(*)式得 ABA+BA 2 =0，则有 BA=-ABA。 故有 AB=BA=0。)解析：12.已知 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，证明 A-B 2 是对称矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A-B 2 =A-BB=A+B T B，则有 (A-B 2 ) T =(A+B T B) T =A T +(B T B) T =A+B T B=A-B 2 ， 所以 A-B 2 是对称矩阵。)解析：13.某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调
11、 30的人参加培训，而参加培训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800 人，参加培训人员是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 x i ，y i 分别表示 i 年后在岗与脱产职工的人数，x 0 ，y 0 为目前在岗与脱产的人数，则 用矩阵表示，有 。因此 )解析：14.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 A 的低阶幂。由 A 2 = ，A 3 = =2A 可得 A 2 .A=2A，依次类推，A 2n+1 =2 n A，从而有 A 2011 =2 1005 A= )解析：15.假设 A
12、，B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=A+B，试证明 A，B 可交换。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 AB=A+B 等价于 AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E。 由此可知，A-E 与 B-E 互为逆矩阵，由逆矩阵的定义可知 (A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)=E， 将以上等式展开可得 AB-A-B+E=BA-A-B+E，故 AB=BA，即 A，B 可交换。)解析：16.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A T =A，故(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ，即 A -1 也是对称矩阵，而 A 11 = =3，A 12
13、 = =-1，A 13 = =-1， A 22 = =3，A 23 = =-1，A 33 = =4。 故有 A -1 = )解析：17.设 A 是 n 阶反对称矩阵。 ()证明：A 可逆的必要条件是儿为偶数；当 n 为奇数时，A * 是对称矩阵；()试举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据反对称矩阵的定义：A T =-A，则 A=A T =-A=(-1) n A， 即1-(-1) n A=0。 若 n=2k+1，必有A=0，此时 A 不可逆。所以 A 可逆的必要条件是 n为偶数。 因为 A T =-A，则由(A * ) T =(A T ) *
14、 有 (A * ) t =(A t ) * =(-A) * 。 又因(lA) * =l n-1 A * ，故当 n=2k+1 时，有 (A * ) T =(-1) 2K A * =A * ， 即 A * 是对称矩阵。 ()例如，A= )解析：18.设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：(A * ) * =A n-2 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据公式 AA * =AE，得 A * (A * ) * =A * E， 由于A * =AA -1 =A n-1 ，由 A 可逆知 A * 可逆，又 A * =A -1 A，有(A * ) -1 = ，于是得到 (A * ) * =A *
15、(A * ) -1 =A n-1 . )解析：19.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 可逆，方程两边左乘 A -1 ，得 XB=X+AB-A+A -1 B X(B-E)=A(B-E)+A -1 B。 由于 B-E 也可逆，且有 A -1 = ，(B-E) -1 = 所以有 X=A+A -1 B(B-E) -1 )解析：20.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件有(A-E)XA=AB(A-E)，而显然 A，A-E 可逆，所以 X=(A-E) -1 AB(A-E)A -1 ，而 A-E= ，A -1 = ，(A-E) -1 = 则 X= (1，
16、1，1)，所以 )解析：21.求 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将矩阵 A 用初等变换化为行阶梯形矩阵。 (1)当 a=b=0 时，R(B)=0 R(A)=0； (2)当 a 与 b 至少有一个不为零时 a+3b0 且 a-b0 时，R(B)=4 R(A)=4； a+3b=0，但a-b0 时，R(B)=3 R(A)=3； a+3b0，但 a-b=0 时，R(B)=1 )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的行列式A= =-30，故 A 可逆。 于是 A -1 = )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2
17、 -AB=E，得 AB=A 2 -E，因为 A 可逆，所以 B=A -1 (A 2 -E)=A-A -1 ，而 所以 A -1 = ，于是 B=A-A -1 = )解析：24.设 a 是 n 维单位列向量，A=E- T ，证明：R（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T + T T =E- T =A，所以 A(E-A)=0，于是 R(A)+R(E-A)n。 又因为 R(A)+R(E-A)R(E)=n，所以 R(A)+R(E-A)=n。由 A=E- T 得 E-A= T ，于是 R(E-A)=R( T )=R()=1，故 R(A)=n-1
18、。)解析：25.设 A 是 n 阶矩阵(n2)，证明：R(A * )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 R(A)=n 时，A0，因为A * =A n-1 0，所以 R(A * )=n。 当R(A)=n-1 时，A=0，于是 A * A=AE=0，所以 R(A * )+R(A)n。再由 R(A)=n-1，故 R(A * )1。又因为 R(A)=n-1，由矩阵秩的定义，A 的最高阶非零子式为 n-1 阶，即存在 M ij 0，所以 A ij =(-1) i+j M ij 0，从而 A * 0，于是 R(A * )1，故 R(A * )=1。 当 R(A)n-1 时，因为 A 的所有
19、n 一 1 阶子式都为零，即所有的 M ij =0，所以 A * =0，于是 R(A * )=0。)解析：26.设 C= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 CC * = CE=ABE，其中 E 为 2n 阶单位矩阵，而 =ABE， 其中 E 1 是 n 阶单位矩阵。 故 C * = )解析：27.设 A，B 分别为 m 和 n 阶可逆矩阵，C 为 mn 矩阵，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 得 AX 11 +CX 21 =E m ，AX 12 +CX 22 =0，BX 21 =0，BX 2 =E n ，于是X 11 =A -1 ，X 22 =0，X 22 =B -1 ，X 12 =-A -1 CB -1 ，故 AY 11 =E m ，AY 12 =0，CY 11 +BY 21 =0，CY 12 +BY 22 =E n ， 于是有 Y 11 =A -1 ，Y 12 =0，Y 21 =-B -1 CA -1 ，Y 22 =B -1 ，故 )解析：28.设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，其中 A 可逆，构造两个 2n 阶矩阵： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由分块矩阵的乘法运算法则可得 ()HG= )解析：
