1、考研数学一（矩阵）-试卷 2 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若A2，B3，则分块矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 ABE，则( )（分数：2.00）A.r(A)m，r(B)mB.r(A)m，r(B)nC.r(A)n，r(B)mD.r(A)n，r(B)n4.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 A0，若 A 的秩
2、为 3，则 A 相似于( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.设矩阵 A （分数：2.00）A.6B.6C.D.6.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算正确的是( )（分数：2.00）A.(AB)(AB)A 2 B 2B.(AB) -1 A -1 B -1C.(AB) 2 A 2 2ABB 2D.(AB) * B * A *7.设 AE2 T ，其中 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，且有 T 1则 (1)A 是对称阵； (2)A 2 是单位阵； (3)A 是正交阵； (4)A 是可逆阵 上述结论中，正确的个数是( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.设 A （分数：2
3、.00）A.B.C.D.9.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 BB.AP 2 P 1 BC.P 1 P 2 ABD.P 2 P 1 AB二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设 A （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)2，而 B （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A （分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * （分数：2.00）填空项 1:_15.设矩阵 X 满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A （分数：2.00）填空项 1:_
4、17.已知 （分数：2.00）填空项 1:_18.设矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 （分数：2.00）填空项 1:_21.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设方阵 A 满足 A 2 A2EO，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A -1 及(A2E) -1 （分数：2.00）_24.设 n 阶矩阵 A 的伴随阵为 A * ，证明： (1)若A0，则A * 0； (2)A * A n-1 （分数：2.00
5、）_25.设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求 （分数：2.00）_26.设 A （分数：2.00）_27.证明 r(A)1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 b T ，使 Aab T （分数：2.00）_28.设向量组 （分数：2.00）_29.在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 n 和)，y n ( n y n 1) (1)求关系式 中的矩阵 A； (2)设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_考研数学一
6、（矩阵）-试卷 2 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若A2，B3，则分块矩阵 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若矩阵 A 的行列式A0，则 A 可逆，且 A -1 A * 因为分块矩阵 的行列式 (1) 22 AB236，即分块矩阵可逆，那么根据公式有 3.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 ABE，则( )（分数：2.00）A.r(A)m，
7、r(B)m B.r(A)m，r(B)nC.r(A)n，r(B)mD.r(A)n，r(B)n解析：解析：本题主要考查矩阵的秩的性质 因为 ABE，所以 r(AB)m又 r(AB)mminr(A)，r(B)，即 r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m，所以 r(A)：m，r(B)m故选 A4.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 A0，若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题考查的是矩阵相似的性质，实对称矩阵可对角化的性质，矩阵的特征值，矩阵的秩等 设 A 的特征值为 ，因为 A 2 A0，所以 2 0，即 (1)0，则 0 或
8、1 又因为 r(A)3，而由题意 A 必可相似对角化，且对角矩阵的秩也是 3，所以 1 是三重特征根，则 5.设矩阵 A （分数：2.00）A.6B.6C. D.解析：解析：化简矩阵方程，构造 BE，用分组因式分解法，则有 A(BE)(BE)E，即(AE)(BE)E， 两边取行列式，由行列式乘法公式得 AE.BE1， 又AE 12，故BE6.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算正确的是( )（分数：2.00）A.(AB)(AB)A 2 B 2B.(AB) -1 A -1 B -1C.(AB) 2 A 2 2ABB 2D.(AB) * B * A * 解析：解析：矩阵的乘法没有交换律，因
9、此 A，B 可逆不能保证 ABBA，例如 A ，B ，有 AB ，而 BA ，所以 A、C 均不正确A，B 可逆时，AB 不一定可逆，即使 AB 可逆，其逆一般也不等于 A -1 B -1 仍以 为例，有(AB) -1 ，而 A -1 B -1 7.设 AE2 T ，其中 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，且有 T 1则 (1)A 是对称阵； (2)A 2 是单位阵； (3)A 是正交阵； (4)A 是可逆阵 上述结论中，正确的个数是( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：A T (E2 T ) T E T (2 T ) T E2 T A，(1)成立 A 2 (E2 T
10、)(E2 T )E4 T 4 T T E4 T 4( T ) T E，(2)成立 由(1)、(2)，得 A 2 AA T E，故 A 是正交阵，(3)成立 由(3)知正交阵是可逆阵，且 A -1 A T ，(4)成立 故应选 D8.设 A （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：P、Q 均为初等矩阵，因为 P -1 P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的 1、3 两行，那么 P 2010 A 表示把 A 的 1、3 两行互换 2010 次，从而(P -1 ) 2010 AP 2010 AA 又(Q 2011 ) -1 (Q -1 ) 2011 ，且 Q -1 9.设 （分数：2.
11、00）A.AP 1 P 2 BB.AP 2 P 1 BC.P 1 P 2 AB D.P 2 P 1 AB解析：解析：由于对矩阵 A mn 施行一次初等变换相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A mn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第 1 行加到第 3 行上，再把所得的矩阵的第 1、2 两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P 2 与 P 1 ，因此选项 C 正确二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正
12、确答案：正确答案：0）解析：解析：对 A 作初等行变换，则有11.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)2，而 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为B12.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因为矩阵 B 为 3 阶非零矩阵，并且满足 ABO，因此可见线性方程 A0 有非零解，因此13.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题可以采用单位矩阵恒等变形的技巧则 BE(EA)(E2A) -1 (E2A)(E2A) -1 (EA)(E2A)(E2A) -1 3A
13、(E2A) -1 ， 因此可得(BE) -1 3A(E2A) -1 -1 (E2A)A -1 (A -1 2E) 根据已知可得 A -1 所以(BE) -1 14.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AA * AE，因此 AA(A * ) -1 ，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得A * 8A 3 ，因此A2，又 所以 AA(A * ) -1 15.设矩阵 X 满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解
14、析：解析：将 B 按列分块，设 B( 1 ， 2 ， 3 )，则 ABA( 1 ， 2 ， 3 )(A 1 ，A 2 ，A 3 )O， 因此可得 A 1 0，A 2 0，A 3 0，因此 1 ， 2 ， 3 都是齐次线性方程组 A0 的解向量 对于齐次线性方程组 AB0，求出其通解 对 A 作初等行变换 则A0 有通解 k2，1，1 T ，令 1 ， 2 ， 3 ，都是齐次线性方程组 A0 的通解，再合并成矩阵 B，即得 B 17.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据已知 AX2BBA2X，得 AX2XBA2B，即(A2E)XB(A2E)，由于 A
15、2E 是可逆的，因此 X(A2E) -1 B(A2E)，那么 X 2 (A2E) -1 B 2 (A2E) 18.设矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：依矩阵乘法直接计算得 19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由 AB2AA(B2E)，且 B2E 是可逆矩阵，因此 r(AB2A)r(A(B2E)r(A)。因为经过初等变换，矩阵的秩不变，则20.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A * 也是可逆的，因此，r(AXA * )r(X
16、)2r(B)， 因此可得B0，则 21.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 BA T 0 可知，r(B)r(A T )3，即 r(A)r(B)3又因为 B0，因此 r(B)1， 从而有 r(A)3，即A0，因此 A 3(2a3)0， 于是可得 a 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设方阵 A 满足 A 2 A2EO，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A -1 及(A2E) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 A2E0，得 A(
17、AE)2E两端同时取行列式A(AE)2，即AAE2，故A0，所以 A 可逆 而由 A 2 A2E0 可得 A2EA 2 两端同时取行列式 A2EA 2 A 2 0， 所以 A2E 也可逆 由 A(AB)2E，得 A -1 (AE) 又 A 2 A2E0，通过添加项并整理可得(A2E)(A3E)4E，则有 (A2E) -1 (A2E)(A3E)4(A2E) -1 ， 因此(A2E) -1 )解析：24.设 n 阶矩阵 A 的伴随阵为 A * ，证明： (1)若A0，则A * 0； (2)A * A n-1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(反证法)假设A * 0，由矩阵可逆的充分
18、必要条件可知 A * 是可逆矩阵，则有 A * (A * ) -1 E，又因为 A * A -1 A，这里A0，由此得 AAEAA * (A * ) -1 AE(A * ) -1 0， 所以 A * 0这与A * 0 矛盾，故当A0 时，有A * 0 (2)由于 AA * AE，两端同时取行列式得 AA * A n 当A0 时，A * A n-1 ；当A0 时，A * 0 综上，有A * A n-1 成立)解析：25.设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 的逆矩阵 X 分块为 ，其中，X 1 为 ns 矩阵，X 2 为 nn 矩
19、阵，X 3 为 ss 矩阵，X 4 为 sn 矩阵，由矩阵互逆的定义可得 (2)将 的逆矩阵 X 分块为 其中，X 1 为 nn 矩阵，X 2 为 ns 矩阵，X 3 为 sn 矩阵，X 4 为 ss 矩阵，由矩阵互逆的定义可得 )解析：26.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 作初等变换， )解析：27.证明 r(A)1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 b T ，使 Aab T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性：设 a(a 1 ，a 2 ，a m ) T ，b(b 1 ，b 2 ，b m ) T ，设a 1 b 1 0，根据矩阵秩的性质
20、 r(AB)minr(A)，r(B)，因为 Aab T ，所以 r(A)r(a)1 另一方面，根据假设 a 1 b 1 0 可知，A 的第一行第一列的元素 a 1 b 1 0，所以 r(A)1 综上所述 r(A)1 必要性：设 A(a ij ) mn ，因 r(A)1，设 a 11 0，由矩阵的等价可知，存在 m 阶可逆阵 P和 n 阶可逆阵 Q，使 其中 a )解析：28.设向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A(a 3 ，a 4 ，a 1 ，a 2 )，并对矩阵 A 作初等变换 )解析：29.在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村假
21、设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 n 和)，y n ( n y n 1) (1)求关系式 中的矩阵 A； (2)设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题意，人口迁移的规律不变 n+1 n qy n p n (1p) n qy n ， y n+1 y n q n py n p n (1q)y n ， 用矩阵表示为 得 A 的特征值为 1 1， 2 r，其中 r1Pq 当 1 1 时，解方程(AE)0，得特征向量 P 1 ； 当 2 r 时，解方程(ArE)0，得特征向量 p 2 令 P(p 1 ，p 2 ) ，则 )解析：
