1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 XN( ， 2)的简单随机样本，记则服从 t(n 一 1)分布的随机变量是( )2 设 Xt(n) ，则下列结论正确的是( ) （A）X 2F(1，n)（B） F(1，n)（C） X2 2(n)（D）X 2 2(n 一 1)3 从正态总体 XN(0， 2)中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，则可作为参数2 的无偏估计量的是( )4 在假设检验中，显著性水平 的含义是( )（A）原假设 H0 成立，经过检验 H0 被拒绝的概率（B）原
2、假设 H0 成立，经过检验 H0 被接受的概率（C）原假设 H0 不成立，经过检验 H0 被拒绝的概率（D）原假设 H0 不成立，经过检验 H0 被接受的概率二、填空题5 设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1，X 9)与(Y 1，Y 9)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本，则 U= _6 设总体 XN(0，8) ，Y N(0 ，2 2)，且 X1 及(Y 1，Y 2)分别为来自上述两个总体的样本，则 _。7 设总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，S 2=，则 D(S2)=_8 设 XN(1 ， 2)，YN(2， 2)为两个相互独立的总
3、体，X 1，X 2，X n 与Y1，Y 2，Y n 分别为来自两个总体的简单样本，S 12=服从_分布9 设 XN(， 2)，其中 2 已知， 为未知参数从总体 X 中抽取容量为 16 的简单随机样本，且 的置信度为 095 的置信区间中的最小长度为 0588，则 2=_10 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体的简单样本，其中参数 ，未知，令 ，则假设 H0：=0 的 t 检验使用统计量_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(Xk)=ak(k=1，2，3，4) 证明：当 n 充分大时，
4、随机变量 Z= 近似服从正态分布，并指出其分布参数12 电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于 095?13 设 X1，X 9 为来自正态总体 XN(， 2)的简单随机样本，令证明：Zt(2) 14 设总体 XN(0，1) ，(X 1，X 2，X m，X m+1， ，X m+n)为来自总体 X 的简单随机样本求统计量 所服从的分布15 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，服从的分布16 设 X1，X 2，
5、X n(n2)是来自总体 XN(0 ，1)的简单随机样本，记(i=1，2，n)求：(1)D(Y i)；(2)Cov(Y 1，Y n)17 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，令 T=，求 E(X1T)18 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本令 Y= Xi 一 ，求 Y 的数学期望与方差19 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)(0)从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2，X n(n2) 令 的数学期望20 设总体 XN(， 12)， YN( ， 22)，且 X，Y 相互独立，来自总体 XY
6、的样本均值为的数学期望21 没总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记服从的分布22 设总体 X 的概率分布为 (0 )是未知参数用样本值 3，1，3，0，3，1，2，3 求 的矩估计值和最大似然估计值23 设总体 XF(x，)= ，样本值为1，1，3，2，1，2，3，3，求 的矩估计和最大似然估计24 设总体 XU0， ，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量25 设总体 X 的密度函数为 f(x)= 为未知参数，a0 为已知参数，求 的极大似然估计量26 设总体 XU( 1， 2)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，
7、求 1， 2 的矩估计和最大似然估计27 设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1，X 2，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： 都是参数 的无偏估计量，试比较其有效性28 设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，(X 1，X 2，X m)与(Y1，Y 2，Y n)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明： S2=为参数 2 的无偏估计量29 设 100 件产品中有 10 件不合格，现从中任取 5 件进行检验，如果其中没有不合格产品，则这批产品被接受，否则被拒绝求：(1)在任取 5 件产品中不合格产品件数 X 的数学期望和方差；(2)这批产品被拒绝的概率30 某种元件使
8、用寿命 XN(，10 2)按照客户要求该元件使用寿命不能低于 1 000h，现从该批产品中随机抽取 25 件，其平均使用寿命为 =995，在显著性水平=005 下确定该批产品是否合格?31 某种食品防腐剂含量 X 服从 N(， 2)分布，从总体中任取 20 件产品，测得其防腐剂平均含量为 =102，标准差为 s=0509 9，问可否认为该厂生产的产品防腐剂含量显著大于 10(其中显著性水平为 =005)?32 某生产线生产白糖，设白糖重量 XN(，15 2)，现从生产线上任取 10 袋，s=3023，在显著性水平 =005 下，问机器生产是否正常 ?考研数学一（概率统计）模拟试卷 18 答案与
9、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 t(n一 1)，选 (D)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由 Xt(n)，得 X= ，其中 UN(0 ，1)，V 2(n)，且 U，V相互独立，于是 X2= F(1，n)，选(A)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 为 2 的无偏估计量，选(A)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【试题解析】 选(A) 【知识模块】 概率统计二、填空题5 【正确答案】 t(9)【试题解析】 由 X1，X 2，X 9N(0，81)，得(X1， X2，X 9)
10、N(0，1)因为 Y1，Y 9 相互独立且服从 N(0，9)分布，所以(Y 13) 2+(Y23) 2+(Y93) 2 2(9)，【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 F(1，2)【试题解析】 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 F(m1，n1)【试题解析】 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 036【试题解析】 在 2 已知的情况下， 的置信区间为196=0588 2=036【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为 X
11、1，X 2，X n 独立同分布，所以 X12，X 22，X n2 也独立同分布且 E(X i2)=2，D(X i2)=4 一 22，当 n 充分大时，由中心极限定理得近似服从标准正态分布，故 Zn 近似服从正态分布，两个参数为 =2，=【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 令X= (i=1，2，300)令 X 表示需要使用外线的分机数，则 X= Xi， E(X)=3000 06=18，D(X)=3000056 4=1692设至少需要安装 n 条外线，由题意及中心极限定理得听以至少要安装 25 条外线才能保证每台分机需要使用外线时不需要等待的概率不低于 095【知识模块】 概率统计13 【正
12、确答案】 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立同分布，所以有 E(X1T)=E(X2T)=E(XnT)【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 令 Yi=Xi+Xn+i(i=1，2，n)，则 Y1，Y 2，Y n 为正态总体N(2，2 2)的简单随机样本，(n 一 1)S2，其中 S2 为样本 Y1，Y 2，Y n 的方差，而 E(S2)=22，所以统计量 U=的数学期望为 E(U)=E(n
13、1)S2=2(n 一 1)2【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 由 相互独立，显然a+b=1 =E(U)=E(a)+E(b)=E(a+b)=E(1)= 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 E(X)=0 2+12(1)+22+3(12)=34， L()=22(1 一 )2(12)4=46(1 一 )2(12)4， lnL()=ln4+6ln+2ln(1)+4ln(12)， 令【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 (2)L(1，1，3， 2，1，2，3， 3，)=P(X=1)P(X=1)P(X=3)= 32(12)3，【知识模块】 概率统计
14、24 【正确答案】 总体 X 的密度函数和分布函数分别为设 x1，x 2，x n 为总体 X的样本观察值，似然函数为 L()= (i=1，2，n)当0x i(i=1，2，n)时，L()= 0 且当 越小时 L()越大，所以 的最大似然估计值为 =maxx1，x 2，x n， 的最大似然估计量为【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为FU(u)=P(Uu)=Pmax(X1， X2，X 3)u=P(X1u，X 2u，X 3u)=P(X1u)P(X2u)P(
15、X3u)=FV(v)=P(Vb)=Pmin(X1，X 2，X 3)b=1 一P(min(X1，X 2，X 3)v) =1 一 P(X1v，X 2v，X 3v)=1 一 P(X1v)P(X 2v)P(X3b) =1 一1 一 P(X1v)aP(X2v)1 一 P(X3v)【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 (1)X 的所有可能取值为 0，1，2 ，3，4，5，其分布律为 P(X=i)=P(Xi)=0502 5，D(X)=E(X 2)一(X)2=04410 (2)这批产品被拒绝的概率为 P(X1)=1 一 P(X=0)=0417【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 令 H0：1 000， 1 00因为总体方差已知，所以选取统计量一 251645，所以拒绝 H0，即该批产品不合格【知识模块】 概率统计31 【正确答案】 令 H0：10，H 1：10 选统计量 t= t(n 一 1)，查表得临界点为 t(n 一 1)=t005 (19)=17291，而 =175417291，接受H0，即可以认为该厂产品防腐剂显著大于 10 毫克【知识模块】 概率统计32 【正确答案】 令 H0： 2152，H 1： 215 2因为 2 已知，所以取统计量=3655416919，所以 H0： 2152 被拒绝，即机器不能正常工作【知识模块】 概率统计
