1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 18及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)= （分数：2.00）A.(一 1，0)。B.(0，1)。C.(1，2)。D.(2，3)。3.当 x0 时，x 一 sinx是 x 3 的( )（分数：2.00）A.低阶无穷小。B.高阶无穷小。C.等价无穷小。D.同阶但非等价无穷小。4.设 f(x)在(一，+)内有定义，且 （分数：2.00）A.x=0必是 g(x)的第一类间断点。B.x=0必是 g(x)的
2、第二类间断点。C.x=0必是 g(x)的连续点。D.g(x)在点 x=0处的连续性与口的取值有关。5.下列各式中正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 （分数：2.00）A.b=4d。B.b=一 4d。C.a=4c。D.a=一 4c。8.设 f(x)= 在(一，+)内连续，但 （分数：2.00）A.a0，b0。B.a0，b0。C.a0，b0。D.a0，b0。9.设 f(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小。B.低阶无穷小。C.同阶而非等价无穷小。D.等价无穷小。10.设 f(x)在点 x
3、0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是( )（分数：2.00）A.f(x)sinx。B.f(x)+sinx。C.f 2 (x)。D.f(x)。11.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=0与 x=1都是 f(x)的第一类间断点。B.x=0与 x=1都是 f(x)的第二类间断点。C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点。D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点。二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.I= （分数：2.00）填空项 1:_13.(sinx+cosx)=
4、1。 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.若 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_16.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_17.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_20.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 （分数：2.00）填空项 1:_22.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5、（分数：2.00）_24.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：2.00）_25.设 f(x)= （分数：2.00）_26.求函数 f(x)= （分数：2.00）_27.设 f(x)在 0x 时有定义，其中 为正常数，且 （分数：2.00）_28.求函数 f(x)= （分数：2.00）_29.求函数 f(x)= （分数：2.00）_30.若 x0 时， （分数：2.00）_31.求极限 （分数：2.00）_32.设 f(x，y)= ，x0，y0，求 （分数：2.00）_33.求极限 （分数：2.00）_34.求极限 （分数：2.00）_3
6、5.当 x0 时，1 一 cosxcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小，求 n与 a的值。（分数：2.00）_考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 18答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)= （分数：2.00）A.(一 1，0)。 B.(0，1)。C.(1，2)。D.(2，3)。解析：解析：函数 f(x)在开区间(a，b)内是否有界，需验证 f(x)在(a，b)内是否连续，且 f(x)在区间端点处的极限是否存在。 显然
7、 x0，1，2 时，f(x)连续。而 可见 f(x)在(一 1，0)内连续，且3.当 x0 时，x 一 sinx是 x 3 的( )（分数：2.00）A.低阶无穷小。B.高阶无穷小。C.等价无穷小。D.同阶但非等价无穷小。 解析：解析：根据无穷小阶数的定义，因 4.设 f(x)在(一，+)内有定义，且 （分数：2.00）A.x=0必是 g(x)的第一类间断点。B.x=0必是 g(x)的第二类间断点。C.x=0必是 g(x)的连续点。D.g(x)在点 x=0处的连续性与口的取值有关。 解析：解析：因为 ，又 g(0)=0，故 当 a=0时， g(x)=g(0)，即 g(x)在点 x=0处连续；
8、当a0 时，5.下列各式中正确的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：6.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 x0 时，有等价无穷小量7.设 （分数：2.00）A.b=4d。B.b=一 4d。C.a=4c。D.a=一 4c。 解析：解析：当 x0 时，由等价无穷小代换及无穷小阶的定义可知，tanx，ln(12x)均为 x的一阶无穷小；而 1一 cosx，1 一 均为 x的二阶无穷小，因此有 故有一8.设 f(x)= 在(一，+)内连续，但 （分数：2.00）A.a0，b0。B.a0，b0。C.a0，b0。D.a0
9、，b0。 解析：解析：由题意可知 f(x)在(一，+)内恒成立，因此 a+e bx 0。 由于 e bx 0 且 e bx 在(一，+)内连续，所以 a0。 又因 9.设 f(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小。B.低阶无穷小。 C.同阶而非等价无穷小。D.等价无穷小。解析：解析：由洛必达法则与等价无穷小代换得 其中用到下面的等价无穷小代换：x0 时， ln(1+sin 2 x 2 )一 sin 2 x 2 x 4 ，tan(1 一 cosx) 2 一(1 一 cosx) 2 ( 10.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断
10、的函数是( )（分数：2.00）A.f(x)sinx。B.f(x)+sinx。 C.f 2 (x)。D.f(x)。解析：解析：若 f(x)+sinx在 x=x 0 连续，则 f(x)=f(x)+sinx一 sinx在 x=x 0 连续，与已知矛盾。 因此 f(x)+sinx在 x 0 处必间断。选 B。11.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=0与 x=1都是 f(x)的第一类间断点。B.x=0与 x=1都是 f(x)的第二类间断点。C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点。 D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点。解析：
11、解析：因为二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：分子、分母同除以(e x ) 3 。 其中根据洛必达法则易知 13.(sinx+cosx)= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：根据洛必达法则， 对任意 x(一，+)，有sinx+cosx14.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：对于不同的 x，先得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点。 当 x=0时，f(x)=0； 当x0 时，15.若 （分数：2.0
12、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：一 4）解析：解析：因为 (e x 一 0)=0，得 a=1， 于是由等价无穷小代换 16.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一，0）解析：解析：由 f(x)= 及 f(x)=1 一 x，得 =1一 x，即 2 (x)=ln(1一 x)， 已知(x)0，所以 (x)= 。 于是可得方程组 17.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 0，arctanx 为有界函数，即arctanx ，无穷小量与有界量相乘，结果仍为无穷小量，所以18
13、.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 又因为 f(x)在(一，+)内连续，f(x)必在 x=c处连续，所以 f(x)=f(c)， 即 c 2 +1= 19.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：由题设条件可知 =1。 因 x0 时，分母是无穷小，故分子必是无穷小。因此 =0，由等价无穷小代换 sinxe x 一 1x， ，得 20.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对原极限进行恒等变形，即 因为 x0 时，ln(1+x)
14、x，e x 一 1x，cosx 一 1一 x 2 ，则有 21.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析： 当 x0 时，分母为无穷小，所以分子也为无穷小，即有 =0 因此，当 x0 时22.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：13，分数：26.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在a，b上连续知，e
15、 f(x) 在a，b上非负连续，且 0me f(x) M，其中 M，m 分别为 e f(x) 在a，b上的最大值和最小值，于是 0m M，故 )解析：25.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据复合函数的定义 (1)当 (x)1 时， 若 x0，则 (x)=x+21，即 故 x一 1； 若 x0，则 (x)=x 2 一 11，即 (2)当 (x)1 时， 若 x0则 (x)=x+21，即 故一 1x0； 若 x0，则 (x)=x 2 一 11，即 。 综上所述，有 )解析：26.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知， 由此可知，函数 f(
16、x)在 x=一 3及 x=2处无定义，因而点 x=一3，x=2 不是函数的连续点，所以 f(x)的连续区间为 (一，一 3)(一 3，2)(2，+)。 根据初等函数的连续性定义得 )解析：27.设 f(x)在 0x 时有定义，其中 为正常数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 tan(x一 处无定义，故函数 f(x)在区间(0，2，)内的间断点是 x= 在 x= 为 f(x)的可去间断点；同理，x= 也是 f(x)的可去间断点，即 x= 为第一类间断点。 在 x= 为 f(x)第二类间断点；同理，x=
17、 )解析：29.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x一 =0，得 x=1，因此 f(x)的间断点为 x=0以及 x=1和 x=一 1。故 x=0是 f(x)的第二类间断点，且是无穷间断点。 )解析：30.若 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x0 时， ax 2 ，因此 由等价无穷小的定义知，一 )解析：31.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 f(x，y)= ，x0，y0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.当 x0 时，1 一 cosxcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小，求 n与 a的值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据等价无穷小的定义，可知 )解析：
