1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=xsinx ( )（A）在(-，+)内无界（B）在 (-， +)内有界（C）当 x 时为无穷大（D）当 x时极限存在2 极限 的充要条件是( )（A）a1（B） a1（C） a0（D）与 a 无关3 设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（A）设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小（B）设当 xx 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小（C）设在 x=x0 的某邻域 g(x)无
2、界，则当 xx 0 时，f(x)g(x) 必是无穷大（D）设在 x=x0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大4 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数为 ( )（A）f(x)sinx（B） f(x)+sinx（C） f2(x)（D）f(x)5 设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )6 设当 x0 时，e tanx-ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 若 f(x)
3、= 在(- ， +)上连续，且 ，则 ( )（A）0，k0（B） 0，k0（C） 0，k 0（D）0，k08 设 f(x)= ，则 ( )（A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点9 设 f(x)= ，则 f(x)有 ( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个可去间断点（D）2 个无穷间断点10 若 f(x)在(a，b)内
4、单调有界，则 f(x)在(a ，b)内间断点的类型只能是 ( )（A）第一类间断点（B）第二类间断点（C）既有第一类间断点也有第二类间断点（D）结论不确定二、填空题11 若当 x0 时，有 ，则 a=_12 当 x0 时，若有 则 A=_，k=_13 当 x 时，若有 ，则 A=_，k=_14 若 f(x)= 是(-，+)上的连续函数，则 a=_15 已知数列 Fn= =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 数列x n通项 xn=17 设 a1=2，a n+1= 存在并求其极限值18 设 x1=1， xn+1=19 如果数列x n收敛，y n发散，那么x nyn是否一定发散
5、?如果x n和(y n都发散，那么x nyn的敛散性又将如何?20 分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?21 求极限21 已知数列x n的通项22 证明23 计算24 利用夹逼定理证明：25 设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且 试求 f(0)，f(0)，f(0)以及极限26 设 a0， x10，x n+1=27 试讨论函数 g(x)= 在点 x=0 处的连续性28 求函数 F(x)= 的间断点，并判断它们的类型29 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并判定其类型30 设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)=31 设 f(x)= ，
6、为了使 f(x)对一切 z 都连续，求常数 a 的最小正值32 设 f(x)= .求 f(x)的间断点，并说明间断点的类型，如是可去间断点，则补充或改变定义使它连续33 设 f(x；t)= (x-)(t-1)0，xt)，函数 f(x)由下列表达式确定，求出 f(x)的连续区间和间断点，并研究 f(x)在间断点处的左右极限34 设函数 f(x)在a，b上连续，x 1，x 2，x n，是a，b上一个点列，求35 设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=xsinx，其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k 使极限 存在36 设 f(x)对一切 x1，x 2 满足 f(x1
7、+x2)-f(x1)+f(x2)，并且 f(x)在 x=0 处连续证明：函数 f(x)在任意点 x0 处连续考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 对于任意给定的正数 M，总存在点 ，使f(x n)=2n+ M，故 f(x)在(-，+)内无界(C) 错，对于任意给定的正数 M，无论 x 取多么大的正数，总有 xn=2nx(只要n )，使 f(xn)=xnsinxn=0M，故当 x时 f(x)不是无穷大千万不要将无穷大与无界混为一谈【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试
8、题解析】 令【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 设 f(x)= ，当 x0 时为无界变量，不是无穷大令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小，可排除(A)设 x0 时，令 f(x)=x2，g(x)= 可排除(B)，(C)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 方法一 若 f(x)+sinx 在点 x0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinx-sinx 在点 x0处也连续，与已知矛盾方法二 排除法设 f(x)= 则 f(x)在点 x=0 处间断，f(x)sinx0 在 x=0 处连续若设 f(x)= f(x)在点 x=0 处间断，但f2(x)=
9、1，f(x)=1 在 x=0 处都连续故可排除(A)，(C)，(D)【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试题解析】 有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 D【试题解析】 分母不为零，故 0；又 f(x)=0，故 k0【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)的表达式可知 x=0，x=1 为其间断点故 x=1 是第一类间断点，x=0 是第二类间断点，选(D)【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 A【试题解析】 x=0 和
10、 x=1 为 f(x)的间断点，其余点连续因 x1 时，Inx=ln(1+x-1) x-1 ，则 x=1 为跳跃间断点答案选择(A)【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(x)单调增加，且f(x) M，对任一点 x0(a，b)，当xx 0-时，f(x)随着 x 增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0+时，f(x)随着 x 减小而减小且有下界，故 存在，故 x0 只能是第一类间断点【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题11 【正确答案】 -3【试题解析】 当 x0 时，【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、
11、极限、连续13 【正确答案】 【试题解析】 当 x 时，【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 因为 ，所以a n有下界下面再证明a n单调递减【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 即xn+1x n，由数学归纳法可知对一切 n，都有 xn+1x n又 xn+1=1+，所以x n单调增加且有上界， xn必收敛记两边取极限，得 a=1+【知识模块
12、】 函数、极限、连续19 【正确答案】 在题设两种情况下，x nyn的收敛性都不能确定现在先就 xn收敛，y n发散的情况来分析利用 这个恒等式，就可得到下述结论：若x n收敛且不收敛于零， yn发散，则x nyn必发散这是因为若x nyn收敛，且又x n收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知y n收敛，这与假设矛盾若 ，且y n发散，则 xnyn可能收敛，也可能发散，如：x n= ，y n=n，则 xnyn=1，于是x nyn收敛 xn= ，y n=(-1)nn，则 xnyn=(-1)n，于是 xnyn发散 现在再就 xn和y n都发散的情况来分析x nyn的收敛性有下面的结
13、论：若x n和y n都发散，且两者至少有一个是无穷大，则 xnyn必发散这是因为如果x nyn收敛，而x n为无穷大，从等式 便得到y n收敛于零，这与假设矛盾若x n和y n都不是无穷大且都发散，则 xnyn可能收敛，也可能发散，如x n=yn=(-1)n 有 xnyn=1，于是x nyn收敛x n=(-1)n，y n=1-(-1)n，有 xnyn=(-1)”-1，于是x nyn发散【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表
14、示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=x，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式 ，所以函数 (x)=x是初等函数而 则不是初等函数【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 如果【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 g(0)=(e x+) x=0=，所以：当 a0
15、且 =-1 时，有 g(0-)=g(0+)=g(0)=0，故 g(x)在 x=0 处连续；当 a0 且 p-1 时，有 g(0-)g(0+)，故点 x=0 是 g(x)的跳跃间断点；当 a0 时，点 x=0 是 g(x)的振荡间断点【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 对于函数 F(x)的分段点 x=0，因故 x=0是函数 F(x)的跳跃间断点当 x0 时，不存在，故 x=1 是函数 F(x)的振荡间断点【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 令【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 当由此可见，f(x)在(-，
16、-1， (-1，1)，1，+) 内连续，故只需 f(x)在 x=-1，x=两点连续即可因为【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 f(x)存(-1，0)，(0，1)及(1，+) 都是初等函数，是连续的 f(0)无定义，故 x=0 是间断点因为所以 x=0 为跳跃间断点 .f(1)无定义，故 x=1 是间断点.因为不存在.所以x=1 为无穷间断点.【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 显然x=1 为间断点，连续区间(-，1)(1，+) 所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 本题考虑夹逼准则由 f(x)在a ，b上连续，知 ef(x)在a
17、 ，b 上非负连续，且 0me f(x)M，其中 M，m 分别为 ef(x)在a，b上的最大值和最小值，于是 0m M，故【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 因求“0 0”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数 u(x)v(x)化为复合函数 ev(x)lnu(x)，故其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得：根据题设的关系式 f(x)=2f(x+1)-k，得， 由上述结果 f(x)在 x=0 处右极限 f(0+)=1；而其左极限由于极限 是存在的，故 2-k=f(0-)=f(0+)=1，则常数 k=1【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 已知 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令 x2=0，则 f(x1)=f(x1)+f(0)，可得 f(0)=0，又 f(x)在 z=0 处连续，则有 f(x)=f(0)=0，而 f(x0+x)-f(x0)=f(x0)+f(x)-f(x0)-f(x)，两边取极限得到 ，故函数 f(x)在任意点 x0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续
