1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 17及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)为连续函数，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.如果 f(x)是周期函数，则 f(x)也一定是周期函数。B.如果 f(x)是增函数，则 f(x)也一定是增函数。C.如果 f(x)是偶函数，则 f(x)一定是奇函数。D.如果 f(x)是奇函数，则 f(x)一定是偶函数。3.设 f(x)，g(x)在点 x=0的某邻域内连续，且当 x0 时 f(x)与 g(x
2、)为等价无穷小量，则当 x0 时， 0 x f(t)(1一 cost)dt是 0 x t 2 g(t)dt的( )（分数：2.00）A.等价无穷小量。B.同阶但非等价无穷小量。C.高阶无穷小量。D.低阶无穷小量。4.设 （分数：2.00）A.a=1，b=一B.a=0，b=一 2。C.a=0，b=一D.a=1，b=一 2。5.极限 （分数：2.00）A.1。B.e。C.e ab 。D.e ba 。6.设 f(x)= （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点。B.1个可去间断点，1 个无穷间断点。C.2个可去间断点。D.2个无穷间断点。二、填空题(总题数：3，分数：6.00)7.已知
3、 f(x)=sinx，f(x)=1 一 x 2 ，则 (x)的定义域为 1。（分数：2.00）填空项 1:_8.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：26，分数：52.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.求函数 y=ln(x+ （分数：2.00）_12.设 f n (x)= （分数：2.00）_13.设 f(x)= ，则( ) （分数：2.00）_14.证明数列 （分数：2.00）_15.设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n (n=1，
4、2，)。证明 （分数：2.00）_16.求极限 （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20.求极限 （分数：2.00）_21.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：2.00）_22.求极限 （分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.求极限 （分数：2.00）_25.求下列极限： （分数：2.00）_26.求极限 （分数：2.00）_27.求极限 （分数：2.00）_28.求 （分数：2.00）_29.求极限 （分数：2.00）_30.求极限 （分数：2.00）_31.求极限 （分数：2.00
5、）_32.求极限 （分数：2.00）_33.求数列极限 （分数：2.00）_34.设 f(x)在a，b上连续，ax 1 x 2 x n b，c i 0，i=1，2，n，证明存在a，b，使得 （分数：2.00）_35.记极限 （分数：2.00）_考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 17答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)为连续函数，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.如果 f(x)是周期函数，则 f(x)也一定是周期函数。B.
6、如果 f(x)是增函数，则 f(x)也一定是增函数。C.如果 f(x)是偶函数，则 f(x)一定是奇函数。D.如果 f(x)是奇函数，则 f(x)一定是偶函数。 解析：解析：取 f(x)=sinx+1，则 f(x)是周期函数，但 f(x)=一 cosx+x不是周期函数，排除 A。 取f(x)=2x+2，则 f(x)在(一，一 1)上是增函数，但 f(x)=x 2 +2x在(一，一 1)上不是增函数，排除(B)。 取 f(x)=x 2 ，则 f(x)是偶函数，但 f(x)= 3.设 f(x)，g(x)在点 x=0的某邻域内连续，且当 x0 时 f(x)与 g(x)为等价无穷小量，则当 x0 时，
7、 0 x f(t)(1一 cost)dt是 0 x t 2 g(t)dt的( )（分数：2.00）A.等价无穷小量。B.同阶但非等价无穷小量。 C.高阶无穷小量。D.低阶无穷小量。解析：解析： 4.设 （分数：2.00）A.a=1，b=一 B.a=0，b=一 2。C.a=0，b=一D.a=1，b=一 2。解析：解析：根据洛必达法则，5.极限 （分数：2.00）A.1。B.e。C.e ab 。 D.e ba 。解析：解析：6.设 f(x)= （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点。 B.1个可去间断点，1 个无穷间断点。C.2个可去间断点。D.2个无穷间断点。解析：解析：由 f(
8、x)的表达式可判断 f(x)的间断点为 x=0，1。因 故 x=0是函数 f(x)的可去间断点。又二、填空题(总题数：3，分数：6.00)7.已知 f(x)=sinx，f(x)=1 一 x 2 ，则 (x)的定义域为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 f(x)=simp(x)=1 一 x 2 ，所以 (x)=arcsin(1x 2 )，则有一 11 一 x 2 1，故 8.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=一 1）填空项
9、 1:_ （正确答案：b=1）解析：解析：由题设条件三、解答题(总题数：26，分数：52.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.求函数 y=ln(x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以函数 y=ln(x+ )为奇函数，因此可得方程组 )解析：12.设 f n (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 比较以上两式，由归纳法可知 f n (x)= 。 于是 )解析：13.设 f(x)= ，则( ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)中的自变量 x用一 x替换，得 )解析：14.证明数列 （分数：2
10、.00）_正确答案：(正确答案：设数列通项 x n+1 = 。 n=1 时，x 1 = 2； 假设 n=k时，x k 2，则当 n=k+1时，x k+1 = =2，故 x n 2(nN + )。 因此数列x n 有界。 又 x n+1 x n = ， 且 0x n 2，故 x n+1 一 x n 0，即 x n+1 x n (nN + )。因此数列x n 为单调递增数列。 根据单调有界准则可知 ，得 x n+1 2 =2+x n 。该式两端同时取极限 (2+x n )，于是 a 2 =2+aa 2 一 a一 2=0a 1 =2，a 2 =一 1(舍去)。 因此 )解析：15.设数列x n 满足
11、 0x 1 ，x n+1 =sinx n (n=1，2，)。证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 n=1时，0x 1 ； 当 n=2时，0x 2 =sinx 1 1； 假设当 n=k时，0x k 成立，则当 n=k+1时，0x k+1 =sinx k 1； 由数学归纳法可知，对任意的 nN + ，0x n ，即数列x n 有界。 又因为当 x0 时，sinxx，所以 1，即数列x n 单调递减。 根据单调有界准则可知 x n =a，在等式 x n+1 =sinx n 两端同时取极限可得，a=sina，所以a=0，即 )解析：16.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
12、 )解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 即左、右极限均存在且相等，所以 )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()分子、分母同除以 x的最高次幂，即 )解析：20.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作积分变量代换，令 x一 t=u，则 0 x f(xt)dt= 0 x f(u)(一 du)= 0 x f(u)du， 于是 所以由极限的四则运算法则得 原式= )解析：2
13、2.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：连续使用 3次洛必达法则，即 )解析：24.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由极限的运算法则有， )解析：26.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求极限 （分数
14、：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设函数 f(x)= ，n=1，2，3，则 )解析：33.求数列极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用等价无穷小因子代换，在 n时： 令 t=一 ，转化为函数极限，再用洛必达法则得 )解析：34.设 f(x)在a，b上连续，ax 1 x 2 x n b，c i 0，i=1，2，n，证明存在a，b，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f(x)在a，b上的最大值为 M，最小值为 m，则 mf(x i )M，c i mc i f(x i )c i M，i=1，2，n。 由介值定理知，存在 a，b，使 )解析：35.记极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(x)= ，可知自变量 x应满足 sinx0，从而xk，k=0，1，2，。 当 x0 时， =e 1 =e， 由于 f(x)在 0处左右极限都相等，所以x=0为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点。 对于非零整数 k： 若 k是奇数，则 =0； 若 k是偶数，则 )解析：
