1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，函数 的极限( )（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在，但不为2 函数 f(x)=xsinx( )（A）当 x时为无穷大（B）在 (一，+)内有界（C）在 (一，+)内无界（D）当 x时有有限极限3 设数列极限函数 f(x)= ，则 f(x)的定义域 I 和 f(x)的连续区间 J 分别是( )（A）I=( 一，+)，J=(一，+) （B） I=(一 1，+)，J=(一 1，1) (1，+)（C） I=(一 1，+)，J=(一 1，+) （D）
2、I=( 一 1，1) ，J=( 一 1，1)4 设 f(x)可导，f(x)=0，f(0)=2，F(x)= 0xt2f(x3 一 t3)dt，g(x)= ，则当 x0 时，F(x)是 g(x)的 ( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小5 设 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x0 间断，则在点 x0 处必定间断的函数是( )（A）f(x)sinx （B） f(x)+sinx（C） f2(x)（D）f(x)6 设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，xsinx n 是比( 一 1)高阶的无穷小
3、则正整数 n 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 f(x)在 x0 点连续，且在 x0 一空心邻域中有 f(x)0，则( )（A）f(x 0)0（B） f(x0)0（C） f(x0) 0（D）f(x 0)=08 把 x0 +时的无穷小量 = 排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )（A），（B） ， （C） ， （D）， 9 函数 f(x)= 的间断点及类型是( )（A）x=1 为第一类间断点， x=一 1 为第二类间断点（B） x=1 均为第一类间断点（C） x=1 为第二类间断点，x= 一 1 为第一类间断点（D）x=1 均为第二类间断点1
4、0 设 f(x)= 则( )11 设 f(x)在 R 上连续，且 f(x)0，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) x)必有间断点 (x) 2 必有间断点 (x)没有间断点（A）0（B） 1（C） 2（D）312 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ( )（A）存在且等于零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在（D）不一定存在13 设 f(x)=2x+3x 一 2，则当 x0 时( )（A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶，但非等价无穷小（C） f(x)是比 x 高阶的无穷小（D）f(x)是比 x 低阶的无穷小14 设 =2，
5、其中 a2+c20，则必有( )（A）b=4d（B） b=一 4d（C） a=4c（D）a= 一 4c15 当 x0 时，e x 一(ax 2+bx+1)是比 x2 高阶的无穷小，则 ( )（A）a= ， b=1（B） a=1，b=1（C） a= ，b=一 1（D）a= 一 1，b=116 设函数 f(x)= =0，则常数 a，b 满足( )（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b0二、填空题17 =_18 =_19 设 a1，a 2，a m 为正数 (m2)，则 =_。20 =_21 x表示 x 的最大整数部分，则 =_22 数列 xn= =_。23 若 f(x
6、)= 在(一，+)内连续，则 a=_24 设函数 f(x)在 x=1 连续，且 f(1)=1，则 =_25 设函数 f(x)= f(x)在(一 ，+)上连续，则A=_.26 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 设 x1=a0，y 1=b0，(ab) ，且 xn+1= ，n=1，2，证明：28 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有29 求下列极限30 计算：31 求32 求33 求34 求35 求36 设 f(x)= ，求常数 a 与 b 的值，使 f(x)在(一，+)上处处连续考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四
7、个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 故当 x1 时，函数极限不存在，也不是，应选 D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 由于当 x时，f(x)中含有“” 因子 x，而无确定的零因子，因而f(x)无界，故选 C【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的连续区间是 J=(一 1，1)(1，+)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 先改写 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sinx 在 x=x0 连续，则 f(x)=(f(x)+si
8、nx)一 sinx 在 x=x0 连续，与已知矛盾 因此 f(x)+sinx 在 x0 必间断故选 B【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 B【试题解析】 因当 x0 时，而由(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，知 4n+1 ，即 n3；由 xsinxn 是比( 一 1)高阶的无穷小，知 n+12，即 n1 因此取正整数 n=2，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)在 x0 连续，有 =f(x0)，又因在 x0 的一空心邻域中有f(x)0，由极限的保号性有 f(x0)0，故选 B【知识模块】 函数、极限
9、连续8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以当 x0 +时， 是 x 的一阶无穷小， 是 x 的三阶无穷小， 是 x 的二阶无穷小，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 分别就x=1，x1，x1 时求极限 ，得出f(x)的分段表达式：所以，x=1 为 f(x)的第一类间断点，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 D【试题解析】 用推演法将题设条件 f(x)中的所有自变量 x 都用(一 x)替换，得故选 D【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 B【试题解析】 错误举例：设 (x)= ，f(x)=e x，则 f(x)=1 在
10、R上处处连续。 错误举例：设 (x)= ，则(x) 2=9 在 R 上处处连续。 正确因为 f(x)在 R 上连续，而 (x)的取值必定在 R 上 因此选 B【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 D【试题解析】 取 (x)=f(x)=g(x)=x，显然有 (x)f(x)g(x)，且不存在，故 A、B 排除 再取 (x)=f(x)=g(x)=1，同样有 (x)f(x)g(x)，且 =1，可见 C 也不正确，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 B【试题解析】 利用洛必达法则求解因=ln2+ln3=ln6，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 D
11、试题解析】 当 x0 时，由皮亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(12x)均为x 的一阶无穷小；而 1 一 cosx，1 一 均为 x 的二阶无穷小，因此有【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 A【试题解析】 因显然要使上式为 x2 高阶的无穷小(x0 时)，只要 故选 A【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)连续，故 a+ebx0，因此只要 a0 即可再由可知 x一时，a+e bx 必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需 b0，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限
12、连续18 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 maxa 1，a 2，a m【试题解析】 假设 a1 为最大值，则【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【试题解析】 利用等价无穷小因子代换，【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 0【试题解析】 因为 f(c)在(一 ，0) 及(0，+00)内连续，所以需要确定数 a，使 f(x)在 x=0 处连续 当 =a 时，f(x)在 x=0 处连续，因此 a=
13、0 时，f(x) 在(一，+)内连续【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 ln3【试题解析】 由题干可知【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【试题解析】 令函数 f(x)= ，其中 g(x)，h(x)分别在0，x 0，(x0，b上是初等函数，因而是连续的因为 f(x)在(一，+)上连续，于是 f(x)在x0 连续，所以需 g(x0)=h(x0) 对任意常数 A，显然，x1 时 f(x)连续仅当时，f(x)在 x=1 连续 因此，当 A= 时，f(x)在(一，+)上连续【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 1【试题解析】 原式= =1。【知识模块】 函数、极
14、限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 (1)由不等式 及题设条件，有0x n+1yn+1(n=0，1，2，)，所以 于是可知数列xn单调增加，数列 yn单调减少，又 a=x1x2x nxn+1yn+1yny 1=b 所以数列x n有上界，数列 yn有下界，根据单调有界准则，此二数列均收敛【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 由已知条件得又因为在 x=0的某空心邻域内 f(x+1)+3sin2x0，现利用等价无穷小替换：当 x0 时， ln1+f(x+1)+3sin2x一 f(x+1)+3sin2x，【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 当x1 时，解得a=0，b=1【知识模块】 函数、极限、连续
