1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为连续函数，下列命题正确的是( )（A）如果 f(x)是周期函数，则 f(x)也一定是周期函数。（B）如果 f(x)是增函数，则 f(x)也一定是增函数。（C）如果 f(x)是偶函数，则 f(x)一定是奇函数。（D）如果 f(x)是奇函数，则 f(x)一定是偶函数。2 设 f(x)，g(x) 在点 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时 f(x)与 g(x)为等价无穷小量，则当 x0 时， 0xf(t)(1 一 cost)dt 是 0xt2g(t)dt 的(
2、)（A）等价无穷小量。（B）同阶但非等价无穷小量。（C）高阶无穷小量。（D）低阶无穷小量。3 设 =2，则( )（A）a=1 ，b=一 。（B） a=0，b=一 2。（C） a=0，b=一 。（D）a=1 ，b=一 2。4 极限 =( )（A）1。（B） e。（C） eab。（D）e ba。5 设 f(x)= ，则 f(x)有( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点。（B） 1 个可去间断点，1 个无穷间断点。（C） 2 个可去间断点。（D）2 个无穷间断点。二、填空题6 已知 f(x)=sinx，f(x)=1 一 x2，则 (x)的定义域为_。7 =_。8 设 f(x)= 在 x=0
3、处连续，则a=_，b=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求函数 y=ln(x+ )的反函数。10 设 fn(x)= fn(x)。11 设 f(x)= ，则( )12 证明数列 ，的极限存在，并求出其极限。13 设数列x n满足 0x 1 ，x n+1=sinxn(n=1，2，)。证明 xn 存在，并求该极限。14 求极限 。15 求 。16 求 。17 18 求极限 。19 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 。20 求极限 。21 求极限 。22 求极限 。23 求下列极限：24 求极限 。25 求极限 。26 求 (a0 ，b0) 。27 求极限 。28
4、求极限 。29 求极限 。30 求极限 。31 求数列极限 。32 设 f(x)在a，b上连续，ax 1x 2x nb， ci0，i=1，2，n，证明存在 a，b ，使得33 记极限 为 f(x)，求函数 f(x)的间断点并指出其类型。考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x)=sinx+1，则 f(x)是周期函数，但 f(x)=一 cosx+x 不是周期函数，排除 A。 取 f(x)=2x+2，则 f(x)在(一 ，一 1)上是增函数，但 f(x)=x2+2x 在(一，一
5、 1)上不是增函数，排除(B)。 取 f(x)=x2，则 f(x)是偶函数，但 f(x)= x3+c(c0)不是奇函数，排除(C) ，故应选 D。【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 即 0xf(t)(1 一 cost)dt 与 0xt2g(t)dt 是 x0 时的同阶但非等价无穷小量，故应选 B。【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 根据洛必达法则，【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)的表达式可判断 f(x)的间断点为 x=0，1。因故
6、x=0 是函数 f(x)的可去间断点。又故x=1 是函数 f(x)的跳跃间断点。故应选 A。【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)=simp(x)=1 一 x2，所以 (x)=arcsin(1x2)，则有一 11一 x21，故 。【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 a=一 1，b=1【试题解析】 由题设条件因为 f(x)在x=0 处连续，所以 a+4b=3=2b+1，解得 a=一 1，b=1。【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9
7、 【正确答案】 所以函数y=ln(x+ )为奇函数，因此可得方程组【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 比较以上两式，由归纳法可知 fn(x)= 。于是【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 将 f(x)中的自变量 x 用一 x 替换，得故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 设数列通项 xn+1= 。n=1 时，x1= 2；假设 n=k 时， xk2，则当 n=k+1 时， xk+1= =2，故 xn2(n N+)。因此数列x n有界。又 x n+1xn=，且 0x n2，故 xn+1 一xn0，即 xn+1x n(nN+)。因此数列x n为单调递增
8、数列。 根据单调有界准则可知，得 xn+12=2+xn。该式两端同时取极限(2+xn)，于是 a2=2+aa 2 一 a 一 2=0a 1=2，a 2=一 1(舍去)。因此xn=2。【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 当 n=1 时，0x 1 ； 当 n=2 时，0x 2=sinx11； 假设当n=k 时， 0x k 成立，则当 n=k+1 时，0x k+1=sinxk1 ； 由数学归纳法可知，对任意的 nN+，0x n，即数列x n有界。 又因为当 x0 时，sinxx，所以1，即数列x n单调递减。 根据单调有界准则可知xn=a，在等式 xn+1=sinxn 两端同时取极限可
9、得，a=sina ，所以a=0，即 xn=0。【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 因为即左、右极限均存在且相等，所以 =1。【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 () 分子、分母同除以 x 的最高次幂，即【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 作积分变量代换，令 x 一 t=u，则 0xf(xt)dt=0xf(u)(一 du)=0xf(u)du，于是所以由极限的四则运算法则得原式=。【知识模块】 函数、极限、连
10、续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 连续使用 3 次洛必达法则，即【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 () 由极限的运算法则有，【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 设函数 f(x)= ，
11、n=1 ，2，3，则【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 先用等价无穷小因子代换，在 n时：令 t=一 ，转化为函数极限，再用洛必达法则得【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 不妨设 f(x)在a ，b上的最大值为 M，最小值为 m，则 mf(x i)M，c imcif(xi)ciM，i=1，2，n。由介值定理知，存在a， b，使【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 由 f(x)= ，可知自变量 x 应满足 sinx0，从而 xk，k=0，1，2，。 当x0 时， =e1=e，由于 f(x)在 0 处左右极限都相等，所以 x=0 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点。 对于非零整数 k： 若 k 是奇数，则 =0； 若 k 是偶数，则 =+；故x=k，k=1，2，为 f(x)的第二类间断点中的无穷间断点。【知识模块】 函数、极限、连续
