1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 f(f(f(x)等于( )（A）0（B） 1（C）（D）2 下列各题计算过程中正确无误的是( )3 下列各式中正确的是( )4 设 f(x)在( 一，+)内有定义， 则( )（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点（C） x=0 必是 g(x)的连续点（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关5 设 x0 时 ax2+bx+ccosx 是比 x2 高阶无穷小，其中 a，b，c 为常数，则(
2、)6 设数列 xn 与 yn 满足 =0，则下列判断正确的是( )（A）若 xn 发散，则 yn 必发散（B）若 xn 无界，则 yn 必无界（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小7 设 x0 时，(1+sinx) x 一 1 是比 xtanxn 低阶的无穷小，而 xtanxn 是比( 一 1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（A）(x)必有间断点（B） (x)2 必有间断点（C） f(
3、x)必有间断点（D） 必有间断点9 极限 ( )（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于10 设 xa 时， f(x)与 g(x)分别是 x 一 a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( ) f(x)g(x)是 x 一 a 的 n+m 阶无穷小 若 nm，则 是 x 一 a的 nm 阶无穷小若 nm，则 f(x)+g(x)是 x 一 a 的 n 阶无穷小（A）1（B） 2（C） 3（D）011 曲线 y= ( )（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有垂直渐近线（D）既有水平渐近线也有垂直渐近线12 设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)
4、为其极大值，则存在 0，当x(a，a+)时，必有( )（A）(x 一 a)f(x)一 f(a)0（B） (x 一 a)f(x)一 f(a)0（C） 0，(xa) （D） 0，(xa)13 以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）314 当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小( )（A）x 2（B） 1 一 cosx（C） 一 1（D）x 一 tanx15 f(x)=xsinx e cosx(xR)是( )（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数16 设 f(x)= 则( )（A）f(X)在点
5、x=1 连续，在点 x=一 1 间断（B） f(x)在点 x=1 间断，在点 x=一 1 连续（C） f(x)在点 x=1，x=一 1 都连续（D）f(x)在点 x=1，x= 一 1 都间断二、填空题17 =_18 =_19 设 xn= 20 =_21 =_22 =_23 =_24 设 =8，则 a=_25 设 a0， a1，且 =lna，则 p=_26 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数28 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt，且 =A(A 为常数)，求 (x)，并讨论 (x)在 x=0 处的连续性
6、29 求30 已知两曲线 y=f(x)与 y= 在点(0，0)处的切线相同求此切线的方程，并求极限 31 设数列x n满足 0x 1 ，x n+1=sinxn(n=1，2，)32 求极限33 求极限34 求极限35 证明：(1)对任意正整数 n，都有 成立；(2)设 an=1+ln n(n=1， 2，) ，证明a n收敛考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知f(x)1，因此 f(f(f(x)=1故选 B【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 A 项
7、错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则 B 项错误，是定式，不能用洛必达法则 C 项错误，用洛必达法则求不存在，也不为，法则失效，因此不能推出原极限不存在，事实上该极限是存在的故选 D【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 由重要极限结论 =e，可立即排除 B、D 对于 A、C选项，只要验算其中之一即可 对于 C 选项，因，故 C 不正确，选 A【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 又 g(0)=0，所以当a=0 时，有 =g(0) 也就是说，此时 g(x)在点 x=0 处连续，当 a0 时，g(0)，即 x=0 是 g(x)的第一
8、类间断点因此， g(x)在 x=0 处的连续性与 a的取值有关，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 C【试题解析】 由题意得 (ax2+bx+ccosx)=0，得 c=1， 又因为【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 取 xn=n，y n=0，显然满足，由此可排除 A、B若取 xn=0，y n=n，也满足，又排除 C，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时， (1+sinx) x 一 1ln(1+sinx) x 一 1+1=xln(1+sinx)xsinxx 2， ( 一 1)ln(1+x2)sin 2
9、x.x2x 4， 而xtanxnx.x n=xn+1因此 2n+14，则正整数 n=2，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x)=1， x(一，+) ，(x)= ，则 f(x)，(x) 满足题设条件由于 (f(x)=1，(x) 2=1，f(x)=1 都是连续函数，故可排除A、B、C，应选 D【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 A【试题解析】 由于【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 B【试题解析】 此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义： 关于：故 f(x)g(x)是 (x 一 a)的 n+m 阶无穷小；关于：若 nm，故
10、f(x)g(x)是(x一 a)的 nm 阶无穷小；关于：例如，x0 时，sinx 与一 x 均是 x 的一阶无穷小，但 即 sinx+(一 x)是 x 的三阶无穷小 因此，正确，错误故选 B【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0 是函数 y= 的间断点 因为 =，故x=0 是该函数的无穷型间断点，即 x=0 是该曲线的垂直渐近线. 又因=1，故原曲线有水平渐近线 y=1，因此选 D【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A、B 显然不正确 由 f(a)是 f(x)的极大值，即 f(a)一 f(x)0，可见 0，x(a 一
11、，a+) 成立 因此选 C【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 D【试题解析】 逐一进行分析，证明三项均成立 关于：故选 D【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 D【试题解析】 利用等价无穷小代换 由于 x0 时，1cosx，所以当 x0 时，B、C 与 A 是同阶的无穷小，由排除法知选 D【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(一 x)=(一 x)sin(一 x)e cos(x)=xsinx e cosx=f(x)， 故 f(x)为偶函数，应选 D【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 B【试题解析】 由函数连续的定义可知，
12、所以，f(x)在 x=一 1 处连续，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题17 【正确答案】 0【试题解析】 因为 x0 时，【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，将 xn 化简得【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 e 6【试题解析】 化为指数函数求极限，则有【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【试题解析】 将分子化简后，应用等价无穷小因子代换易知【知识模块】 函数、极限、连续23 【
13、正确答案】 【试题解析】 应用等价无穷小因子代换因为【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 ln2【试题解析】 因为 =e3a，因此 e3a=8，所以a=ln2【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 2【试题解析】 故取p=2【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 因为 r()=asin,ds= ，利用对称性可知，所求的心形线的全长为【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 已知 =A(A 为常数)，即 f(0)=0，f(0)=A，并且 (0)
14、=0因此，(x)在 x=0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 由已知条件有所以原式极限为 1【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 由已知条件得 f(0)=0，f(0)= =1，故所求切线方程为 y=x 由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 (1)因为 0x 1 ，则 0x 2=sinx11 可推得0x n+1=sinxn1，n=1，2，则数列x n有界 于是 1(因当x0 时，sinxx)，则有 xn+1x n，可见数列x n单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 (1) 先证明ln(1+x)x，x0 令 f(x)=x 一 ln(1+x)由于 f(x)=1 一 0，x0， 可知f(x)在0，+上单调递增又由于 f(0)=0，因此当 x0 时，f(x) f(0)=0也即 ln(1+x)x，x0可知 g(x)在0，+ 上单调递增又因 g(0)=0，因此当 x0 时，g(x)g(0)=0 即因此数列a n是有界的由单调有界收敛定理可知数列a n收敛【知识模块】 函数、极限、连续
