1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设数列x n和y n满足 ，则当 n时，y n必为无穷小的充分条件是 ( )（A）x n是无穷小（B） 是无穷小（C） xn有界（D）x n单调递减2 以下 3 个命题， 若数列 un收敛于 A，则其任意子数列u nj必定收敛于 A； 若单调数列x n的某一子数列 xhj收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x 2n与x 2n+1都收敛于 A，则数列x n必定收敛于 A 正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数
2、，则下列函数( 假设都有意义 )中，是奇函数的是( )（A）f(x)（B） ff(x)（C） f(x)（D）(x)4 设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sinx)，则在区间(0， )内 ( )（A）f(x)是增函数，(x) 是减函数（B） f(x)，(x)都是减函数（C） f(x)是减函数， (x)是增函数（D）f(x)，(x)都是增函数5 设 f1(x)= ，f 2(x)=f1f1(x)，f k+1(x)=f1fk(x)，k=1，2，则当 n1 时，fn(x)= ( )6 设 f(x)= 则 f(-x)= ( )7 设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)-v(x
3、)，并设 都不存在，下列论断正确的是 ( )8 两个无穷小比较的结果是 ( )（A）同阶（B）高阶（C）低阶（D）不确定二、填空题9 设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)=_10 对充分大的一切 x，以下 5 个函数： ，最大的是_11 =_12 极限 =_13 设 ，则 ， 的值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设15 求 f(x)= 的表达式，x0；16 讨论 f(x)的连续性17 计算极限18 求下列极限19 设 f(x)=x2+ax+b，证明：f(1) ，f(3)， f
4、(5)中至少有一个不小于 220 求极限21 求极限22 求极限23 求极限24 求极限25 求极限26 求极限27 求极限 ，a i0，且 ai1，i=1 ，2，n，n228 求极限29 设30 已知31 设 f(x)是三次多项式，且有32 设 ，试求 ， 的值33 设函数 f(x)= ，证明：存在常数 A，B，使得当 x0 +时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数 A，B34 计算35 求极限考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 ，故(B)正确若取 ，且x
5、 n在 n 时是无穷小、有界、单调递减的，但y n不是无穷小，排除(A)，(C)，(D) 【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列 un收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有u n-A可知当 niN时，恒有 u ni-A 因此数列 uni也收敛于 A，可知命题正确 对于命题，不妨设数列x n为单调增加的，即 x 1x2x n，其中某一给定子数列x ni收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 niN 时，恒有 x ni-A 由于数列x n为单调增加的数列，对于任意的 nN，必定存在 ninni+
6、1，有 从而 x n-A 可知数列x n收敛于A 因此命题正确对于命题，因 ，由极限的定义可知，对于任意给定的 e0，必定存在自然数 N1，N 2： 当 2nN 1 时，恒有 x 2n-A； 当 2n+1N 2 时，恒有 x 2n+1-A 取 N=maxN1，N 2)，则当 nN时，总有x n-A 因此 可知命题正确 故答案选择(D)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有g(-x)=(-x)=-(x)=-(x)=-g(x)，因此 (x)为奇函数，同理可得 f(x)，ff(x)， ff(x)均为偶函数答案选(D).【知识模块
7、】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 注意在(0， )内，sinx 是增函数，cosx 是减函数任取 x1，x 2，且 x1x 2，有 cosx1cosx 2，所以 sin(cosx1)sin(cosx 2)，即 f(x)是减函数；由于 sinx1sinx 2，所以 cos(sinx1)cos(sinx 2)，即 (x)是减函数【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 C【试题解析】 令，当 x0时可排除(B) ；令 u(x) = ，当 x0 时
8、可排除(D)【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 如 a(x)=不存在，故(x)和 (x)无法比较阶的高低【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题9 【正确答案】 na【试题解析】 令 x=-1，则 f(1)=f(-1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)-f(-1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)-3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 n=k 时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1)=f(k-1)+f(2)=(k-1)a+2a=(k+1)a，故对
9、一切正整数 n，有 f(n)=m，令 x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0.a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有 f(n)=-f(-n)=-(-m)=m所以对一切整数 n，均有 f(n)=na【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 【试题解析】 当 x 充分大时，有重要关系：e x xln x，其中 ，0，故本题填【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【试题解析】 原式【知识模块】 函数、极限、连续三、解答
10、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 本题考查分段函数的复合方法下面用解析法求解首先，广义化为尢 g(x)= 由 g(x)的表达式知，(1)当 g(x)0，即(2e x-10)x0)或x 2-10)x0，而 2e x-10)x0)=x-In2)x0)=x-In2， x2-10)(x0)=-1x1)x0)=0x1)(2)当 g(x)0，即2e x-10)(x0)或x 2-10)x0)，而 2ex-10)x0)=x -ln2)x0)=-In2x0)， x 2-10)x0)=x1 或 x-1)x0)=x1)综上，得 fg(x)=【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】
11、 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 因为 f(x)在 所以 f(x)在0，+)上连续【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 因为【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 (1)当 x0 时，(2)这是“1 ”型极限，可用公式 来计算，事实上(3)这是“-”型未定式极限，首先通分变成 型未定式，然后使用洛必达法则求极限 或利用等价无穷小代换 ex-1x(x0) ，则(4) 是“1 ”型极限，可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用等价无穷小代换(9)当x=0，原式 =1；【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 用反证法设f(1)，
12、f(3) ，f(5) 都小于 2，即f(i) =a+b+1 2， f(3)=3a+b+92，f(5)=5a+b+252，则 f(1)-2f(3)+f(5) f(1) +2f(3)+ f(5)2+22+2=8而事实上，f(1)-2f(3)+f(5)= a+b+1-6a-2b-18+5a+b+25=8 矛盾，故f(1)，f(3)，f(5)中至少有一个不小于 2【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 因为 x0 时【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 原式【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 原式【知识模块】 函数、
13、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令 t=，从而原式=【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 此题为 型未定式，若用洛必达法则，则连续使用完两次法则，又回到了起点，法则失效，正确的做法是先对式子恒等变形分子分母同乘【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 方法一 原极限等价于求【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 因为【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 设【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 因为 ，所以 f(2a)=f(4a)=0，从而得知 x-2a，x-4a 为 f(x)的因式又因为 f(x)为三次多项式，可令 f(x)=b(x-2a)(x-4a)(x-c)于是【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 显然由条件知 0，而【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 原式=【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 先看【知识模块】 函数、极限、连续
