1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax3 bx2cx ，则 ( )（A）a ， b1，c 0（B） a ，b1，c 0（C） a ，b1，c 0（D）a0， b2，c 02 设 f(x) ，g(x)x 3x 4，当 x0 时， f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设 ，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小4 设a n与b n为两个数列，下列说法正
2、确的是( )（A）若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且 0，则 0（D）若 an 为无穷大，且 0，则 bn 一定是无穷小5 设 f(x) 在(一，)内连续，且 0，则( )（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b06 设 (xa)，则 等于( )（A）e（B） e2（C） 1（D）7 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（A）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（B）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（C）当 x(0，)时，f(x)为单调增函数（D）当
3、 x(0，)时，f(x) 是单调减函数8 设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“pyqysin2x2e x 的满足初始条件 f(0)f(0)0 的特解，则当 x0 时， ( )（A）不存在 （B）等于 0（C）等于 1（D）其他9 下列命题正确的是( ) （A）若f(x)在 xa 处连续，则 f(x)在 xa 处连续（B）若 f(x)在 xa 处连续，则f(x)在 xa 处连续（C）若 f(x)在 xa 处连续，则 f(x)在 xa 的一个邻域内连续（D）若 f(ah) 一 f(a 一 h)0，则 f(x)在 xa 处连续二、填空题10 11 12 13 14 当 x0 时，xsin
4、xcos2xcx k，则 c_ ，k_15 16 17 18 设 f(x)连续，f(0)0，f(0)1，则 _.19 设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)0，f(0)0，则 _.20 设 f(x)连续，且 _.21 22 设 f(x)在 x0 处连续，且 ，则曲线 yf(x)在(2 ，f(2)处的切线方程为_23 设 在 x0 处连续，则a_ ，b_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 求25 26 设 f(x)连续可导，27 设 f“(0)6，且28 设 ，求 n，c 的值29 已知 ，求 a，b 的值30 确定 a，b ，使得 x 一 (abcosx)sinx 当 x
5、0 时为阶数尽可能高的无穷小31 设 ，求 a，b 的值32 确定常数 a，b，c ，使得 c.33 设 ，其中 f(x)连续，求34 35 36 37 38 设 f(x)连续，f(0)0，f(0)0 ，F(x) ，且当 x0 时，F(x)x n，求 n 及 f(0)39 设 f(x)在1，)内可导，f(x)0 且 a0，令 an .证明：a n收敛且 0 f(1)40 设 a0， x10，且定义 xn1 (n 1，2，)，证明： 存在并求其值41 设 a11，当 n1 时，a n1 ，证明：数列a n收敛并求其极限42 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)0，f(1) 1证明：(1)存在
6、 c(0，1)，使得 f(c)12c；(2)存在拿0 ，2，使得 2f(0)f(1) 3f(2)6f()43 设 A，证明：数列a n有界44 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 ef(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续45 设 f(x)在a，)上连续，f(a) 0，而 存在且大于零证明：f(x)在(a，) 内至少有一个零点46 f(x) ，求 f(x)的间断点并分类47 求 f(x) 的间断点并判断其类型48 设 f(x) ，求 f(x)的间断点并指出其类型49 求函数 的反函数考研数学一（高等数学）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中
7、，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 x0 时，ax 3bx 2cx ，所以，显然 c0，再由得 a0，b2，选(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 an2(一 1)n，b n2 一(一 1)n，显然a n与b n都发散，但 anbn3，显然a nbn收敛； (B)、(C) 都不对，如 ann1(一 1)n，b nn1 一(1) n，显然a n与b n都无界，但 anbn0
8、，显然a nbn有界且 0；正确答案为(D)【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x) 在( 一，)内连续，所以 a0，又因为0，所以 b0 ，选(C)【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以 ，于是，选(D)【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0) 0，所以 ，根据极限的保号性，存在0，当 x(0，)时，有 ，即 f(x)f(0)，选(A)【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 C【试题解析】 因为f(0)f(0)0，所以 f“(0)2，于是 ，选(C) 【知识模块】 高等数学部分9 【正确
9、答案】 B【试题解析】 令 显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对；令 显然 f(x)在 x0 处连续，但在任意za0 处函数 f(x)都是间断的，故(C)不对；令 显然，但 f(x)在 x0 处不连续，(D)不对；若 f(x)在xa 处连续，则 f(a)，又 0f(x) f(a) f(x)一 f(a)，根据夹逼定理， f(a)，选(B) 【知识模块】 高等数学部分二、填空题10 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】
10、 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时，有 ，则，原式 2.【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【试题解析】
11、【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 a 1 ，b1【试题解析】 因为f(x)在 x0 处连续，所以 a4b32b1，解得 a1，b1【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 由 得 f(0)0，f(0)0，【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 令 yx 一(abcosx)sinx ， y1bsin
12、 2x 一(a bcosx)cosx ， y“ bsin2x sin2x(abcosx)sinxasinx2bsin2x， yacosx4bcos2x， 显然 y(0)0， y“(0)0，所以令 y(0)y(0)0 得故当 时，x 一(abcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 ln(1x)(ax bx 2)x 一 o(x 2)一(ax bx 2)(1a)x 一(b )x2o(x 2)，由 得 x0 时， ，于是 ，故 a1，b一 2【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 由得 b一 1；由得 a；于是 c .【知识模块】 高等数学部分33
13、【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分37 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分38 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分39 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 an1 一 anf(n1)一f(n1)一 f()0(n，n1)，所以a n单调减少因为an f(k)f(x)dxf(n) ，而 f(k)f(x)dx0(k1，2，n1)且a 0，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，)
14、 ，故 anf(n)0，所以 存在由 anf(1)，而 f(k)一0(k2，3，n)，所以 anf(1)，从而 0 f(1)【知识模块】 高等数学部分40 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有【知识模块】 高等数学部分41 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分42 【正确答案】 (1)令 (x)f(x) 一 12x，(0)一 1，(1)2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1) ，使得 (c)0，于是 f(c)12c(2)因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M，由 6m2f(0)f(1)3f(2)6M 得由介值定理，存在 0
15、，2，使得于是 2f(0)f(1) 3f(2)6f()【知识模块】 高等数学部分43 【正确答案】 取 01，因为 A，根据极限定义，存在 N0，当 nN时，有 a n 一 A1，所以a n A1 取Mmaxa 1，a 2，a N，A1)， 则对一切的 n，有a nM.【知识模块】 高等数学部分44 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与 ef(x) 在0 ，1上单调增加， 所以当 xx 0 时，有 故 f(x0)f(x) ，令 x ，由夹逼定理得 f(x0 一 0)f(x 0)；当 xx 0 时，有 故令 x ，由夹逼定理得 f(x00)f(x 0)，故 f(x0 一 0
16、)f(x 00)f(x 0)，即 f(x)在 xx 0 处连续，由 x0 的任意性得 f(x)在0，1上连续【知识模块】 高等数学部分45 【正确答案】 令 k0，取 0 0，因为 k0，所以存在 X00， 当 xX0 时，有f(x)一 k ，从而 f(x) 0，特别地，f(X 0)0，因为 f(x) 在a，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得 f()0【知识模块】 高等数学部分46 【正确答案】 xk(k0，一 1，一 2，)及 x1 为 f(x)的间断点f(0 0)因为 f(00)f(00) ，所以 x0 为跳跃间断点；由 得x2 为可去间断点；当 xk(
17、k一 1，一 3，一 4，)时，由 得xk(k 一 1，一 3，一 4，)为第二类间断点；由 得 x1 为第二类间断点【知识模块】 高等数学部分47 【正确答案】 f(x)的间断点为 x0，一 1，一 2，及 x1当 x0 时，f(00) ，f(00)，则 x0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点当 x一 1 时， ，则 x一 1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点当 xk(k一 2，一 3，)时， ，则 xk(k一 2，一 3，)为函数 f(x)的第二类间断点当 x1 时，因为 limf(x)不存在，所以 x1 为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学部分48 【正确答案】 首先其次 f(x)的间断点为 xk(k0，1，)，因为 e，所以 x0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，xk(k1 ，) 为函数 f(x)的第二类间断点。【知识模块】 高等数学部分49 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
