1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)= 的有界区间是( )（A）(一 1，0) 。（B） (0，1) 。（C） (1，2) 。（D）(2 ，3)。2 当 x0 时，x 一 sinx 是 x3 的( )（A）低阶无穷小。（B）高阶无穷小。（C）等价无穷小。（D）同阶但非等价无穷小。3 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且 则( )（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点。（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点。（C） x=0 必是 g(x)的连续点。（D）g(x)在点 x=0 处的连续
2、性与口的取值有关。4 下列各式中正确的是( )5 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( )6 设 =2，其中 a2+c20，则必有( )（A）b=4d。（B） b=一 4d。（C） a=4c。（D）a= 一 4c。 7 设 f(x)= 在(一，+)内连续，但 f(x)=0，则常数 a，b 满足( )（A）a0 ，b0。（B） a0，b0。（C） a0，b0。（D）a0 ，b0。8 设 f(x)= ，g(x)= 01cosxtant2dt，则 x0 时，f(x) 是 g(x)的( )（A）高阶无穷小。（B）低阶无穷小。（C）同阶而非等价无穷小。（D）等价无穷小。9 设 f(x)在点 x0 的某
3、邻域内有定义，且 f(x)在 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数是( )（A）f(x)sinx 。（B） f(x)+sinx。（C） f2(x)。（D）f(x)。10 设 f(x)= ，则( )（A）x=0 与 x=1 都是 f(x)的第一类间断点。（B） x=0 与 x=1 都是 f(x)的第二类间断点。（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点。（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点。二、填空题11 I= =_。12 (sinx+cosx)=_。13 设 f(x)= ，则 f(x)的间断点为 x=_。14
4、 若 (cosx 一 b)=5，则 a=_，b=_。15 已知 f(x)= ，f(x)=1 一 x 且 (x)0，则 (x)的定义域为_。16 =_。17 设函数 f(x)= 在(一，+)内连续，则 c=_。18 设 =3，且当 x0 时，f(x) 与 cxk 是等价无穷小，则常数c=_，k=_。19 =_。20 设 =_。21 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设函数 f(x)在a，b上连续，x 1，x 2，x n，是a，b上一个点列，求。23 设 f(x)= 求 f(x)。24 求函数 f(x)=。25 设 f(x)在 0x 时有定义，其中 为正常数，且26 求
5、函数 f(x)= 在区间(0，2)内的间断点，并判断其类型。27 求函数 f(x)= 的间断点，并判断其类型。28 若 x0 时， 与 xsinx 是等价无穷小量，试求常数 a。29 求极限 。30 设 f(x，y)= ，x0，y0 ，求31 求极限 。32 求极限 。33 当 x0 时，1 一 cosxcos2xcos3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值。考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 函数 f(x)在开区间(a ，b) 内是否有界，需验证 f(x)在(a，
6、b)内是否连续，且 f(x)在区间端点处的极限是否存在。 显然 x0，1，2 时，f(x)连续。而可见 f(x)在(一 1，0)内连续，且 存在，因此在(一 1，0)内有界。应选 A。【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 根据无穷小阶数的定义，因故 x0 时，x 一 sinx 与 x3 是同阶但非等价的无穷小，应选 D。【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，又 g(0)=0，故 当 a=0 时， g(x)=g(0)，即 g(x)在点 x=0 处连续； 当 a0 时， g(x)g(0)，即 x=0 是 g(x)的第一类间断点。 因此，g
7、(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关，故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，有等价无穷小量故用排除法可得，正确选项为(B)。【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，由等价无穷小代换及无穷小阶的定义可知，tanx，ln(1 2x)均为 x 的一阶无穷小；而 1 一 cosx，1 一 均为 x 的二阶无穷小，因此有 故有一 =2，即a=一 4c，故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知 f(x
8、)在( 一，+) 内恒成立，因此 a+ebx0。 由于 ebx0且 ebx 在(一 ，+)内连续，所以 a0。 又因ebx=，从而 b0，因此选 D。【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 B【试题解析】 由洛必达法则与等价无穷小代换得其中用到下面的等价无穷小代换：x0 时， ln(1+sin 2x2)一 sin2x2x 4，tan(1 一 cosx)2 一(1 一 cosx)2( x2)2。 故根据低阶无穷小的定义可知应选 B。【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sinx 在 x=x0 连续，则 f(x)=f(x)+sinx一 sinx 在
9、x=x0 连续，与已知矛盾。 因此 f(x)+sinx 在 x0 处必间断。选 B。【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 C【试题解析】 因为，左、右极限存在但不相等，因此 x=0 是 f(x)的第一类间断点。且显然 x=1 是第二类间断点，因此选 C。【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题11 【正确答案】 0【试题解析】 分子、分母同除以(e x)3。其中根据洛必达法则易知 =0。【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 0【试题解析】 根据洛必达法则，对任意 x(一 ，+) ，有sinx+cosx ，即 sinx+cosx 在(一 ，+) 内有界，因为有界变量与无穷
10、小量的乘积仍为无穷小量，所以原极限为零。【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 0【试题解析】 对于不同的 x，先得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点。 当 x=0时，f(x)=0； 当 x0 时，故 x=0 为f(x)的间断点。【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 1，一 4【试题解析】 因为(ex 一 0)=0，得a=1， 于是由等价无穷小代换 (cosx 一 b)=1b=5， 得 b=一 4。因此，a=1，b=一 4。【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 (一，0【试题解析】 由 f(x)= 及 f(x)=1 一 x，得 =1 一 x，即 2
11、(x)=ln(1 一 x)， 已知 (x)0，所以 (x)= 。 于是可得方程组，故 (x)的定义域为(一，0。【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 0【试题解析】 因为 0，arctanx 为有界函数，即 arctanx ，无穷小量与有界量相乘，结果仍为无穷小量，所以 =0。【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 1【试题解析】 又因为 f(x)在( 一，+)内连续， f(x)必在 x=c 处连续，所以 f(x)=f(c)，即 c2+1= ，得 c=1。【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 6，3【试题解析】 由题设条件可知 =1。 因 x0 时，分母是无穷
12、小，故分子必是无穷小。因此 =0，由等价无穷小代换 sinxe x 一 1x，得 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【试题解析】 对原极限进行恒等变形，即因为 x0 时，ln(1+x)x，e x一 1x，cosx 一 1一 x2，则有【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 e 2【试题解析】 当 x0 时，分母为无穷小，所以分子也为无穷小，即有 =0 因此，当 x0 时【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 由 f(x)在a ，b上连续知，e f
13、(x)在a ，b 上非负连续，且 0me f(x)M，其中 M，m 分别为 ef(x)在a ，b上的最大值和最小值，于是0m M，故【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 根据复合函数的定义 (1)当(x)1 时，若 x0，则 (x)=x+21，即 故 x一 1；若 x0，则 (x)=x2 一 11，即 (2) 当 (x)1 时，若 x0则 (x)=x+21，即 故一 1x0；若 x0，则 (x)=x2 一 11，即。综上所述，有【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 由已知， 由此可知，函数 f(x)在 x=一 3 及 x=2 处无定义，因而点 x=一 3，x=2 不是函
14、数的连续点，所以 f(x)的连续区间为 ( 一，一 3)(一 3，2)(2，+)。根据初等函数的连续性定义得【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 因为 tan(x 一 处无定义，故函数 f(x)在区间(0，2， )内的间断点是 x= 在 x=为 f(x)的可去间断点；同理，x=也是 f(x)的可去间断点，即 x= 为第一类间断点。 在 x=为 f(x)第二类间断点；同理，x=也是 f(x)的第二类间断点。【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 由 x 一 =0，得 x=1，因此 f(x)的间断点为 x=0 以及 x=1 和
15、 x=一 1。 故 x=0是 f(x)的第二类间断点，且是无穷间断点。故 x=1 和 x=一 1 是 f(x)的第一类间断点，且是跳跃间断点。【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 因为 x0 时， ax2，因此由等价无穷小的定义知，一 a=1，即a=一 4。【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 根据等价无穷小的定义，可知由此可见 n=2，a=7。【知识模块】 函数、极限、连续
