1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 18 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关。B.仅与 n 的取值有关。C.与 m，n 的取值都有关。D.与 m，n 的取值都无关。3.设 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 1。B.1I 1 I 2 。C.I 2 I 1 1。D.1I 2 I 1 。4.如图 3 一 15 所示，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2
2、，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 F(x)= 0 x f(t)dt，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。6.设 I k = 0 k （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 3 I 2 I 1 。C.I 2 I 3 I 1 。D.I 2 I 1 I 3 。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.已知 - + e kx dx=1，则 k= 1。（分数：2.0
3、0）填空项 1:_9.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)连续可导，导数不为 0，且 f(x)存在反函数 f -1 (x)，又 F(x)是 f(x)的一个原函数，则不定积分f -1 (x)dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.求 0 2 f(x)dx，其中 f(x)= （分数：2.00）_15.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x+ x)，证明
4、： a b f(x)dx=2 （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上有二阶连续导数，证明： 0 1 f(x)dx= （分数：2.00）_17.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：2.00）_18.设 f(x)连续，F(x)= 0 sinx f(tx 2 )dt。 ()求 F(x)； ()试讨论函数 F(x)的连续性。（分数：2.00）_19.设 f(x)在1，+)上连续，且 f(x)0，求 F(x)= 1 x ( （分数：2.00）_20.设直线 y=ax(0a1)与抛物线 y=x 2 所围封闭图形的面积记为 S，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 。试
5、求 a 的值，使 S 1 +S 2 最小，并求此最小面积。（分数：2.00）_21.求曲线 r=3cos，r=1+cos 所围成的图形含于曲线 r=3cos 内部的公共部分的面积。（分数：2.00）_22.计算对数曲线 y=lnx 上相应于 （分数：2.00）_23.求直线 L： （分数：2.00）_24.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 所确定，求图形 A 绕 x=2 旋转一周所得旋转体的体积。（分数：2.00）_25.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过原点，当 0x1 时 y0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 （分数：2.00）_26.曲线
6、 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体体积。（分数：2.00）_27.求圆弧 x 2 +y 2 =a 2 ( （分数：2.00）_28.一容器的内侧是由曲线 y=x 2 绕 y 轴旋转而成的曲面，其容积为 72m 3 ，其中盛满水，若将容器中的水从容器的顶部抽出 64m 3 ，至少需做多少功? (长度单位：m，重力加速度为 g ms 2 ，水的密度为 10 3 kgm 3 。)（分数：2.00）_29.一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水。设桶的底半径为 R，水的密度为 ，计算桶的一个端面上所受的压力。（分数：2.00）_30.设有一长度为 l、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点 M。试计算该棒对质点 M 的引力。（分数：2.00）_
