1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）12 设随机变量 XU1，1，则随机变量 UarcsinX，VarccosX 的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）13 对于随机变量 X1，X 2，X n，下列说法不正确的是( )（A）若 X1，X 2，X n 两两不相关，则 D(X1X 2X n)（B）若 X1，X 2，X n 相互独立，则 D(X1X 2X n)D(X 1)D(X 2)D(
2、X n)（C）若 X1，X 2，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2)，则（D）若 D(X1X 2X n)D(X 1)D(X 2)D(X n)，则 X1，X 2，X n 两两不相关4 设(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X，Y的相关系数为 XY一 05，且 P(aXbY1)05，则( )二、填空题5 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 ，且 E(X)0，E(Y)1，E(X 2)4，E(Y 2)10，则 E(XY) 2_ 6 设随机变量 X 的密度函数为 ，则 PX 一E(X)2D(X)_ 7 设 X 的分布函数为 ，且 YX 2 一 1
3、，则 E(XY)_8 设随机变量 X 的密度函数为 ，则 E(X)_，D(X)_9 设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)1，则 _10 设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)_11 设随机变量 X，Y 不相关，XU(一 3，3)，Y 的密度为，根据切比雪夫不等式，有 PX Y3)_12 将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计P(14X28)_。13 设 X1，X 2，X 100 相互独立且在区间一 1， 1上同服从均匀分布，则由中心极限定理三、解答题解答应写出文字说明、证明过
4、程或演算步骤。13 n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：14 试开过的钥匙除去； 15 试开过的钥匙重新放回16 设一部机器一天内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作若一周5 个工作日无故障，则可获利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生两次故障获利 0 元；发生三次及以上的故障亏损 2 万元，求一周内利润的期望值17 设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品，销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T
5、(单位：元 )与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大 ?18 某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值19 设随机变量 X，Y 相互独立，且 ，求E(Z)，D(Z)19 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 ，求：20 (U， V)的分布21 U，V 的相关系数22 设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯
6、上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望22 设随机变量 X 的密度函数为23 求 E(X)，D(X)；24 求 Cov(X，X)，问 X，X是否不相关?25 问 X，X是否相互独立?25 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1 ，3 2)，Y N(0 ，4 2)，且X，Y 的相关系数为 ，又设26 求 E(Z)，D(Z)； 27 求 XZ28 X，Z 是否相互独立? 为什么 ?28 设随机变量(X，Y) 在区域 D(x，y)0x2，0y1)上服从均匀分布，令29 求(U，V)的联合分布30 求 UV30 设随机变量 X1
7、，X 2，X mn (mn)独立同分布，其方差为 2，令求：31 D(Y)，D(Z)32 YZ32 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，求：33 D(Yi)(i1，2，n)34 Cov(Y1，Y n)35 P(Y1Y n0)36 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，令 Zmax(X ，Y)，求E(Z)37 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立且在0， a上服从均匀分布，令UmaxX 1，X 2，X n，求 U 的数学期望与方差38 电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电
8、话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)39 设 X，Y 为随机变量，且 E(X)1，E(Y) 2， D(X)4，D(Y)9， ，用切比雪夫不等式估计 PXY31040 一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 001 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)41 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(Xk)a k(k1，2，3，4) 证明：当 n 充分大时，随机变量 近似服从正态分布，并指出其分布参数42 电话公司有 300 台
9、分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于 0957考研数学一（概率统计）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设正面出现的概率为 p，则 XB(n，p) ，Y n 一 XB(n，1 一 p)，E(X) np， D(X)np(1 一 p)，E(Y) n(1 一 p)，D(Y)np(1 一 p)， Cov(X，Y)Cov(X，nX)Cov(X，n)一 Cov(X，X) ， 因为 Cov(X，n)
10、E(nX)一 E(n)E(X) nE(X)一 nE(X)0，Cov(X，X)D(X) np(1 一 p)，所以，选(A)【知识模块】 概率统计部分2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分3 【正确答案】 D【试题解析】 若 X1，X 2，X n 相互独立，则(B)，(C) 是正确的，若X1，X 2，X n 两两不相关，则 (A)是正确的，选 (D)【知识模块】 概率统计部分4 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以口 X6y 服从正态分布， E(aXbY)a2b ， D(aXbY)a 24b 22abCov(X，Y) a 24b 2 一 2ab，
11、 即aXbYN(a2b ，a 2 4b2 一 2ab)， 由 P(aXbY1)05 得 a2b 1，所以选(D)【知识模块】 概率统计部分二、填空题5 【正确答案】 18【试题解析】 D(X)E(X 2)一E(X) 24，D(Y)E(Y 2)一E(Y) 29，D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X，Y)49417，则 E(XY) 2D(XY) E(X Y)217118【知识模块】 概率统计部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分7 【正确答案】 一 06【试题解析】 随机变量 X 的分布律为 E(XY)EX(X 2 一 1)E(X 3 一 X)E(X 3)一 E(X)，因
12、为 E(X3)一 80310 5802一03，E(X) 一 20310520203，所以 E(XY)一 06【知识模块】 概率统计部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分9 【正确答案】 1【试题解析】 因为 XP()，所以 E(X)，D(X)，故 E(X2)D(X) E(X)2 2 由 E(X 一 1)(X 一 2)E(X 2 一 3X2)E(X 2)一 3E(X)2 2 一221 得 1【知识模块】 概率统计部分10 【正确答案】 5【试题解析】 X 的分布律为 P(Xk)0208 k1 ，k1，2，【知识模块】 概率统计部分11 【正确答案】 【试题解析】 E(X)
13、0，D(X) 3，E(Y)0，D(Y) ，则 E(XY)0，D(XY) D(X) D(y)一 2Coy(X，Y) ，所以 PXY 3P(X Y)一E(XY)3)【知识模块】 概率统计部分12 【正确答案】 【试题解析】 设 Xi 为第 i 次的点数(i 1，2，3， 4，5，6)，则 ，其中【知识模块】 概率统计部分13 【正确答案】 08413【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计部分14 【正确答案】 设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n【知识模块】 概率统计部分15 【正确答案】 设 Y 为开
14、门次数，Y 的可能取值为 1，2，n，【知识模块】 概率统计部分16 【正确答案】 用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 以 Y 表示获利，则 则 E(Y)10P(X0)5P(X1)一 2P(X3)P(X4)P(X5)100328 50410 一 20057 5216(万元)【知识模块】 概率统计部分17 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分18 【正确答案】 设 R 为商店每周的利润，则有因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为【知识模块】 概率统计部分19 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分20 【正确答
15、案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为(U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1 ，0)，(1，1)P(U 0，V0) P(X1，X2)P(X1)F(1) 1e 2 ；P(U0，V 1)P(X1，X2)0；P(U1，V1)P(X1，X 2) P(X2)1 一 F(2)e 4 ；P(U 1，V0) P(X1，X2)e 2 一 e4 (U，V) 的联合分布律为【知识模块】 概率统计部分21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分22 【正确答案】 利用随机变量分解法(从未考过)设随机变量 X 表示停靠的总的次数，令 ，【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概
16、率统计部分23 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分24 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分25 【正确答案】 对任意的 a0，PXa ，XaPXa)，而 0P(Xa)1，所以 PXa，Xa)PX a) P(Xa)，故X，X 不相互独立【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分26 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分28 【正确答案】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分29 【正确答案
17、】 (U，V) 的联合分布律为【知识模块】 概率统计部分30 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分31 【正确答案】 因为 X1，X 2，X mn 相互独立，所以【知识模块】 概率统计部分32 【正确答案】 Cov(Y，Z)Cov(X 1X m)(X m1 X n)，Xm1 X mn Cov(X 1x m，X m1 X mn )Coy(X m1 X n，X m1 X mn ) D(X m1 X n)Cov(X m1 X n，X n1 X mn ) (n 一 m)2 则【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分33 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分
18、34 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分35 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分36 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分37 【正确答案】 F UP(Uu) Pmax(X 1，X 2， ，X n)uPX 1u，X 2u，X nu)【知识模块】 概率统计部分38 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分39 【正确答案】 令 UXY，则 E(U)E(X)E(Y)3，D(U)D(XY)D(X)D(Y) 2Cov(X ，Y)4 92 237于是 PXY310PUE(U)10)【知识模块】 概率统计部分40 【正确答案】 设第 i 只电阻使用寿命为 Xi，则 XiE(001)，E(X i)100，D(X i)100 2(i1，2，36)【知识模块】 概率统计部分41 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立同分布，所以 X12，X 22，X n2 也独立同分布且 E(Xi2) 2，D(X i2) 4 一 22，当 n 充分大时，由中心极限定理得近似服从标准正态分布，故 Zn 近似服从正态分布，两个参数为【知识模块】 概率统计部分42 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分
