1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式A=a0 ，而 A*是 A 的伴随矩阵，则A *等于（A）a（B） （C） an1（D）a2 设 n 阶方程 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有（A）ACB=E（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E3 设 则必有（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B4 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第
2、 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为5 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得一 B*（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得一 B*6 没 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则（A）C=P 1AP（B） C=PAP1（C） C=PTAP（D）C=PA
3、P T7 没 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=O，则（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆 8 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若A=2，B =3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为9 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则（A）秩 r(A)=m，秩 r(B)=m（B）秩 r(A)=m，秩 r(B)=n（C）秩 r(A)=n，秩 r(B)=m（D）秩 r(A)=n，秩 r(B)=n 10 设 A 为
4、 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第3 行得单位矩阵记 P1= ，则 A=（A）P 1P2（B） P11P2（C） P2P1（D）P 2P1111 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P1AP= 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1， 2， 2， 3)，则 Q1AQ=12 设 为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）E 一 T 不可逆（B） E+T 不可逆（C） E+2T 不可逆（D）E 一 2T 不可逆 13 设 A，B 为 n 阶矩阵，记 r(X)为矩阵 X 的秩，(X Y)表示分块矩阵，则（A）r(A AB
5、)=r(A)（B） r(A BA)=r(A)（C） r(A B)=maxr(A)，r(B)（D）r(A B)=r(A T BT)二、填空题14 设 44 矩阵 A=( 2 3 4)，B=( 2 3 4)。其中 ， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，且已知行列式A=4，B=1 ，则行列式A+B =_ 15 设矩阵 则逆矩阵(A 一 2I)1=_16 设 4 阶方阵 则 A 的逆阵 A1=_17 已知 =1，2，3 ，=1， ，设 A=T，其中 T 是 的转置，则An=_18 设 B 为 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 t=_19 设矩阵 A 满足 A2+A 一 4E=O，其中 E 为单位矩阵
6、，则(A E)1=_20 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B=_21 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=(1， 2， 3)，B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93)如果A=1，那么B=_22 设矩阵 A= ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则B =_23 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_24 设 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E 一 T 的秩为_25 设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵， A为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余
7、子式若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A2B，其中 A= ，求矩阵 B27 已知 AP=PB，其中 求 A 及 A528 设 4 阶矩阵 且矩阵 A 满足关系式 A(EC1B)TCT=E，其中 E 为 4 阶单位矩阵，C 1 表示 C 的逆矩阵，C T表示 C 的转置，将上述关系式化简并求矩阵 A29 设 A 为 n 阶非零实方阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当 A*=AT时，证明A030 设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A1BA=6A+BA，其中 则
8、B=_31 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=I(I 是 n 阶单位阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+I31 设 A=I 一 T，其中 I 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明：32 A2=A 的充要条件是 T=1；33 当 T=1 时 A 是不可逆矩阵33 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B34 证明 B 可逆；35 求 AB136 设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ABA1=BA1+3E，其中 E为 4 阶单位矩阵，求矩阵 B考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、选择题下列每题给出
9、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 AA*=AE 两端取行列式，得A A *=A n，因A=a0，得A *=A n1=an1【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ABC=E，即 A(BC)=E，故方阵 A 与 BC 互为逆矩阵，从而有(BC)A=E即 BCA=E【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 B 可以看作由矩阵 A 依次进行下列两次初等行变换得到的：把A 的第 1 行加到第 3 行上去，再把所得矩阵的 1、 2 两行互换这两次初等变换对应的初等方阵分别为题中给的矩阵 P2 和 P1，于是由“对矩阵 A 施行
10、初等行变换相当于给 A 左乘相应的初等方阵”，即知(C)正确【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 记交换单位矩阵的第 1 列与第 2 列所得初等矩阵为 E(1，2)，记将单位矩阵第 2 列的 k 倍加到第 3 列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有 AE(1，2)=B ，BE(3 ，2(1)=C，故有 AE(1，2)E(3，2(1)=C，于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1)= 所以只有选项(D) 正确。【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 记 P 为交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得初等方阵，则由题设条件有 B=PA，且B
11、=一A，P 1=P由 A 可逆知 B 可逆，利用 B1= B 1B*，得 B *=BB 1=一A(PA) 1=(AA 1)P1=一 A*P 或 A*P=一 B* 因为用 P 右乘矩阵 A*，等价于交换 A*的第 1 列与第 2 列，故知选项(C)正确【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P由初等变换与初等矩阵的关系，有 B=PA令矩阵 则将 E 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q，于是有 C=BQ，从而有 C=PAQ由于 P1=Q 所以，C=PAQ=PAP 1，只有选项 (B)正确【知识模块】 矩阵7 【正确
12、答案】 C【试题解析】 由于(e 一 A)(E+A+A2)=EA3=E，(E+A)(EA+A 2)=E+A3=E， 故由可逆矩阵的定义知：EA 和 E+A 均是可逆的【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 B【试题解析】 记矩阵 A= ，并记C的(i，j)元素的代数余子式为 Aij，j=1，2，3，4)，则计算可得： A11=0， A21=0，A 31=A h，A 41=一Af， A 12=0，A 22=0，A 32=一Ag，A 42=Ae， A 13=Bd，A 23=一 Bb，A 33=0，A 43=0， A 14=一B c，A 24=Ba，A 34=0，A 44=0于是由伴随矩阵的定义(C *
13、的(i ，j) 元为Aij)，得因此选(B) 【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 m=r(E)=r(AB)r(A)m，所以有 r(A)=m同理有 r(B)=m【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件有 P2AP1=I，两端左乘 P21，两端右乘 P11，得 A=P21P11，因 P21=P2，而 P11P1，故只有(D) 正确【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 B【试题解析】 已知 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3) (A 1，A 2，A 3)=(1， 2，2 3)A 1=1，A 2=2，A 3)=23A( 1+2)=A1+A2=1+2AQ
14、=A( 1+2， 2， 3)=(A(1+2)，A 2，A 3)=(1+2， 2，2 3)=(1+2， 2， 3) 两端左乘 Q1，得 Q1AQ= ，故选(B)【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 A【试题解析】 对于任意的 n 维单位列向量 可以证明选项(A)中的矩阵的行列式必等于零为简明起见，以 n=3 为例来证明(一般情形的证明类似)设=(a1，a 2，a 3)T 是任意的 3 维单位列向量，则 a12+a22+a32=1选项(A)中的矩阵的行列式为(不妨没 a10)det(E 一 )=分别将第 2 行的 a2倍、第 3 行的 a3 倍加到第 1 行上去并利用 a12+a22+a32=1，
15、得行列式的第 1 行为零行，故该行列式等于零，从而知选项(A)中的矩阵是不可逆的故选 (A)【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 A【试题解析】 如果取 2 阶矩阵 A= ，则 r(A BA)=2，r(A)=1，故选项 B 不对；如果取 2 阶矩阵 A= ，则 r(A B)=2， maxr(A)，r(B)=1，故选项 C 不对；如果取 2 阶矩阵 A=，则 r(A B)=1，r(A TBT)=2，故选项 D 不对；于是只有选项A 是正确的【知识模块】 矩阵二、填空题14 【正确答案】 40【试题解析】 因为 A+B=(+ 22 23 24)，由行列式的性质即得A+B=+ 22 23 24 =8
16、+ 2 3 4=8( 2 3 4+ 2 3 4)=8(4+1)=40 。【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 求 A 一 2I 的逆矩阵可有几种方法用初等行变换法：亦可以用分块求逆法： 因为由分块对角矩阵求逆阵的方法即得(A2I) 1=【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 记矩阵为一分块对角矩阵，由分块对角矩阵求逆矩阵的方法，得【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 3 n1 。【试题解析】 因为 T= =3，应用矩阵乘法的结合律得 An=一( T)(T)( T)(T)=T =T3n1=3n1T=3n1【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 一 3【试题解析】 A 为方
17、阵，若A0，则 A 可逆，于是有 A1AB=A1O，得B=O，这与 BO 矛盾，故必有A=0，由此解得 t=3【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 (A+2E)【试题解析】 由(A+2E)(AE)=A 2+A 一 2E 一 4E 一 2E=2E，得 (A+2E)(AE)=E 由逆矩阵的定义，即知(AE) 1= (A+2E)【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 由于 A*A=AE，而A=3，所以 A*A=3E用矩阵 A 右乘题设方程两端，可得 3AB=6B+A 或 3(A 一 2E)B=A 两端取行列式，得 A2E=1 故有 27B=3，所以B = 【知识模块】 矩阵21 【正确答
18、案】 2【试题解析】 对行列式B依次作等值变形(用 ci+kcj 表示第 i 列加上第 j 列的 k倍)c 2 一 c1，c 3 一 c1，得 B= 1+2+3， 2+33，2 2+83 再作等值变形 c3一 2c2，得 B= 1+2+3， 2+33，2 3=2 1+2+3， 2+33， 3 =2 1+2， 2， 3=2 1， 2， 3=2A=2 【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 2【试题解析】 由给定矩阵方程得 BAB=2EB(AE)=2E 两端取行列式，得 B AE=2E因 AE= =2，2E=2 2E=4 所以有 2B =4，从而得 B =2【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 1【
19、试题解析】 利用矩阵乘法，容易计算得 A3= 由于 A3 中非零子式的最高阶数为 1，故由矩阵的秩的定义，即知 r(A3)=1【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 2【试题解析】 记矩阵 A=E 一 T，则由 T=1，易得 A2=A，由此知 A 不可逆(否则 A 可逆，用 A1 左乘 A2=A 两端，得 A=E，这与 AE 矛盾(若 A=E，则T=O，但 TO)，所以 A 不可逆( 由此也可知 A 的秩小于 3)，因此 A 有特征值为 0设 A 按列分块为 A=(1， 2， 3)，则由 A2=A 可得 Aj=j(j=1，2，3)这表明 是 A 的属于特征值 1 的特征向量以上说明 A 有特征值
20、 1=0， 2=1再由 A的全部特征值之和=A 的主对角线元素之和=3 一 a12a22a32=3 一 1=2，知 A 的另一特征值 3=1因此，A 的全部特征值为 0，1，1因为 A 是 3 阶实对称矩阵，所以，A 相似于对角矩阵 M=diag(0，1，1)因相似矩阵有相同的秩，从而得 r(A)=r(M)=2【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 AO，不妨设 a110，由已知的 Aij=一 aij(i，j=1，2，3) ，得 A一 a1j20，及 A=一(A *)T其中 A*为 A 的伴随矩阵以下有两种方法： 方法 1 用 AT 右乘 A=一(A *)T 的两端得 A
21、A T=一(A*)AT=一(AA *)T=一(AI) T，其中 I 为 3 阶单位矩阵，上式两端取行列式，得 A 2=(一 1)3=A 3，或A 2(1+A)=0因A 0 ，所以A =一 1 方法 2 从 A=一(A *)T 两端取行列式，并利用A *=A 2得 A =( 一 1)3A *=一A 2，或A(1+A)=0，因A0，所以A= 一 1【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 【正确答案】 由 AB=A+2B 推出(A 一 2E)B=A，其中 E 为 3 阶单位矩阵，因为27 【正确答案】 先求出 因 AP=PB，两端右乘 P1，得A=PBP1= A5=
22、AAAAA=(PBP1)(PBP1)(PBP1)(PBP1)(PBP1)=PB5P1=PBP1=A【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 因为 A(EC1B)TCT=AC(EC1B)T=A(CB)T，故所给关系式化简成 A(CB) T=E 所以 AE(CB) T1=F(CB)1T【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 由公式 AA*=AE ，得 AAT=A E ，若A=0，则有AAT=O设 A 的第 i 个行向量为 i(i=1，2，n)则由 AAT 的第 i 行第 i 列处的元素为零，有 iTi=i2=0(i=1，2n)，即 i=0，i=1 ，2，n 于是 A=O，这与已知 A 为非零阵矛盾，故A
23、0【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 【试题解析】 由已知关系式推出(A 1E)BA=6A，因为上式右端的方阵 6A 可逆，所以左端的方阵 A1E 也可逆，给上式两端左乘 (A1 一 E)1，右乘 A1，即得 B=(A1 一 E)16AA1=6(A1 一 E)1【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 因为 A+I=A+AA T=AI+A T=A(I+A T)T =AI+A=AA+I 所以 (1 一A )A+I=0 又因 1一A0 故 A+I=0【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 A 2=(I 一 T)(I 一 T)=I 一 2T+TT =I 一 2T+(T)=I 一2T+(
24、T)T =I(2 一 T)T A2=A 即 I(2 一 T)T=I 一 T，亦即 ( T 一 1)T=0 因为 是非零列向量，有 TO 故 A2=A 的充要条件是 T 一 1=0，即T=1【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 用反证法当 T=1 时 A2=A若 A 可逆，则有 A 1A2=A1A 即A=I，这与已知的 A=I 一 TI 矛盾，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 因A0，及B=一A0，故 B 可逆【知识模块】 矩阵35 【正确答案】 记 Eij 是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后所得到的初等方阵，则 B=EijA 因而 AB 1=A(EijA)1=AA1Eij1=Eij1=Eij【知识模块】 矩阵36 【正确答案】 由A *=A n1，有A 3=8，得A=2 又由题设方程，有(A E)BA1=3E 两端右乘 A，得(AE)B=3A 两端左乘 A，得(EA 1)B=3E 即 (E 一 A)B=3E 亦即(2EA *)B=6E 又 2EA*为可逆矩阵，于是 B=6(2EA *)1 计算可得【知识模块】 矩阵
